Subspatiu vectorial

Trei subspatii distincte ale dimensiunii 2 in

\mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

\ R ^ 3

. Două dintre acestea se intersectează într-un subspațiu de dimensiunea 1 (evidențiat în albastru).

În matematică și în special în algebră liniară , un subspatiu vectorial este un subset al unui spațiu vectorial , având proprietăți de natură să-l facă la rândul său un alt spațiu vectorial. Exemple de subspații vectoriale sunt linii drepte și plane în spațiul euclidian tridimensional care trece prin origine.

Definiție

Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ fie un câmp $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și fie $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ un subgrup non-vid de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Întregul $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ dacă este un spațiu vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu operațiile de adunare și multiplicare la scară și dacă este închisă față de ele. ^[1]

Dovedește că $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un subspațiu vectorial dacă și numai dacă se mențin următoarele proprietăți: ^[2]

De sine $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ sunt elemente ale $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , apoi și suma lor $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} + \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf u} + {\ mathbf v}$ este un element al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ .
De sine $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ este un element al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este un scalar în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , apoi produsul $\lambda \mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {u}}$ $\ lambda {\ mathbf u}$ este un element al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ .

Primele două condiții sunt echivalente cu următoarele: dacă $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ sunt elemente ale $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ sunt elemente ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , asa de $\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {u} + \ mu \ mathbf {v}}$ $\ lambda {\ mathbf u} + \ mu {\ mathbf v}$ este un element al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . ^[3]

Din definiție rezultă că pentru orice spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ decorurile $\{\mathbf {0} \}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {0} \}}$ $\ {{\ mathbf 0} \}$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt subspatiile sale vectoriale, numite subspatii improprii sau banale . Unii autori omit apartenența vectorului nul în definiție, deoarece se arată că aparține fiecărui subspațiu vectorial. De fapt, pentru fiecare $\mathbf {v} \in W$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în W}$ ${\ mathbf v} \ în W$ vectorul:

0\mathbf {v} =\mathbf {0}

{\ displaystyle 0 \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

0 {\ mathbf v} = {\ mathbf 0}

aparține lui $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ datorită închiderii ansamblului în raport cu produsul la scară. Mai mult, este ușor dovedit că subspaiul unui subspai al unui spațiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este subspatiu de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ la fel.

Aceste proprietăți asigură că suma și operațiunile produsului la scară $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt bine definite chiar și atunci când sunt limitate la $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . În acest moment, cele opt axiome ale spațiului vectorial, care au fost garantate pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , se aplică și la $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ și, prin urmare, de asemenea $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un spațiu vectorial.

Exemple

Multe exemple de spații vectoriale se construiesc ca subspatii ale spațiilor vectoriale standard, cum ar fi $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ , matricile $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ , sau polinoamele cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Numai originea formează cel mai mic subespai al oricărui spațiu vectorial.
O linie sau un plan care trece prin origine este subspatiile lui $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .
Soluțiile unui sistem liniar omogen cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ iar în n variabile sunt un subspatiu vectorial al $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ .
Matricele diagonale , simetrice și antisimetrice formează trei sub spații ale spațiului matricei pătrate $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ .
Nucleul și imaginea unei aplicații liniare $f:V\to W$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ $f: V \ to W$ sunt subspatii de respectiv $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și de $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ .
Polinomii de grade cel mult $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sunt un subspatiu al spatiului $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ de polinoame cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .
De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un set și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un punct de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , funcții din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care anulează $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ ) constituie un subspatiu al spatiului tuturor functiilor din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . De asemenea, funcții de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care anulează ambele în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ decât într-un al doilea punct $y\in X$ ${\ displaystyle y \ în X}$ $y \ în X$ constituie un subspatiu al celui precedent.
Setul de funcții continue $C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle C (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$ $C (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})$ din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ oferă un sub spațiu al funcțiilor din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , iar setul de funcții diferențiate constituie un subspatiu.

Operații în sub spații

Intersecția din $U\cap W$ ${\ displaystyle U \ cap W}$ $U \ cap W$ a două subspatii $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este încă un subspațiu. De exemplu, intersecția a două planuri distincte în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ trecerea prin origine este o linie dreaptă, trecând întotdeauna prin origine.

Unirea $U\cup W$ ${\ displaystyle U \ cup W}$ $U \ cup W$ în schimb, nu este, în general, un subspatiu și este un subspatiu dacă și numai dacă $U\subseteq W$ ${\ displaystyle U \ subseteq W}$ $U \ subseteq W$ sau $W\subseteq U$ ${\ displaystyle W \ subseteq U}$ $W \ subseteq U$ . O compoziție din două subspatii $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ care oferă un subspatiu nou este așa-numita sumă $U+W$ ${\ displaystyle U + W}$ $U + W$ , definit ca ansamblul tuturor vectorilor care sunt suma $\mathbf {u} +\mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} + \ mathbf {w}}$ ${\ mathbf u} + {\ mathbf w}$ vectori $\mathbf {u} \in U$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ în U}$ ${\ mathbf u} \ în U$ Și $\mathbf {w} \in W$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} \ în W}$ ${\ mathbf w} \ în W$ . De exemplu, suma a două linii distincte (care trec întotdeauna prin origine) în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este planul care le conține.

Formula lui Grassmann relatează dimensiunile celor patru spații $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , $U\cap W$ ${\ displaystyle U \ cap W}$ $U \ cap W$ Și $U+W$ ${\ displaystyle U + W}$ $U + W$ .

Ortogonalul $W^{\perp }$ ${\ displaystyle W ^ {\ perp}}$ $W ^ {\ perp}$ a unui subspatiu vectorial $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ a unui spațiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe care se definește o formă biliniară $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este ansamblul de vectori $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ astfel încât $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = 0}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) = 0$ pentru fiecare $\mathbf {w} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} \ în V}$ $\ mathbf w \ în V$ .

Coeficientul unui spațiu vector

Același subiect în detaliu: spațiul vectorial de cotizare .

De sine $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , putem construi grupul coeficientului $V/W$ ${\ displaystyle V / W}$ $V / W$ și, la rândul său, oferindu-i o structură naturală a spațiului vectorial.

Tocmai se definește relația de echivalență $\mathbf {v} \sim \mathbf {w}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ sim \ mathbf {w}}$ ${\ mathbf v} \ sim {\ mathbf w}$ dacă și numai dacă $\mathbf {v} -\mathbf {w} \in W$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} - \ mathbf {w} \ în W}$ ${\ mathbf v} - {\ mathbf w} \ în W$ . O singură clasă de echivalență este adesea notată ca $\mathbf {v} +W$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} + W}$ ${\ mathbf v} + W$ . Suma și multiplicarea prin scalari sunt definite prin:

(\mathbf {v} +W)+(\mathbf {w} +W)=(\mathbf {v} +\mathbf {w} )+W

{\ displaystyle (\ mathbf {v} + W) + (\ mathbf {w} + W) = (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) + W}

({\ mathbf v} + W) + ({\ mathbf w} + W) = ({\ mathbf v} + {\ mathbf w}) + W

\lambda (\mathbf {v} +W)=(\lambda \mathbf {v} )+W

{\ displaystyle \ lambda (\ mathbf {v} + W) = (\ lambda \ mathbf {v}) + W}

\ lambda ({\ mathbf v} + W) = (\ lambda {\ mathbf v}) + W

Notă

^ Hoffman, Kunze , p. 34 .
^ S. Lang , pagina 38 .
^ Hoffman, Kunze , p. 35 .

Bibliografie

(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) Aigner, M. Teoria combinatorie . New York: Springer-Verlag, 1979.
( EN ) Exton, H. q-Funcții și aplicații hipergeometrice . New York: Halstead Press, 1983.
(EN) Finch, SR „Constanta lui Lengyel”. Constante matematice . Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, pp. 316-321, 2003.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Subspace , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Subspatiu vectorial , în PlanetMath .
( RO ) Prelegere MIT Linear Algebra despre cele patru subspatii fundamentale la Google Video, de la MIT OpenCourseWare

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hoffman, Kunze , p. 34 .

[2] S. Lang , pagina 38 .

[3] Hoffman, Kunze , p. 35 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema