Funcția integrală exponențială

Graficul lui E ₁ (mai sus) și Ei (mai jos).

În matematică , funcția integrală exponențială este o funcție specială complexă caracterizată prin integralul definit al relației dintre funcția exponențială și argumentul acesteia.

Definiție

Funcția integrală exponențială ${\mbox{Ei}}(x)$ ${\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x)}$ este definit ca:

{\mbox{Ei}}(x):=-\int _{-x}^{+\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x): = - \ int _ {- x} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {e ^ {t}} {t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x): = - \ int _ {- x} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {e ^ {t}} {t}} \ mathrm {d} t}

De cand $1/t$ ${\ displaystyle 1 / t}$ ${\ displaystyle 1 / t}$ divergă pentru $t\to 0$ ${\ displaystyle t \ to 0}$ ${\ displaystyle t \ to 0}$ , integralul anterior trebuie înțeles ca principala valoare Cauchy :

{\mbox{Ei}}(x)=\lim _{\delta \to 0}\left[\int _{-\infty }^{-\delta }{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\mathrm {d} t\right]

{\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x) = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {- \ delta} {\ frac {e ^ {t} } {t}} \ mathrm {d} t + \ int _ {\ delta} ^ {x} {\ frac {e ^ {t}} {t}} \ mathrm {d} t \ right]}

{\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x) = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {- \ delta} {\ frac {e ^ {t} } {t}} \ mathrm {d} t + \ int _ {\ delta} ^ {x} {\ frac {e ^ {t}} {t}} \ mathrm {d} t \ right]}

Algoritmul lui Risch arată că aceasta nu este o funcție elementară .

Pentru valorile complexe ale argumentului, se folosește funcția:

{\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{+\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (z) = \ int _ {z} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \ mathrm {d} t \ qquad | {\ rm {Arg}} (z) | <\ pi}

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (z) = \ int _ {z} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- t}} {t}} \ mathrm {d} t \ qquad | {\ rm {Arg}} (z) | <\ pi}

care prin extensie analitică poate fi extinsă la întregul plan complex. Integrala exponențială este astfel definită și ca:

{\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x)

{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (- x) = - {\ rm {E}} _ {1} (x)}

{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (- x) = - {\ rm {E}} _ {1} (x)}

Mai mult, avem acest lucru pentru valorile pozitive ale $\mathrm {Re} (z)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z)}$ :

\mathrm {E} _{1}(z)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du\qquad \mathrm {Re} (z)\geq 0

{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- tz}} {t}} \, dt = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {e ^ {- z / u}} {u}} \, du \ qquad \ mathrm {Re} (z) \ geq 0}

{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {1} (z) = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- tz}} {t}} \, dt = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {e ^ {- z / u}} {u}} \, du \ qquad \ mathrm {Re} (z) \ geq 0}

Integrala exponențială este strâns legată de funcția integrală logaritmică , care poate fi definită ca:

{\mbox{li}}(x):={\mbox{Ei}}(\ln(x))

{\ displaystyle {\ mbox {li}} (x): = {\ mbox {Ei}} (\ ln (x))}

{\ displaystyle {\ mbox {li}} (x): = {\ mbox {Ei}} (\ ln (x))}

pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pozitive reale altele decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Dezvoltare în serie

Prin integrarea dezvoltării lui Taylor de $e^{-t}/t$ ${\ displaystyle e ^ {- t} / t}$ ${\ displaystyle e ^ {- t} / t}$ putem obține următoarea dezvoltare a seriei pentru $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ :

\mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!k}}\qquad x\neq 0

{\ displaystyle \ mathrm {Ei} (x) = \ gamma + \ ln | x | + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k! k}} \ qquad x \ neq 0}

{\ displaystyle \ mathrm {Ei} (x) = \ gamma + \ ln | x | + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k! k}} \ qquad x \ neq 0}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ denotă constanta Euler-Mascheroni . Pentru subiecte complexe se generalizează cu:

\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!k}}\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = - \ gamma - \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {k}} { k! k}} \ qquad | \ mathrm {Arg} (z) | <\ pi}

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = - \ gamma - \ ln z- \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {k}} { k! k}} \ qquad | \ mathrm {Arg} (z) | <\ pi}

Graficul

\mathrm {E_{1}}

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}}}

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}}}

este delimitat de funcțiile elementare

{\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- x} \, \ ln \! \ left (1 + {\ frac {2} {x}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- x} \, \ ln \! \ left (1 + {\ frac {2} {x}} \ right)}

(în albastru) e

e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)

{\ displaystyle e ^ {- x} \, \ ln \! \ left (1 + {\ frac {1} {x}} \ right)}

{\ displaystyle e ^ {- x} \, \ ln \! \ left (1 + {\ frac {1} {x}} \ right)}

(în roșu) pentru

X

{\ displaystyle x}

X

real și pozitiv.

Această sumă converge pentru fiecare $z\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ . O serie care converge mai repede se datorează lui Ramanujan :

{\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}

{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (x) = \ gamma + \ ln x + \ exp {(x / 2)} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1 ) ^ {n-1} x ^ {n}} {n! \, 2 ^ {n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} { \ frac {1} {2k + 1}}}

{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (x) = \ gamma + \ ln x + \ exp {(x / 2)} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1 ) ^ {n-1} x ^ {n}} {n! \, 2 ^ {n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} { \ frac {1} {2k + 1}}}

Există, de asemenea, o serie divergentă care aproximează integralul exponențial, obținut prin integrare $ze^{z}\mathrm {E_{1}} (z)$ ${\ displaystyle ze ^ {z} \ mathrm {E_ {1}} (z)}$ ${\ displaystyle ze ^ {z} \ mathrm {E_ {1}} (z)}$ pe părți:

\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = {\ frac {\ exp (-z)} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {n! } {(- z) ^ {n}}}}

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = {\ frac {\ exp (-z)} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {n! } {(- z) ^ {n}}}}

care are o eroare de ordinul $O(N!z^{-N})$ ${\ displaystyle O (N! z ^ {- N})}$ ${\ displaystyle O (N! z ^ {- N})}$ și este valabil pentru valori mari de $\mathrm {Re} (z)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z)}$ .

Din seria anterioară este clar că $\mathrm {E_{1}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}}}$ se comportă ca un exponențial negativ pentru valorile mari ale argumentului și ca un logaritm pentru valorile mici. Când argumentul este real și pozitiv avem:

{\frac {1}{2}}e^{-x}\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\mathrm {E_{1}} (x)<e^{-x}\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- x} \ ln \! \ left (1 + {\ frac {2} {x}} \ right) <\ mathrm {E_ {1}} (x) <e ^ {- x} \ ln \! \ left (1 + {\ frac {1} {x}} \ right) \ qquad x> 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- x} \ ln \! \ left (1 + {\ frac {2} {x}} \ right) <\ mathrm {E_ {1}} (x) <e ^ {- x} \ ln \! \ left (1 + {\ frac {1} {x}} \ right) \ qquad x> 0}

așa cum se arată în graficul lateral.

Întreaga funcție

Este ${\mbox{Ei}}(x)$ ${\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x)}$ acea funcție ${\rm {E}}_{1}(x)$ ${\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (x)}$ ${\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (x)}$ poate fi exprimat folosind o funcție întreagă :

{\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}

{\ displaystyle {\ rm {Ein}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1-e ^ {- t}} {t}} \ mathrm {d} t = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {k \; k!}}}

{\ displaystyle {\ rm {Ein}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1-e ^ {- t}} {t}} \ mathrm {d} t = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {k \; k!}}}

Cu această funcție și funcția logaritmică, pot fi utilizate următoarele definiții ca definiții:

\mathrm {E_{1}} (z)=-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad |\mathrm {Arg} (z)|<\pi

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = - \ gamma - \ ln z + {\ rm {Ein}} (z) \ qquad | \ mathrm {Arg} (z) | <\ pi}

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = - \ gamma - \ ln z + {\ rm {Ein}} (z) \ qquad | \ mathrm {Arg} (z) | <\ pi}

\mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln x-\mathrm {Ein} (-x)\qquad x>0

{\ displaystyle \ mathrm {Ei} (x) = \ gamma + \ ln x- \ mathrm {Ein} (-x) \ qquad x> 0}

{\ displaystyle \ mathrm {Ei} (x) = \ gamma + \ ln x- \ mathrm {Ein} (-x) \ qquad x> 0}

Generalizări

O generalizare a funcției integrale exponențiale este:

{\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {n} (x) = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- xt}} {t ^ {n}}} \ , dt}

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {n} (x) = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- xt}} {t ^ {n}}} \ , dt}

care poate fi scris ca un caz special al funcției gamma incomplete :

{\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1-n, x)}

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {n} (x) = x ^ {n-1} \ Gamma (1-n, x)}

Bibliografie

( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover, (Capitolul 5)
( EN ) Carl M. Bender și Steven A. Orszag, Metode matematice avansate pentru oamenii de știință și ingineri , McGraw - Hill, 1978, ISBN 0-07-004452-X .
(EN) Bleistein Norman și Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986, ISBN 0-486-65082-0 .
( EN ) Arfken, G. Metode matematice pentru fizicieni, ed . A III-a . Orlando, FL: Academic Press, pp. 566-568, 1985.
( EN ) Finch, SR "Constanta Euler-Gompertz." §6.2 în constante matematice. Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, pp. 423-428, 2003.
(EN) Harris, FE "Sferical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals". Aplic. Num. Matematica . 34 , 95-98, 2000.
(EN) Havil, J. Gamma: Explorarea constantei lui Euler. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 105-106, 2003.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcție integrală exponențială

linkuri externe

( EN ) AB Ivanov, Funcția exponențială integrală , în Enciclopedia de matematică , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Exponential Integral , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, En-Function in MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Documentația NIST privind integrala exponențială generalizată , la dlmf.nist.gov .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică