Teorema Hamilton-Cayley

În algebra liniară , teorema Hamilton-Cayley , numită după William Rowan Hamilton și Arthur Cayley , afirmă că fiecare transformare liniară a unui spațiu vectorial (sau echivalent fiecare matrice pătrată ) este o rădăcină a polinomului său caracteristic , văzut ca polinom cu coeficienți numerici în inelul transformărilor liniare (sau matricelor pătrate).

Mai exact, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este transformarea liniară în spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional (sau, echivalent, o matrice $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ ) Și $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ este operatorul de identitate (sau, în mod echivalent, matricea de identitate ), atunci se aplică următoarele:

(-1)^{n}A^{n}+(-1)^{n-1}{\textrm {tr}}(A)A^{n-1}+\ldots +\det(A)\,I_{n}=0.

{\ displaystyle (-1) ^ {n} A ^ {n} + (- 1) ^ {n-1} {\ textrm {tr}} (A) A ^ {n-1} + \ ldots + \ det (A) \, I_ {n} = 0.}

{\ displaystyle (-1) ^ {n} A ^ {n} + (- 1) ^ {n-1} {\ textrm {tr}} (A) A ^ {n-1} + \ ldots + \ det (A) \, I_ {n} = 0.}

Acest rezultat implică faptul că polinomul minim împarte polinomul caracteristic și, prin urmare, este util pentru găsirea formei canonice Jordan a unei aplicații sau a unei matrice. Mai mult, face calculul oricărei funcții matriciale fezabil din punct de vedere analitic. Teorema Hamilton-Cayley este valabilă și pentru matricele pătrate pe inele comutative .

Teorema

Un endomorfism al unui spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o transformare liniară $T\colon V\to V$ ${\ displaystyle T \ colon V \ to V}$ ${\ displaystyle T \ colon V \ to V}$ . Ansamblul endomorfismelor de pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , cu operațiile de adunare, multiplicare prin scalar și compoziție , este una $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - algebră notată cu ${\textrm {End}}_{K}(V)$ ${\ displaystyle {\ textrm {End}} _ {K} (V)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {End}} _ {K} (V)}$ sau ${\textrm {End}}(V)$ ${\ displaystyle {\ textrm {End}} (V)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {End}} (V)}$ . În mod similar, matricile pătrate ale ordinii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ la valori în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , cu operațiile de adăugare , produs cu scalar și produs , formează una $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ -algebra notată cu $M(n,K)$ ${\ displaystyle M (n, K)}$ $M (n, K)$ sau $M(n)$ ${\ displaystyle M (n)}$ ${\ displaystyle M (n)}$ .

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , considerând o bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ poate fi asociat cu orice endomorfism al ${\textrm {End}}_{K}(V)$ ${\ displaystyle {\ textrm {End}} _ {K} (V)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {End}} _ {K} (V)}$ o serie de $M(n,K)$ ${\ displaystyle M (n, K)}$ $M (n, K)$ printr-un izomorfism .

Mai mult, având în vedere un polinom $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ un coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este orice element al unui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ -algebra definește elementul $p(a)$ ${\ displaystyle p (a)}$ $p (a)$ algebră precum cea obținută din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ prin operațiunile prescrise de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ (sumă, produs prin scalar și produs între elementele algebrei). În special, dacă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ atunci este un endomorfism $p(T)$ ${\ displaystyle p (T)}$ $p (T)$ este un endomorfism și dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atunci este o matrice $p(A)$ ${\ displaystyle p (A)}$ ${\ displaystyle p (A)}$ este o matrice.

Afirmație

Teorema Hamilton - Cayley afirmă că dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un endomorfism al unui spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de mărime finită e $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este polinomul său caracteristic, atunci $p(f)=0$ ${\ displaystyle p (f) = 0}$ ${\ displaystyle p (f) = 0}$ .

În mod similar, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice pătrată și $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ polinomul său caracteristic, atunci $p(A)=0$ ${\ displaystyle p (A) = 0}$ $p (A) = 0$ .

Exemplu

Să luăm de exemplu matricea:

A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix}}.}

Polinomul său caracteristic este dat de:

p(\lambda )=\det {\begin{bmatrix}1-\lambda &2\\3&4-\lambda \end{bmatrix}}=(1-\lambda )(4-\lambda )-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.

{\ displaystyle p (\ lambda) = \ det {\ begin {bmatrix} 1- \ lambda & 2 \\ 3 & 4- \ lambda \ end {bmatrix}} = (1- \ lambda) (4- \ lambda) -2 \ cdot 3 = \ lambda ^ {2} -5 \ lambda -2.}

{\ displaystyle p (\ lambda) = \ det {\ begin {bmatrix} 1- \ lambda & 2 \\ 3 & 4- \ lambda \ end {bmatrix}} = (1- \ lambda) (4- \ lambda) -2 \ cdot 3 = \ lambda ^ {2} -5 \ lambda -2.}

Teorema Cayley-Hamilton susține că:

A^{2}-5A-2I_{2}=0,

{\ displaystyle A ^ {2} -5A-2I_ {2} = 0,}

{\ displaystyle A ^ {2} -5A-2I_ {2} = 0,}

care poate fi ușor verificat.

Aplicații

Diagonalizabilitate

Același subiect în detaliu: Polinom minim .

Teorema introduce definiția polinomului minim , un instrument foarte puternic pentru a verifica dacă o matrice sau o aplicație este diagonalizabilă . De exemplu, acest lucru verifică rapid dacă o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care satisface unele relații polinomiale, cum ar fi $A^{2}=I_{n}$ ${\ displaystyle A ^ {2} = I_ {n}}$ ${\ displaystyle A ^ {2} = I_ {n}}$ sau $A^{2}=A$ ${\ displaystyle A ^ {2} = A}$ $A ^ {2} = A$ , este diagonalizabil.

Puterea matricei

Teorema face posibilă calcularea puterilor matricilor cu exponenți întregi mai simplu decât cu multiplicarea directă, în timp ce pentru calcularea puterilor cu exponenți arbitrari este de asemenea necesar să se utilizeze teoria funcției matricei . De exemplu, folosind rezultatul de mai sus:

A^{2}-5A-2I_{2}=0,

{\ displaystyle A ^ {2} -5A-2I_ {2} = 0,}

{\ displaystyle A ^ {2} -5A-2I_ {2} = 0,}

A^{2}=5A+2I_{2},

{\ displaystyle A ^ {2} = 5A + 2I_ {2},}

{\ displaystyle A ^ {2} = 5A + 2I_ {2},}

poate fi calculat $A^{4}$ ${\ displaystyle A ^ {4}}$ ${\ displaystyle A ^ {4}}$ în felul următor:

A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},

{\ displaystyle A ^ {3} = (5A + 2I_ {2}) A = 5A ^ {2} + 2A = 5 (5A + 2I_ {2}) + 2A = 27A + 10I_ {2},}

{\ displaystyle A ^ {3} = (5A + 2I_ {2}) A = 5A ^ {2} + 2A = 5 (5A + 2I_ {2}) + 2A = 27A + 10I_ {2},}

A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A,

{\ displaystyle A ^ {4} = A ^ {3} A = (27A + 10I_ {2}) A = 27A ^ {2} + 10A = 27 (5A + 2I_ {2}) + 10A,}

{\ displaystyle A ^ {4} = A ^ {3} A = (27A + 10I_ {2}) A = 27A ^ {2} + 10A = 27 (5A + 2I_ {2}) + 10A,}

A^{4}=145A+54I_{2}.

{\ displaystyle A ^ {4} = 145A + 54I_ {2}.}

{\ displaystyle A ^ {4} = 145A + 54I_ {2}.}

Demonstrație

O dovadă analitică este furnizată pentru orice eventualitate $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ fie câmpul numerelor reale, fie complexe : fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice pătrată cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dungi. Să presupunem inițial că $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ să fie diagonalizabile pe câmpul numerelor complexe. Prin urmare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este similar cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ diagonală, cu alte cuvinte există o matrice inversabilă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât:

A=M^{-1}DM.

{\ displaystyle A = M ^ {- 1} DM.}

{\ displaystyle A = M ^ {- 1} DM.}

Matricile $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ au același polinom caracteristic, care este luat în considerare ca:

p(x)=(\lambda _{1}-x)\cdots (\lambda _{n}-x),

{\ displaystyle p (x) = (\ lambda _ {1} -x) \ cdots (\ lambda _ {n} -x),}

{\ displaystyle p (x) = (\ lambda _ {1} -x) \ cdots (\ lambda _ {n} -x),}

unde este $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}}$ sunt valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (cu multiplicitate), prezent pe diagonala lui $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Aici este ușor să verificați asta $p(D)$ ${\ displaystyle p (D)}$ ${\ displaystyle p (D)}$ este produsul matricelor diagonale cu zerouri variabile pe diagonală și, prin urmare, este matricea nulă. Pe de altă parte, se întâmplă că:

p(A)=p(M^{-1}DM)=M^{-1}p(D)M=M^{-1}0M=0.

{\ displaystyle p (A) = p (M ^ {- 1} DM) = M ^ {- 1} p (D) M = M ^ {- 1} 0M = 0.}

{\ displaystyle p (A) = p (M ^ {- 1} DM) = M ^ {- 1} p (D) M = M ^ {- 1} 0M = 0.}

Teorema pentru matrici diagonalizabile a fost dovedită. Setul de matrice pe care se poate diagonaliza $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ formează un întreg dens în spațiul topologic al matricelor $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Funcția care se leagă de o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ matricea $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ și continuă. O funcție continuă care este întotdeauna zero pe un dens este zero peste tot, de aici teza.

În cazul matricilor pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ oricare, o dovadă poate fi obținută conform următoarei schițe. Se întinde pentru început $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ la închiderea sa algebrică $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . În $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are deci $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ valori proprii (numărarea multiplicităților) și, prin urmare, pot fi puse în formă triunghiulară . Acum, pentru matricile triunghiulare, teorema este ușor de verificat, similar cu ceea ce tocmai am văzut pentru matricile diagonale.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Carrier · subspatiu ( Subspatiul generat ) · Aplicație Liniar ( Core · imagine ) · Base · Dimensiunea · dimensiunea Teorema · Grassmann Formula · sistem liniar · Gauss algoritm · Rouche-Capelli , teorema · Regula lui Cramer · spațiu dual · proiectiv spațiu · afină spațiu · Dimensiune teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema