Funcția de identitate

În matematică se numește funcția de identitate pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ funcția care asociază elementul în sine cu fiecare element.

Funcția de identitate activată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este indicat cu $\mathrm {id} _{X}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {X}}$ ${\ mathrm {id}} _ {X}$ . Prin urmare, are $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ca domeniu și codomain și este astfel încât pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ da ai $\mathrm {id} _{X}(x)=x$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {X} (x) = x}$ ${\ mathrm {id}} _ {X} (x) = x$ .

Proprietate

Funcția de identitate este cea mai simplă dintre funcțiile care pot fi definite pe un set și este, de asemenea, compatibilă cu practic toate structurile matematice deținute de set; este de fapt folosit ca prototip pentru definirea automorfismelor , adică funcțiile interne ale unui set, care își păstrează structurile. În cadrul grupului de automorfisme ale unei structuri date, identitatea constituie și elementul neutru în ceea ce privește compoziția morfismelor.

În funcție de structurile pe care este aplicată, funcția de identitate are deci caracteristici diferite:

pe un set este o bijecție ;
pe orice structură algebrică este un izomorfism ;
pe un spațiu vectorial este o funcție liniară ;
pe un spațiu metric este o izometrie ;
pe un spațiu topologic este un homeomorfism ;
pe o varietate diferențiată este un difeomorfism .

Reprezentări

Funcția de identitate poate fi reprezentată în moduri diferite în funcție de caracteristicile mulțimilor pe care este definită; de exemplu:

în ansamblu $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ a numerelor reale este posibil să se reprezinte funcția $\mathrm {id} _{\mathbb {R} }$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {\ mathbb {R}}}$ ${\ mathrm {id}} _ {{\ mathbb {R}}}$ cu graficul său pe plan cartezian care corespunde bisectoarei primului și celui de- al treilea cadran ;

pe un spațiu vectorial dimensional $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ funcția de identitate este o transformare liniară reprezentată de matricea de identitate de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică