Principala valoare a lui Cauchy

În matematică, valoarea principală a lui Cauchy sau integrală în partea principală , numită în cinstea lui Augustin-Louis Cauchy , este metoda de atribuire a unei valori integrale necorespunzătoare altfel nedefinite, permițând, de exemplu, definirea funcției logaritme integrale .

Definiție

Valoarea principală a lui Cauchy este definită ca integralul generalizat al unei funcții efectuate pe intervale simetrice față de o singularitate sau, în cazul integralelor efectuate pe întreaga axă reală extinsă, pe intervale simetrice față de origine. Pe baza domeniului integrării și a tipului de singularitate a funcției integrand, valoarea principală Cauchy este definită după cum urmează.

Pentru o integral dublă infinită:

{\mbox{P.V.}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx:=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}f(x)dx

{\ displaystyle {\ mbox {PV}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx: = \ lim _ {R \ to + \ infty} \ int _ {- R} ^ {R} f (x) dx}

{\ mbox {PV}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} f (x) dx: = \ lim _ {{R \ to + \ infty}} \ int _ {{ -R}} ^ {{R}} f (x) dx

Dacă funcția integrand are o singularitate în $c\in \;]a,b[$ ${\ displaystyle c \ in \;] a, b [}$ $c \ in \;] a, b [$ asa de:

{\mbox{P.V.}}\int _{a}^{b}f(x)dx:=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)dx\right]

{\ displaystyle {\ mbox {PV}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx: = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ left [\ int _ {a} ^ {c- \ varepsilon} f (x) dx + \ int _ {c + \ varepsilon} ^ {b} f (x) dx \ right]}

{\ mbox {PV}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx: = \ lim _ {{\ varepsilon \ to 0 ^ {+}}} \ left [\ int _ {a} ^ {{c- \ varepsilon}} f (x) dx + \ int _ {{c + \ varepsilon}} ^ {b} f (x) dx \ right]

Dacă integrala este de două ori infinită și funcția integrand are o singularitate în $c\in \;]a,b[$ ${\ displaystyle c \ in \;] a, b [}$ $c \ in \;] a, b [$ asa de:

{\mbox{P.V.}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx:=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{c-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{c-\varepsilon }f(x)dx+\int _{c+\varepsilon }^{c+{\frac {1}{\varepsilon }}}f(x)dx\right]

{\ displaystyle {\ mbox {PV}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx: = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ left [\ int _ {c - {\ frac {1} {\ varepsilon}}} ^ {c- \ varepsilon} f (x) dx + \ int _ {c + \ varepsilon} ^ {c + {\ frac {1} {\ varepsilon}}} f (x) dx \ right]}

{\ mbox {PV}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} f (x) dx: = \ lim _ {{\ varepsilon \ to 0 ^ {+}}} \ left [\ int _ {{c - {\ frac 1 {\ varepsilon}}}} ^ {{c- \ varepsilon}} f (x) dx + \ int _ {{c + \ varepsilon}} ^ {{c + {\ frac 1 {\ varepsilon}}}} f (x) dx \ right]

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică