Operator biliniar

În matematică , un operator biliniar este o generalizare a multiplicării care satisface legea distributivă .

Definiție

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ trei spații vectoriale pe același câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ; un operator biliniar este o funcție :

B:V\times W\rightarrow X

{\ displaystyle B: V \ times W \ rightarrow X}

{\ displaystyle B: V \ times W \ rightarrow X}

astfel încât pentru fiecare $w\in W$ ${\ displaystyle w \ in W}$ ${\ displaystyle w \ in W}$ harta:

v\mapsto B(v,w)

{\ displaystyle v \ mapsto B (v, w)}

{\ displaystyle v \ mapsto B (v, w)}

este un operator liniar din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , și pentru fiecare $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ ${\ displaystyle v \ in V}$ harta:

w\mapsto B(v,w)

{\ displaystyle w \ mapsto B (v, w)}

{\ displaystyle w \ mapsto B (v, w)}

este un operator liniar din $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Cu alte cuvinte, dacă păstrați primul argument al operatorului biliniar fixat, în timp ce modificați al doilea argument, obțineți un operator liniar și același lucru este valabil dacă păstrați al doilea argument fix.

De sine $V=W$ ${\ displaystyle V = W}$ ${\ displaystyle V = W}$ si tu ai $B(v,w)=B(w,v)$ ${\ displaystyle B (v, w) = B (w, v)}$ ${\ displaystyle B (v, w) = B (w, v)}$ pentru fiecare $v,w\in V$ ${\ displaystyle v, w \ in V}$ ${\ displaystyle v, w \ in V}$ , asa de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este simetric .

În cazul în care $X=F$ ${\ displaystyle X = F}$ ${\ displaystyle X = F}$ , avem o formă biliniară , iar acest caz este deosebit de util în studiul, de exemplu, al produsului scalar și al formelor pătratice .

Definiția funcționează fără alte modificări dacă sunt utilizate module pe un inel comutativ în locul spațiilor vectoriale $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . De asemenea, este ușor să generalizați acest concept într-o funcție în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile, iar termenul potrivit este multiliniar .

În cazul unui inel necomutativ $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , un modul din dreapta $M_{R}$ ${\ displaystyle M_ {R}}$ ${\ displaystyle M_ {R}}$ și o formă stângă $_{R}N$ ${\ displaystyle _ {R} N}$ ${\ displaystyle _ {R} N}$ , putem defini un operator biliniar $B:M\times N\rightarrow T$ ${\ displaystyle B: M \ times N \ rightarrow T}$ ${\ displaystyle B: M \ times N \ rightarrow T}$ , Unde $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un grup abelian , astfel încât pentru fiecare $n\in N$ ${\ displaystyle n \ in N}$ ${\ displaystyle n \ in N}$ , $m\mapsto B(m,n)$ ${\ displaystyle m \ mapsto B (m, n)}$ ${\ displaystyle m \ mapsto B (m, n)}$ , și pentru fiecare $m\in M$ ${\ displaystyle m \ în M}$ $m \ în M$ , $n\mapsto B(m,n)$ ${\ displaystyle n \ mapsto B (m, n)}$ ${\ displaystyle n \ mapsto B (m, n)}$ sunt omomorfisme ale grupurilor și care, de asemenea, satisface:

B(mt,n)=B(m,tn)

{\ displaystyle B (mt, n) = B (m, tn)}

{\ displaystyle B (mt, n) = B (m, tn)}

pentru fiecare $m\in M,n\in N,t\in R$ ${\ displaystyle m \ in M, n \ in N, t \ in R}$ ${\ displaystyle m \ in M, n \ in N, t \ in R}$ .

Proprietate

O primă consecință imediată a definiției este faptul că $B(x,y)=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle B (x, y) = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle B (x, y) = \ mathbf {0}}$ de fiecare dată când $x=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle x = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle x = \ mathbf {0}}$ sau $y=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle y = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle y = \ mathbf {0}}$ . Acest lucru este dovedit prin scrierea vectorului nul $\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$ ca $0\cdot \mathbf {0}$ ${\ displaystyle 0 \ cdot \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle 0 \ cdot \ mathbf {0}}$ și mișcând scalarul „în afară”, în fața $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , pentru liniaritate.

Întregul $L(V,W;X)$ ${\ displaystyle L (V, W; X)}$ ${\ displaystyle L (V, W; X)}$ dintre toate hărțile biliniare este un subespai liniar al spațiului ( spațiu vectorial , modulo ) al tuturor hărților din $V\times W$ ${\ displaystyle V \ times W}$ $V \ ori W$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

De sine $V., W, X$ ${\ displaystyle V, W, X}$ ${\ displaystyle V, W, X}$ au dimensiuni finite, apoi sunt și finite $L(V,W;X)$ ${\ displaystyle L (V, W; X)}$ ${\ displaystyle L (V, W; X)}$ . De sine $X=F$ ${\ displaystyle X = F}$ ${\ displaystyle X = F}$ , (de exemplu, în cazul unei forme biliniare) dimensiunea acestui spațiu este $\dim V\cdot \dim W$ ${\ displaystyle \ dim V \ cdot \ dim W}$ ${\ displaystyle \ dim V \ cdot \ dim W}$ (în timp ce spațiul $L(V\times W;K)$ ${\ displaystyle L (V \ times W; K)}$ ${\ displaystyle L (V \ times W; K)}$ a formelor liniare are dimensiune $\dim V+\dim W$ ${\ displaystyle \ dim V + \ dim W}$ ${\ displaystyle \ dim V + \ dim W}$ ). Pentru a demonstra acest lucru, alegeți o bază ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și o bază ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ pentru $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ; în acest moment fiecare hartă biliniară poate fi reprezentată în mod unic de matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dat de $a_{ij}=B(b_{i},c_{j})$ ${\ displaystyle a_ {ij} = B (b_ {i}, c_ {j})}$ ${\ displaystyle a_ {ij} = B (b_ {i}, c_ {j})}$ , și invers (aici $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ Și $c_{j}$ ${\ displaystyle c_ {j}}$ $c_ {j}$ denotați respectiv $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -al elementul bazei ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ si $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -al elementul bazei ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ ).

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu cu o dimensiune superioară, pe care îl aveți în mod banal $\dim L(V,W;X)=\dim V\cdot \dim W\cdot \dim X$ ${\ displaystyle \ dim L (V, W; X) = \ dim V \ cdot \ dim W \ cdot \ dim X}$ ${\ displaystyle \ dim L (V, W; X) = \ dim V \ cdot \ dim W \ cdot \ dim X}$ .

Exemple

Înmulțirea matricilor este o hartă biliniară $M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)$ ${\ displaystyle M (m, n) \ times M (n, p) \ rightarrow M (m, p)}$ ${\ displaystyle M (m, n) \ times M (n, p) \ rightarrow M (m, p)}$ .
Dacă într-un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe câmpul numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ definit ca un produs punct , atunci produsul punct este un operator biliniar $V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle V \ times V \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle V \ times V \ rightarrow \ mathbb {R}}$ .
În general, pentru un spațiu vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , o formă biliniară pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este echivalent cu un operator biliniar $V\times V\rightarrow F$ ${\ displaystyle V \ times V \ rightarrow F}$ ${\ displaystyle V \ times V \ rightarrow F}$ .
De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vector, $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {{*}}$ este spațiul său dual e $v\in V,f\in V^{*}$ ${\ displaystyle v \ in V, f \ in V ^ {*}}$ ${\ displaystyle v \ in V, f \ in V ^ {*}}$ , apoi operatorul aplicației $b(f,v)=f(v)$ ${\ displaystyle b (f, v) = f (v)}$ ${\ displaystyle b (f, v) = f (v)}$ este un operator biliniar din $V\times W$ ${\ displaystyle V \ times W}$ $V \ ori W$ în tabăra de bază.
Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ două spații vectoriale pe același câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un element al $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {{*}}$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este un element al $W^{*}$ ${\ displaystyle W ^ {*}}$ ${\ displaystyle W ^ {*}}$ , asa de $b(v,w)=f(v)g(w)$ ${\ displaystyle b (v, w) = f (v) g (w)}$ ${\ displaystyle b (v, w) = f (v) g (w)}$ definește un operator biliniar $V\times W\rightarrow F$ ${\ displaystyle V \ times W \ rightarrow F}$ ${\ displaystyle V \ times W \ rightarrow F}$ .
Produsul vector în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ este operator biliniar $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ .
Lasa-i sa fie $B:V\times W\rightarrow X$ ${\ displaystyle B: V \ times W \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle B: V \ times W \ rightarrow X}$ un operator biliniar e $L:U\rightarrow W$ ${\ displaystyle L: U \ rightarrow W}$ ${\ displaystyle L: U \ rightarrow W}$ un operator liniar ; asa de $(v,u)\mapsto B(v,L(u))$ ${\ displaystyle (v, u) \ mapsto B (v, L (u))}$ ${\ displaystyle (v, u) \ mapsto B (v, L (u))}$ este un operator bilinear pe $V\times U$ ${\ displaystyle V \ times U}$ ${\ displaystyle V \ times U}$ .
Harta nulă , definită de $B(v,w)=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle B (v, w) = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle B (v, w) = \ mathbf {0}}$ pentru fiecare $(v,w)\in V\times W$ ${\ displaystyle (v, w) \ în V \ times W}$ ${\ displaystyle (v, w) \ în V \ times W}$ este singura hartă din $V\times W$ ${\ displaystyle V \ times W}$ $V \ ori W$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care este atât biliniar, cât și liniar. De fapt, dacă $(v,w)\in V\times W$ ${\ displaystyle (v, w) \ în V \ times W}$ ${\ displaystyle (v, w) \ în V \ times W}$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ atunci este atât o hartă liniară, cât și o hartă biliniară $B(v,w)=B(v,\mathbf {0} )+B(\mathbf {0} ,w)$ ${\ displaystyle B (v, w) = B (v, \ mathbf {0}) + B (\ mathbf {0}, w)}$ ${\ displaystyle B (v, w) = B (v, \ mathbf {0}) + B (\ mathbf {0}, w)}$ (pentru liniaritate în raport cu suma $V\times W$ ${\ displaystyle V \ times W}$ $V \ ori W$ ) Și $B(v,\mathbf {0} )+B(\mathbf {0} ,w)=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle B (v, \ mathbf {0}) + B (\ mathbf {0}, w) = \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle B (v, \ mathbf {0}) + B (\ mathbf {0}, w) = \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ (pentru bilinearitate).

Bibliografie

( EN ) N. Bourbaki, Elements of math. Algebra: Structuri algebrice. Algebra liniară , 1, Addison-Wesley (1974) pp. Capitolul 1; 2
(EN) S. Lang, Algebra, Addison-Wesley (1974)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VL Popov, Bilinear mapping , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4134671-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică