Convoluție Dirichlet

În matematică , convoluția Dirichlet (sau produsul convoluției ), numită după Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet , este o operație binară definită pentru funcții aritmetice ; importanța sa se datorează numeroaselor aplicații în teoria numerelor .

Convoluția Dirichlet a două funcții aritmetice $f(n)$ ${\ displaystyle f (n)}$ $f (n)$ Și $g(n)$ ${\ displaystyle g (n)}$ $g (n)$ este definit ca:

(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)

{\ displaystyle (f * g) (n) = \ sum _ {d | n} f (d) g (n / d)}

{\ displaystyle (f * g) (n) = \ sum _ {d | n} f (d) g (n / d)}

unde suma se înțelege a fi extinsă la toți divizorii d de n . O scriere echivalentă este după cum urmează:

\left(f*g\right)\left(n\right)=\sum _{d_{1}d_{2}=n}f\left(d_{1}\right)g\left(d_{2}\right)

{\ displaystyle \ left (f * g \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {d_ {1} d_ {2} = n} f \ left (d_ {1} \ right) g \ left ( d_ {2} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ left (f * g \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {d_ {1} d_ {2} = n} f \ left (d_ {1} \ right) g \ left ( d_ {2} \ dreapta)}

Proprietate

Dacă cele două funcții aritmetice sunt funcții multiplicative , atunci produsul lor de convoluție este și el. Cu toate acestea, dacă cele două funcții sunt pe deplin multiplicative, în general produsul lor nu este.
f * g = g * f ( proprietate comutativă )
( f * g ) * h = f * ( g * h ) ( proprietate asociativă )
f * ( g + h ) = f * g + f * h ( proprietate distributivă )
f * ε = ε * f = f , unde ε este funcția definită ca ε ( n ) = 1 dacă n = 1 și ε ( n ) = 0 dacă n > 1.
Pentru fiecare f pentru care f ( 1 ) ≠ 0 există o funcție g astfel încât f * g = ε. g se numește inversul lui Dirichlet al lui f .
În special, fiecare funcție multiplicativă f are inversul lui Dirichlet g , care este multiplicativ.

Cu operațiile de adăugare și convoluție Dirichlet, mulțimea formează un inel comutativ a cărui identitate multiplicativă este ε, numit inelul Dirichlet (nu este un câmp deoarece nu toate funcțiile aritmetice au inversul lor Dirichlet). Unitățile acestui inel sunt funcțiile aritmetice f astfel încât f (1) ≠ 0.

Mai mult, funcțiile multiplicative cu convoluție formează un grup abelian cu un element neutru ε. Consultați intrarea Funcție multiplicativă pentru o listă de relații de convoluție care corelează funcții multiplicative importante.

Dacă f este o funcție aritmetică, funcția generatoare a seriei Dirichlet este definită ca:

DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}

{\ displaystyle DG (f; s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}}

{\ displaystyle DG (f; s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}}

pentru acele complexe argumente pentru care converge seria (dacă există). Înmulțirea seriei Dirichlet este compatibilă cu convoluția Dirichlet în următorul sens:

DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,

{\ displaystyle DG (f; s) DG (g; s) = DG (f * g; s) \,}

{\ displaystyle DG (f; s) DG (g; s) = DG (f * g; s) \,}

pentru toate s pentru care există membrul stâng. Acest lucru este analog teoremei convoluției dacă ne gândim la seria Dirichlet ca la o transformată Fourier .

Bibliografie

( EN ) Tom M. Apostol , Introducere în teoria numerelor analitice , Springer-Verlag, New York, 1976. ISBN 0-387-90163-9 , (Capitolul 2.6)
(EN) Chan Heng Huat, The Analytic Number Theory for Undergraduates, Monographs in Number Theory, World Scientific Publishing Company, 2009, ISBN 981-4271-36-5 .
( EN ) Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan, Teoria multiplicativă a numerelor I. Teoria clasică , Cambridge tracts in matematică avansată, vol. 97, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2007, p. 38 , ISBN 0-521-84903-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică