Algoritmul lui Lagrange

În matematică și mai precis în algebră liniară , algoritmul Lagrange este un algoritm util pentru găsirea unei baze ortogonale într-un spațiu vectorial dimensional finit cu un produs scalar . Este o variantă a procesului de ortogonalizare Gram-Schmidt utilizat în cazul în care produsul scalar nu este definit ca pozitiv .

Algoritmul

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial dimensional finit pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu alte caracteristici decât 2, cu produs scalar $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Algoritmul construiește o bază ortogonală dintr-o bază $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ $v_1, \ ldots, v_n$ Data. Este vorba despre aplicarea iterativă la $i=1,\ldots n$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots n}$ $i = 1, \ ldots n$ următoarele mișcări:

De sine $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu$ atunci nu este izotrop $\phi (v_{i},v_{i})\neq 0$ ${\ displaystyle \ phi (v_ {i}, v_ {i}) \ neq 0}$ $\ phi (v_i, v_i) \ neq 0$ și se definește pe sine

v'_{i}=v_{i}-\sum _{j>i}{\frac {\phi (v_{i},v_{j})}{\phi (v_{j},v_{j})}}v_{j}

{\ displaystyle v '_ {i} = v_ {i} - \ sum _ {j> i} {\ frac {\ phi (v_ {i}, v_ {j})} {\ phi (v_ {j}, v_ {j})}} v_ {j}}

v'_i = v_i - \ sum_ {j> i} \ frac {\ phi (v_i, v_j)} {\ phi (v_j, v_j)} v_j

Rezultatul este un vector

v'_{i}

{\ displaystyle v '_ {i}}

tu

care continuă să formeze o bază cu vectorii rămași, dar ortogonali cu toți vectorii ulteriori: de fapt

\phi (v_{i}',v_{j})=0

{\ displaystyle \ phi (v_ {i} ', v_ {j}) = 0}

\ phi (v_i ', v_j) = 0

pentru fiecare

j>i

{\ displaystyle j> i}

j> i

. Deci înlocuiește

v_{i}

{\ displaystyle v_ {i}}

tu

cu

v_{i}'

{\ displaystyle v_ {i} '}

tu'

.

De sine $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu$ este un vector izotrop , este schimbat cu un element neizotrop $v_{j}$ ${\ displaystyle v_ {j}}$ $v_j$ cu $j>i$ ${\ displaystyle j> i}$ $j> i$ . Dacă toți acești vectori sunt izotropi, se caută un vector neizotropic $v_{j}+v_{k}$ ${\ displaystyle v_ {j} + v_ {k}}$ ${\ displaystyle v_ {j} + v_ {k}}$ cu $j,k\geq i$ ${\ displaystyle j, k \ geq i}$ ${\ displaystyle j, k \ geq i}$ . Dacă toate acestea sunt și izotrope, atunci baza este deja ortogonală și algoritmul se descompune.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Curtis Bright - Algoritmi pentru reducerea bazei de rețea ( PDF ), pe cs.uwaterloo.ca .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema