Teorema funcției implicite

În matematică , în special în analiza și geometria matematică , teorema funcției implicite este un instrument important care stabilește când locusul zerourilor unei ecuații implicite poate fi explicit în raport cu o variabilă.

În literatura italiană, teorema este numită în general teorema lui Dini în onoarea matematicianului Ulisse Dini , care a ajutat la extinderea formulării. ^[1]

Teorema lui Dini

Teorema lui Dini afirmă că o funcție reală a clasei $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ a două variabile precum:

F(x,y)

{\ displaystyle F (x, y)}

F (x, y)

definește implicit o singură funcție de tipul:

y=f(x)

{\ displaystyle y = f (x)}

y = f (x)

într-un cartier de un punct $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ astfel încât (făcând explicit cu privire la variabila y): ^[2]

F(a,b)=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b)\neq 0

{\ displaystyle F (a, b) = 0 \ qquad {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (a, b) \ neq 0}

F (a, b) = 0 \ qquad {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (a, b) \ neq 0

Teorema lui Dini oferă astfel o condiție suficientă pentru ca o singură funcție să existe $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ astfel încât

F(x,f(x))=0

{\ displaystyle F (x, f (x)) = 0}

F (x, f (x)) = 0

este mulțumit de a varia $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , care este o singură funcție $x=g(y)$ ${\ displaystyle x = g (y)}$ $x = g (y)$ astfel încât

F(g(y),y)=0

{\ displaystyle F (g (y), y) = 0}

F (g (y), y) = 0

este mulțumit de a varia $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Acest lucru nu înseamnă că este posibil să se explice una dintre cele două necunoscute în funcție de cealaltă sau că este posibil să se găsească $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ sau $x=g(y)$ ${\ displaystyle x = g (y)}$ $x = g (y)$ într-o formă explicită, dar arată mai degrabă că există cel puțin una dintre cele două funcții, numită funcție implicită.

Dacă ne limităm la identificarea anumitor tipuri de funcții, de exemplu cele continue și definite pe un interval, putem demonstra și unicitatea lor, care stabilește o echivalență formală între scrierea implicită $F(x,y)=0$ ${\ displaystyle F (x, y) = 0}$ $F (x, y) = 0$ iar cea explicită $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ sau $x=g(y)$ ${\ displaystyle x = g (y)}$ $x = g (y)$ . De exemplu, ecuația:

F(x,y)=y+x^{2}e^{y}=0

{\ displaystyle F (x, y) = y + x ^ {2} e ^ {y} = 0}

F (x, y) = y + x ^ {2} și ^ {y} = 0

definește bine o singură funcție continuă $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ definit pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ real, care însă nu poate fi scris explicit.

Afirmație

Este $F:G\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle F: G \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ $F: G \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}$ o funcție cu valoare reală, diferențiată și ale cărei prime derivate parțiale sunt funcții continue. De asemenea, să fie $(x_{0},y_{0})\in G$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ în G}$ $(x_ {0}, y_ {0}) \ în G.$ astfel încât:

F(x_{0},y_{0})=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0\

{\ displaystyle F (x_ {0}, y_ {0}) = 0 \ qquad {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0 \}

{\ displaystyle F (x_ {0}, y_ {0}) = 0 \ qquad {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0 \}

Teorema afirmă că există o funcție real diferențiată:

g:[x_{0}-h,x_{0}+h]\to [y_{0}-k,y_{0}+k]\qquad h,k>0\quad h,k\in \mathbb {R}

{\ displaystyle g: [x_ {0} -h, x_ {0} + h] \ to [y_ {0} -k, y_ {0} + k] \ qquad h, k> 0 \ quad h, k \ în \ mathbb {R}}

g: [x_ {0} -h, x_ {0} + h] \ to [y_ {0} -k, y_ {0} + k] \ qquad h, k> 0 \ quad h, k \ in \ mathbb {R}

a cărei primă derivată este continuă. Mai mult, graficul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este setul de perechi:

\{(x,y)\in G:F(x,y)=0\}

{\ displaystyle \ {(x, y) \ în G: F (x, y) = 0 \}}

\ {(x, y) \ în G: F (x, y) = 0 \}

care sunt conținute în dreptunghi:

[x_{0}-h,x_{0}+h]\times [y_{0}-k,y_{0}+k]

{\ displaystyle [x_ {0} -h, x_ {0} + h] \ times [y_ {0} -k, y_ {0} + k]}

[x_ {0} -h, x_ {0} + h] \ times [y_ {0} -k, y_ {0} + k]

Teorema în două dimensiuni

Luați în considerare o funcție din clasa C ¹ $F:A\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle F: A \ to \ mathbb {R}}$ $F: A \ to \ mathbb {R}$ definit pe un set deschis $A\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}}$ $A \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}$ , și ia în considerare ansamblul:

Z=\{(x,y)\in A:F(x,y)=0\}

{\ displaystyle Z = \ {(x, y) \ în A: F (x, y) = 0 \}}

Z = \ {(x, y) \ în A: F (x, y) = 0 \}

.

De sine $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ nu este gol, există un punct $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ astfel încât:

F(x_{0},y_{0})=0\

{\ displaystyle F (x_ {0}, y_ {0}) = 0 \}

F (x_ {0}, y_ {0}) = 0 \

Teorema afirmă că dacă $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ nu este un punct critic , adică:

\nabla F(x_{0},y_{0})\neq 0\

{\ displaystyle \ nabla F (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0 \}

\ nabla F (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0 \

apoi există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ astfel încât întregul $Z\cap U$ ${\ displaystyle Z \ cap U}$ $Z \ cap U$ este graficul unei funcții diferențiabile.

Aceasta este la fel ca a spune că există o singură funcție de acest tip $y=y(x)$ ${\ displaystyle y = y (x)}$ $y = y (x)$ sau tip $x=x(y)$ ${\ displaystyle x = x (y)}$ $x = x (y)$ care relatează cele două necunoscute $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Rețineți că acest lucru nu înseamnă că este cu adevărat posibil să se explice una dintre cele două variabile în funcție de cealaltă, ci doar că ecuația definește implicit o legătură între cele două necunoscute care este unică.

Este $g:A\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \;\mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: A \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \; \ mathbb {R}}$ $g: A \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \; {\ mathbb {R}}$ o funcție de clasă ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ în aer liber $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și fie $(x_{0},y_{0})\in A$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ în A}$ $(x_ {0}, y_ {0}) \ în A$ astfel încât:

g(x_{0},y_{0})=0\qquad g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0

{\ displaystyle g (x_ {0}, y_ {0}) = 0 \ qquad g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0}

g (x_ {0}, y_ {0}) = 0 \ qquad g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0

Apoi, există un interval deschis real $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , cu $x_{0}\in I$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în I}$ $x_ {0} \ în I$ , un adevărat interval deschis $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ , cu $y_{0}\in J$ ${\ displaystyle y_ {0} \ în J}$ $y_ {0} \ în J$ , și o funcție $y(x)$ ${\ displaystyle y (x)}$ $y (x)$ elegant ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ la valori în $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ astfel încât:

y(x_{0})=y_{0}\qquad y'(x_{0})=-\left({\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}\right)

{\ displaystyle y (x_ {0}) = y_ {0} \ qquad y '(x_ {0}) = - \ left ({\ frac {g_ {x} (x_ {0}, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} \ right)}

y (x_ {0}) = y_ {0} \ qquad y '(x_ {0}) = - \ left ({\ frac {g_ {x} (x_ {0}, y_ {0})} {g_ { y} (x_ {0}, y_ {0})}} \ dreapta)

și astfel încât pentru fiecare $x\in I,y\in J$ ${\ displaystyle x \ in I, y \ in J}$ $x \ in I, y \ in J$ relația:

g(x,y)=0\

{\ displaystyle g (x, y) = 0 \}

g (x, y) = 0 \

apare dacă și numai dacă:

y=y(x)\

{\ displaystyle y = y (x) \}

y = y (x) \

Prin schimbarea rolurilor variabilelor, se definește o funcție $x=x(y)$ ${\ displaystyle x = x (y)}$ $x = x (y)$ .

Demonstrații

Prima demonstrație

Să se dea o funcție continuă $g:A\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: A \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ $g: A \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}$ elegant ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât $\nabla g(x,y)\neq 0$ ${\ displaystyle \ nabla g (x, y) \ neq 0}$ $\ nabla g (x, y) \ neq 0$ în toate punctele astfel încât $g(x,y)=0$ ${\ displaystyle g (x, y) = 0}$ $g (x, y) = 0$ , adică în linia de nivel :

V=\{(x,y)\in A:g(x,y)=0\}

{\ displaystyle V = \ {(x, y) \ în A: g (x, y) = 0 \}}

V = \ {(x, y) \ în A: g (x, y) = 0 \}

.

Este $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ un punct de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și ia în considerare dezvoltarea relativă de prim ordin a lui Taylor :

g(x,y)=g(x_{0},y_{0})+g_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+g_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+o({\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}})

{\ displaystyle g (x, y) = g (x_ {0}, y_ {0}) + g_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) (x-x_ {0}) + g_ {y } (x_ {0}, y_ {0}) (y-y_ {0}) + o ({\ sqrt {(x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ { 2}}})}

g (x, y) = g (x_ {0}, y_ {0}) + g_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) (x-x_ {0}) + g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) (y-y_ {0}) + o ({\ sqrt {(x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2}} })

Ținând cont de faptul că $g(x_{0},y_{0})=0$ ${\ displaystyle g (x_ {0}, y_ {0}) = 0}$ $g (x_ {0}, y_ {0}) = 0$ , echivalând prima parte a termenului cu prima ordine la zero, obținem:

g_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+g_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0\,

{\ displaystyle g_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) (x-x_ {0}) + g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) (y-y_ {0}) = 0 \,}

g_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) (x-x_ {0}) + g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) (y-y_ {0}) = 0 \ ,

Prin ipoteză, această ecuație de prim grad are cel puțin un coeficient diferit de zero și poate fi pusă $g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0$ ${\ displaystyle g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0}$ $g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0$ . Prin urmare, poate fi obținut $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ca o funcție a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

y=y_{0}-{\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}(x-x_{0})

{\ displaystyle y = y_ {0} - {\ frac {g_ {x} (x_ {0}, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} (x -x_ {0})}

y = y_ {0} - {\ frac {g_ {x} (x_ {0}, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} (x-x_ { 0})

Teorema arată că eroarea din formula de aproximare de ordinul întâi nu afectează posibilitatea exprimării unei variabile în funcție de cealaltă.

Funcția obținută are o dezvoltare de prim ordin:

y=y_{0}-{\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}(x-x_{0})+o(x-x_{0})

{\ displaystyle y = y_ {0} - {\ frac {g_ {x} (x_ {0}, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} (x -x_ {0}) + sau (x-x_ {0})}

y = y_ {0} - {\ frac {g_ {x} (x_ {0}, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} (x-x_ { 0}) + sau (x-x_ {0})

A doua dovadă ( teorema contracției )

Să se dea o funcție continuă $g:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: A \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle g: A \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ elegant ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ în aer liber $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât pentru $(x_{0},y_{0})\in A$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ în A}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ în A}$ aveți

{\begin{aligned}g(x_{0},y_{0})=0\;\;\;\;\;g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0\end{aligned}}.

{\ displaystyle {\ begin {align} g (x_ {0}, y_ {0}) = 0 \; \; \; \; \; g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0 \ end {align}}.}

{\ displaystyle {\ begin {align} g (x_ {0}, y_ {0}) = 0 \; \; \; \; \; g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) \ neq 0 \ end {align}}.}

Să fie definită funcția

{\begin{aligned}G(x,y)=y-{\frac {g(x,y)}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}\end{aligned}}.

{\ displaystyle {\ begin {align} G (x, y) = y - {\ frac {g (x, y)} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} \ end { aliniat}}.}

{\ displaystyle {\ begin {align} G (x, y) = y - {\ frac {g (x, y)} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} \ end { aliniat}}.}

asa de $G(x_{0},y_{0})=y_{0}$ ${\ displaystyle G (x_ {0}, y_ {0}) = y_ {0}}$ ${\ displaystyle G (x_ {0}, y_ {0}) = y_ {0}}$ Și $G(x,y)=y$ ${\ displaystyle G (x, y) = y}$ ${\ displaystyle G (x, y) = y}$ pentru $(x,y)\in I\times J$ ${\ displaystyle (x, y) \ în I \ times J}$ ${\ displaystyle (x, y) \ în I \ times J}$ . Deci, găsiți zerourile din $g(x,y)$ ${\ displaystyle g (x, y)}$ $g (x, y)$ se reduce la găsirea punctului fix al funcției $G(x,y)$ ${\ displaystyle G (x, y)}$ ${\ displaystyle G (x, y)}$ .

Mulțumită teoremei contracției , știm asta, definit

X=\{\psi :I\rightarrow J\;|\;\psi \in {\mathcal {C}}^{0}\}

{\ displaystyle X = \ {\ psi: I \ rightarrow J \; | \; \ psi \ in {\ mathcal {C}} ^ {0} \}}

{\ displaystyle X = \ {\ psi: I \ rightarrow J \; | \; \ psi \ in {\ mathcal {C}} ^ {0} \}}

de cand $G\in X$ ${\ displaystyle G \ în X}$ ${\ displaystyle G \ în X}$ , $(X,\lVert \cdot \lVert _{\infty })$ ${\ displaystyle (X, \ lVert \ cdot \ lVert _ {\ infty})}$ ${\ displaystyle (X, \ lVert \ cdot \ lVert _ {\ infty})}$ atunci este ușor să demonstrezi că este un spațiu metric complet

\exists !\;y=f(x):G(x,f(x))=f(x)

{\ displaystyle \ există! \; y = f (x): G (x, f (x)) = f (x)}

{\ displaystyle \ există! \; y = f (x): G (x, f (x)) = f (x)}

Este $H:X\rightarrow X$ ${\ displaystyle H: X \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle H: X \ rightarrow X}$ o contracție astfel încât

w\mapsto H[w](x)=G(x,w(x))

{\ displaystyle w \ mapsto H [w] (x) = G (x, w (x))}

{\ displaystyle w \ mapsto H [w] (x) = G (x, w (x))}

trebuie doar să dovedim asta $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este bine definit, adică $H[w]\in X$ ${\ displaystyle H [w] \ în X}$ ${\ displaystyle H [w] \ în X}$ . Aceasta trebuie să aibă următoarele proprietăți:

$H[w]$ ${\ displaystyle H [w]}$ ${\ displaystyle H [w]}$ este continuu în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$
$\lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }\leq \varepsilon$ ${\ displaystyle \ lVert H [w] -y_ {0} \ rVert _ {\ infty} \ leq \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ lVert H [w] -y_ {0} \ rVert _ {\ infty} \ leq \ varepsilon}$

Primul este evident, deoarece operatorul este o compoziție de funcții continue. Al doilea poate fi demonstrat printr-un lanț de inegalități

{\begin{aligned}&\lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }\leq \lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert G(x,y_{0})-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }=\\[10pt]&=\lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert y_{0}-{\frac {g(x,y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \lVert G_{y}(x,\xi _{y})(w(x)-y_{0})\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq \\[10pt]&\leq {\underset {\xi _{y}\in J}{\sup }}|G_{y}(x,\xi _{y})|\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq \varepsilon \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ lVert H [w] -y_ {0} \ rVert _ {\ infty} = \ lVert G (x, w (x)) - G (x_ {0}, y_ { 0}) \ lVert _ {\ infty} \ leq \ lVert G (x, w (x)) - G (x, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty} + \ lVert G (x, y_ {0 }) - G (x_ {0}, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty} = \\ [10pt] & = \ lVert G (x, w (x)) - G (x, y_ {0} ) \ lVert _ {\ infty} + \ lVert y_ {0} - {\ frac {g (x, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} - y_ {0} \ lVert _ {\ infty} \ leq \ lVert G_ {y} (x, \ xi _ {y}) (w (x) -y_ {0}) \ lVert _ {\ infty} + {\ frac {\ lVert g (x, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty}} {| g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) |}} \ leq \\ [10pt] & \ leq {\ underset {\ xi _ {y} \ in J} {\ sup}} | G_ {y} (x, \ xi _ {y}) | \ lVert w (x) -y_ {0} \ lVert _ { \ infty} + {\ frac {\ lVert g (x, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty}} {| g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) |}} \ leq \ varepsilon \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ lVert H [w] -y_ {0} \ rVert _ {\ infty} = \ lVert G (x, w (x)) - G (x_ {0}, y_ { 0}) \ lVert _ {\ infty} \ leq \ lVert G (x, w (x)) - G (x, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty} + \ lVert G (x, y_ {0 }) - G (x_ {0}, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty} = \\ [10pt] & = \ lVert G (x, w (x)) - G (x, y_ {0} ) \ lVert _ {\ infty} + \ lVert y_ {0} - {\ frac {g (x, y_ {0})} {g_ {y} (x_ {0}, y_ {0})}} - y_ {0} \ lVert _ {\ infty} \ leq \ lVert G_ {y} (x, \ xi _ {y}) (w (x) -y_ {0}) \ lVert _ {\ infty} + {\ frac {\ lVert g (x, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty}} {| g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) |}} \ leq \\ [10pt] & \ leq {\ underset {\ xi _ {y} \ in J} {\ sup}} | G_ {y} (x, \ xi _ {y}) | \ lVert w (x) -y_ {0} \ lVert _ { \ infty} + {\ frac {\ lVert g (x, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty}} {| g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) |}} \ leq \ varepsilon \ end {align}}}

unde teorema lui Lagrange și faptul că

{\begin{aligned}&{\underset {\xi _{y}\in J}{\sup }}G_{y}(x,\xi _{y})\leq {1 \over 2}\;\;{\text{ siccome }}h,k\;{\text{ possono essere piccoli a piacimento}}\\[10pt]&\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \varepsilon \;\;{\text{ siccome }}w(x)\in X\\[10pt]&{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq {\varepsilon  \over 2}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ underset {\ xi _ {y} \ in J} {\ sup}} G_ {y} (x, \ xi _ {y}) \ leq {1 \ over 2 } \; \; {\ text {as}} h, k \; {\ text {poate fi cât de mic doriți}} \\ [10pt] & \ lVert w (x) -y_ {0} \ lVert _ {\ infty} \ leq \ varepsilon \; \; {\ text {as}} w (x) \ in X \\ [10pt] & {\ frac {\ lVert g (x, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty}} {| g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) |}} \ leq {\ varepsilon \ over 2} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ underset {\ xi _ {y} \ in J} {\ sup}} G_ {y} (x, \ xi _ {y}) \ leq {1 \ over 2 } \; \; {\ text {as}} h, k \; {\ text {poate fi cât de mic doriți}} \\ [10pt] & \ lVert w (x) -y_ {0} \ lVert _ {\ infty} \ leq \ varepsilon \; \; {\ text {as}} w (x) \ in X \\ [10pt] & {\ frac {\ lVert g (x, y_ {0}) \ lVert _ {\ infty}} {| g_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) |}} \ leq {\ varepsilon \ over 2} \ end {align}}}

Acum doar demonstrează asta $H.$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle H}$ este o contracție:

\lVert H[w]-H[v]\lVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x,h(x))\lVert _{\infty }\leq {\underset {\xi \in J}{\sup }}|G(x,\xi )|\lVert w-v\lVert _{\infty }\leq {1 \over 2}\lVert w-v\lVert _{\infty }

{\ displaystyle \ lVert H [w] -H [v] \ lVert _ {\ infty} = \ lVert G (x, w (x)) - G (x, h (x)) \ lVert _ {\ infty} \ leq {\ underset {\ xi \ in J} {\ sup}} | G (x, \ xi) | \ lVert wv \ lVert _ {\ infty} \ leq {1 \ over 2} \ lVert wv \ lVert _ {\ infty}}

{\ displaystyle \ lVert H [w] -H [v] \ lVert _ {\ infty} = \ lVert G (x, w (x)) - G (x, h (x)) \ lVert _ {\ infty} \ leq {\ underset {\ xi \ in J} {\ sup}} | G (x, \ xi) | \ lVert wv \ lVert _ {\ infty} \ leq {1 \ over 2} \ lVert wv \ lVert _ {\ infty}}

Teorema multidimensională

Este $\mathbf {f} :E\subset \mathbb {R} ^{n+m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}: E \ subset \ mathbb {R} ^ {n + m} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathbf f}: E \ subset \ mathbb {R} ^ {{n + m}} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}$ o funcție de clasă ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ , unde este $\mathbb {R} ^{n+m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + m}}$ $\ mathbb {R} ^ {{n + m}}$ este produsul cartezian $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {m}$ ale căror elemente sunt de tipul $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})$ ${\ displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {m})}$ $({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {y}}) = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {m})$ . De asemenea, să fie $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m})\in E$ ${\ displaystyle (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}, b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {A mea}$ $({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}, b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {m}) \ în E$ un astfel de punct încât $\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = 0}$ ${\ mathbf f} ({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) = 0$ .

Având în vedere matricea iacobiană a $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ în $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})}$ $({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}})$ :

{\begin{matrix}(D\mathbf {f} )(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&=&\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]={\begin{bmatrix}X&|&Y\end{bmatrix}}\\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} (D \ mathbf {f}) (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & = & \ left [{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial f_ { 1}} {\ partial x_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} ( \ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {1}}} (\ mathbf {a} , \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {n}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \ end {matrix}} \ right | \ left. {\ begin {matrix} {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial y_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & { \ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial y_ {m}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial y_ {1}}} (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial y_ {m}} } (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) \\\ end {matrix}} \ right] = {\ begin {bmatrix} X & | & Y \ end {bmatrix}} \\\ end {matrix} }}

{\ begin {matrix} (D {\ mathbf f}) ({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) & = & \ left [{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} ({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ { n}}} ({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {1 }}} ({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) și \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {n}}} ({\ mathbf {a }}, {\ mathbf {b}}) \ end {matrix}} \ right | \ left. {\ begin {matrix} {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial y_ {1}}} ( {\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial y_ {m}}} ({\ mathbf {a}}, { \ mathbf {b}}) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial y_ {1}}} ({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial y_ {m}}} ({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}}) \\\ end {matrix}} \ right] = {\ begin {bmatrix} X & | & Y \ end {bmatrix}} \\\ end {matrix}}

să presupunem că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este inversabil.

Teorema funcției implicite afirmă că există două seturi deschise $U\subset \mathbb {R} ^{n+m}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n + m}}$ $U \ subset \ mathbb {R} ^ {{n + m}}$ Și $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle V \ subset \ mathbb {R} ^ {m}}$ $V \ subset \ mathbb {R} ^ {m}$ conținând respectiv $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})}$ $({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}})$ Și $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ astfel încât pentru fiecare $\mathbf {y} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ în V}$ ${\ mathbf {y}} \ în V$ există doar unul $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ care satisface $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U$ ${\ displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ în U}$ $({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {y}}) \ în U$ Și $\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = 0}$ ${\ mathbf f} ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {y}}) = 0$ . În plus, funcția $\mathbf {g} :V\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g}: V \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathbf g}: V \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ astfel încât $\mathbf {g} (\mathbf {y} )=\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {y}) = \ mathbf {x}}$ ${\ mathbf g} ({\ mathbf {y}}) = {\ mathbf {x}}$ este o funcție de clasă ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ astfel încât: ^[3]

\mathbf {g} (\mathbf {b} )=\mathbf {a} \qquad (D\mathbf {g} )(\mathbf {b} )=-X^{-1}Y

{\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ qquad (D \ mathbf {g}) (\ mathbf {b}) = - X ^ {- 1} Y}

{\ mathbf g} ({\ mathbf {b}}) = {\ mathbf {a}} \ qquad (D {\ mathbf g}) ({\ mathbf b}) = - X ^ {{- 1}} Y

unde este $(D\mathbf {g} )(\mathbf {b} )$ ${\ displaystyle (D \ mathbf {g}) (\ mathbf {b})}$ $(D {\ mathbf g}) ({\ mathbf b})$ este Jacobianul din $\mathbf {g}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g}}$ ${\ mathbf g}$ în $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ . Relația:

\mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {y} ),\mathbf {y} )=0\qquad \mathbf {y} \in V

{\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {g} (\ mathbf {y}), \ mathbf {y}) = 0 \ qquad \ mathbf {y} \ în V}

{\ mathbf f} ({\ mathbf g} ({\ mathbf y}), {\ mathbf y}) = 0 \ qquad {\ mathbf y} \ în V

implicit definește $\mathbf {g}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g}}$ ${\ mathbf g}$ .

Prin urmare, teorema afirmă că sistemul $\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ mathbf {0}}$ ${\ mathbf {f}} ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {y}}) = {\ mathbf 0}$ :

\left\{{\begin{matrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\\vdots \\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {m}) = 0 \\ f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {m}) = 0 \\\ vdots \\ f_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {m}) = 0 \\\ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {m} ) = 0 \\ f_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {m}) = 0 \\ \ vdots \\ f_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}, y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {m}) = 0 \\\ end {matrix}} \ right.

poate fi rezolvat făcându-l explicit $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n})$ ca o funcție a $(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})$ ${\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {m})}$ $(y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {m})$ într-un cartier al $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ dacă sistemul este rezolvabil în $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})}$ $({\ mathbf {a}}, {\ mathbf {b}})$ si daca $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este inversabil. ^[4] Soluțiile astfel găsite sunt și funcții de clasă ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ . Teorema poate fi generalizată la cazul funcțiilor analitice .

Teorema se extinde și la spațiile Banach .

Notă

^ Steven Krantz și Harold Parks, The Implicit Function Theorem , Modern Birkhauser Classics, Birkhauser, 2003, ISBN 0-8176-4285-4 .
^ W. Rudin , pagina 225 .
^ W. Rudin , pagina 226 .
^ W. Rudin , pagina 227 .

Bibliografie

Walter Rudin, Principiile analizei matematice, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
V. Barutello, M.Conti, DLFerrario, S.Terracini, G.Verzini, Analiza matematică. Cu elemente de geometrie și calcul vectorial , Apogeo Editore, 2008, ISBN 8850324235 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Steven Krantz și Harold Parks, The Implicit Function Theorem , Modern Birkhauser Classics, Birkhauser, 2003, ISBN 0-8176-4285-4 .

[2] W. Rudin , pagina 225 .

[3] W. Rudin , pagina 226 .

[4] W. Rudin , pagina 227 .

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy