Integrală necorespunzătoare

În analiza matematică , integralul necorespunzător sau generalizat este limita unei integrale care este definită prin tendința de la o extremă de integrare (sau ambele) la un număr real sau la infinit; acest număr real poate aparține setului de definiții al funcției integrand (și în acest caz se obține același rezultat ca și calcularea unei integrale definite) sau poate reprezenta un punct de discontinuitate. ^[1]

Integralele necorespunzătoare sunt utilizate pentru a face integrale calculabile referitoare la intervale nelimitate și / sau funcții nelimitate, care nu sunt tratabile cu integrala Riemann . De fapt, necesită limitare atât pentru intervalul de integrare, cât și pentru funcția de integrare. ^[2]

Definiție

O integrală necorespunzătoare este o limită a formei: ^[3]

\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x}

sau:

\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.

{\ displaystyle \ lim _ {c \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ lim _ {c \ to a ^ {+}} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x.}

{\ displaystyle \ lim _ {c \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x, \ qquad \ lim _ {c \ to a ^ {+}} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x.}

O integrală este, de asemenea, necorespunzătoare dacă funcția de integrare nu este definită în unul sau mai multe puncte interne ale domeniului de integrare.

Integrare pe intervale nelimitate

Un exemplu

Există trei cazuri:

Este $f\colon [a,+\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, + \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, + \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ continua . Apoi întrebăm:

\int _{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim _{z\to +\infty }\int _{a}^{z}f(x)dx.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f (x) dx = \ lim _ {z \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {z} f (x) dx.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f (x) dx = \ lim _ {z \ to + \ infty} \ int _ {a} ^ {z} f (x) dx.}

De exemplu:

\int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{\alpha }}}dx={\frac {1}{\alpha -1}},\quad

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {x ^ {\ alpha}}} dx = {\ frac {1} {\ alpha -1}}, \ quad}

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {x ^ {\ alpha}}} dx = {\ frac {1} {\ alpha -1}}, \ quad}

de sine

\alpha >1.

{\ displaystyle \ alpha> 1.}

{\ displaystyle \ alpha> 1.}

Este $f:(-\infty ,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: (- \ infty, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: (- \ infty, b] \ to \ mathbb {R}}$ continuă. Apoi întrebăm:

\int _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{z\to -\infty }\int _{z}^{b}f(x)dx.

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {z \ to - \ infty} \ int _ {z} ^ {b} f (x) dx.}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {z \ to - \ infty} \ int _ {z} ^ {b} f (x) dx.}

De exemplu:

\int _{-\infty }^{0}x^{n}e^{x}dx=(-1)^{n+1}n!,

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {0} x ^ {n} e ^ {x} dx = (- 1) ^ {n + 1} n!,}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {0} x ^ {n} e ^ {x} dx = (- 1) ^ {n + 1} n!,}

pentru

n

{\ displaystyle n}

n

număr întreg negativ.

Este $f\colon (-\infty ,+\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon (- \ infty, + \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon (- \ infty, + \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ continuă. Apoi ne ridicăm, exploatând proprietatea aditivității:

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int _{c}^{+\infty }f(x)dx,

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = \ int _ {- \ infty} ^ {c} f (x) dx + \ int _ {c} ^ {+ \ infty} f (x) dx,}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = \ int _ {- \ infty} ^ {c} f (x) dx + \ int _ {c} ^ {+ \ infty} f (x) dx,}

unde este

c

{\ displaystyle c}

c

este orice punct. De exemplu:

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = {\ sqrt {\ pi}}.}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = {\ sqrt {\ pi}}.}

Dacă limita de calculat există finită se spune că funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este integrabilă în intervalul de integrare respectiv și că integralul este convergent. Dacă, pe de altă parte, limita este valabilă $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ sau $-\infty ,$ ${\ displaystyle - \ infty,}$ ${\ displaystyle - \ infty,}$ se spune că integrala este divergentă. Altfel se spune că integralul nu există sau este nedeterminat. ^[4]

Integrare cu integranda nelimitată

Un exemplu

Există trei cazuri:

Este $f\colon [a,b)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b) \ to \ mathbb {R}}$ continuă să divergă în $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Apoi întrebăm:

\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b- \ varepsilon} f (x) dx.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {b- \ varepsilon} f (x) dx.}

De exemplu:

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\tan xdx.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ tan xdx.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ tan xdx.}

Este $f\colon (a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon (a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon (a, b] \ to \ mathbb {R}}$ continuă să divergă în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Apoi întrebăm:

\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a + \ varepsilon} ^ {b} f (x) dx.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a + \ varepsilon} ^ {b} f (x) dx.}

De exemplu:

\int _{1}^{3}{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-1}}dx.

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {3} {\ frac {x ^ {2} +2} {x ^ {3} -1}} dx.}

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {3} {\ frac {x ^ {2} +2} {x ^ {3} -1}} dx.}

Este $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon (a, b) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon (a, b) \ to \ mathbb {R}}$ continuă să divergă în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ si in $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Apoi întrebăm:

\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+} \atop \delta \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\delta }f(x)dx.

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+} \ atop \ delta \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a + \ varepsilon} ^ {b- \ delta} f (x) dx.}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+} \ atop \ delta \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a + \ varepsilon} ^ {b- \ delta} f (x) dx.}

Dacă într-unul din aceste cazuri limita există finită, funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este integrabilă în intervalul de integrare respectiv și că integralul este convergent, în timp ce limita este valabilă $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ sau $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ se spune că integrala este divergentă. Altfel se spune că integralul nu există sau că este nedeterminat.

Condiții de integrabilitate infinită

Dacă limita de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , atunci o condiție necesară pentru ca o integrală să fie convergentă este ca funcția să fie limitată la divergența argumentului. De fapt, dacă acest lucru nu s-ar întâmpla, ar fi posibil să se identifice o constantă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât este $|f(x)|>M$ ${\ displaystyle | f (x) |> M}$ ${\ displaystyle | f (x) |> M}$ pentru $|x|>x_{0}$ ${\ displaystyle | x |> x_ {0}}$ ${\ displaystyle | x |> x_ {0}}$ , iar pentru monotonia și aditivitatea integralei am avea:

\int _{a}^{+\infty }f(x)dx=\int _{a}^{x_{0}}f(x)dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }f(x)dx\geq \int _{a}^{x_{0}}f(x)dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }Mdx=+\infty

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f (x) dx = \ int _ {a} ^ {x_ {0}} f (x) dx + \ int _ {x_ {0}} ^ {+ \ infty} f (x) dx \ geq \ int _ {a} ^ {x_ {0}} f (x) dx + \ int _ {x_ {0}} ^ {+ \ infty} Mdx = + \ infty}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f (x) dx = \ int _ {a} ^ {x_ {0}} f (x) dx + \ int _ {x_ {0}} ^ {+ \ infty} f (x) dx \ geq \ int _ {a} ^ {x_ {0}} f (x) dx + \ int _ {x_ {0}} ^ {+ \ infty} Mdx = + \ infty}

întrucât al doilea addend este egal cu produsul unei constante diferite de zero și măsura intervalului $[x_{0},+\infty )$ ${\ displaystyle [x_ {0}, + \ infty)}$ ${\ displaystyle [x_ {0}, + \ infty)}$ , care este infinit. Pot exista și cazuri în care integralul este convergent, dar limita funcției nu există. De exemplu, dată unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ asta merită $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este întreg și în orice alt punct, avem că această funcție nu converge la (este posibil să găsim o secvență de valori ale funcției care este constant 1), dar are integral, deoarece aria de sub funcție în fiecare finit intervalul este.

O condiție necesară și suficientă pentru $\int _{a}^{+\infty }f(x)dx$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f (x) dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {+ \ infty} f (x) dx}$ existența finită este aceea pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ există $\gamma >0$ ${\ displaystyle \ gamma> 0}$ ${\ displaystyle \ gamma> 0}$ astfel încât pentru fiecare $|x_{1}-x_{2}|<\gamma$ ${\ displaystyle | x_ {1} -x_ {2} | <\ gamma}$ ${\ displaystyle | x_ {1} -x_ {2} | <\ gamma}$ avem:

\left|\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon .

{\ displaystyle \ left | \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) dx \ right | <\ varepsilon.}

{\ displaystyle \ left | \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) dx \ right | <\ varepsilon.}

Criterii de integrabilitate infinită

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții definite în interval $[a,+\infty )$ ${\ displaystyle [a, + \ infty)}$ $[a, + \ infty)$ . Luând în considerare teoria limitelor , pot fi definite două criterii de integrabilitate. ^[5]

Criteriul de comparație

Dacă se întâmplă că:

0\leq f(x)\leq c\cdot g(x),\quad \forall x\in [a,+\infty ),

{\ displaystyle 0 \ leq f (x) \ leq c \ cdot g (x), \ quad \ forall x \ in [a, + \ infty),}

{\ displaystyle 0 \ leq f (x) \ leq c \ cdot g (x), \ quad \ forall x \ in [a, + \ infty),}

pentru o anumită constantă $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , atunci avem asta:

de sine $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ poate fi integrat în $[a,+\infty ),$ ${\ displaystyle [a, + \ infty),}$ ${\ displaystyle [a, + \ infty),}$ apoi și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat în $[a,+\infty );$ ${\ displaystyle [a, + \ infty);}$ ${\ displaystyle [a, + \ infty);}$
de sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este divergent în $[a,+\infty ),$ ${\ displaystyle [a, + \ infty),}$ ${\ displaystyle [a, + \ infty),}$ apoi și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este divergent în $[a,+\infty ).$ ${\ displaystyle [a, + \ infty).}$ ${\ displaystyle [a, + \ infty).}$

Criteriul comparației asimptotice

Același subiect în detaliu: Estimarea asimptotică § Secvențe asimptotice .

De sine $f>0$ ${\ displaystyle f> 0}$ $f> 0$ , $g>0$ ${\ displaystyle g> 0}$ ${\ displaystyle g> 0}$ Și $f\sim g$ ${\ displaystyle f \ sim g}$ ${\ displaystyle f \ sim g}$ pentru $x\to +\infty$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ (adică atunci când limita relației dintre funcții este un număr finit altul decât zero), atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat dacă și numai dacă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ poate fi integrat. De asemenea, dacă $f=o(g)$ ${\ displaystyle f = o (g)}$ ${\ displaystyle f = o (g)}$ asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat dacă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ poate fi integrat.

Criteriul de convergență absolută

Având o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , integrala necorespunzătoare a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ între două extreme $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ se spune că este absolut convergent dacă integrala lui $|f(x)|$ ${\ displaystyle | f (x) |}$ $| f (x) |$ între $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Dacă o integrală necorespunzătoare este absolut convergentă, atunci este convergentă, în timp ce implicația inversă nu este validă ^[6] . Criteriul convergenței absolute este utilizat atunci când $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ nu are niciun semn constant într-un vecinătate a extremei în care integralul este impropriu și, prin urmare, este imposibil să se utilizeze celelalte criterii.

Notă

^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Green Mathematics - Vol. 5 , Zanichelli, 2013, ISBN 978-88-08-23610-4 . p.1388
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . pp. 599-603
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . pp. W92-W95
^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Green Mathematics - Vol. 5 , Zanichelli, 2013, ISBN 978-88-08-23610-4 . p.1390
^ Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.301
^ Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.305

Bibliografie

Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Green Mathematics - Vol. 5 , Zanichelli, 2013, ISBN 978-88-08-23610-4 .
Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Integral necorespunzător

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Green Mathematics - Vol. 5 , Zanichelli, 2013, ISBN 978-88-08-23610-4 . p.1388

[2] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . pp. 599-603

[3] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . pp. W92-W95

[4] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Green Mathematics - Vol. 5 , Zanichelli, 2013, ISBN 978-88-08-23610-4 . p.1390

[5] Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.301

[6] Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.305

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy