Spațiul Banach

În matematică, un spațiu Banach este un spațiu complet normat în raport cu metrica indusă de normă. ^[1]

Spațiile Banach au fost studiate inițial de Stefan Banach , de la care și-au luat numele și constituie un obiect foarte important de studiu al analizei funcționale : multe spații funcționale sunt, de fapt, spații Banach.

Definiție

Un spațiu Banach este un spațiu vectorial pe câmpul numerelor reale sau complexe , a căror dimensiune poate fi infinită și pe care se definește o normă astfel încât fiecare secvență Cauchy să fie convergentă (adică are o limită ) la un element al spațiului.

O condiție necesară și suficientă pentru un spațiu vector normat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ambele complete, adică ambele ale lui Banach, sunt toate secvențele $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ absolut rezumabil, adică astfel încât:

\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | x_ {n} \ | <\ infty}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} \ | x_ {n} \ | <\ infty

sunt, de asemenea, rezumabile:

\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} x_ {n} <\ infty}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} x_ {n} <\ infty

și în special converg către un element de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . ^[2]

Exemple

Adevărata linie $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ cu distanta $d(x,y)=|x-y|$ ${\ displaystyle d (x, y) = | xy |}$ $d (x, y) = | x-y |$ .
Spațiul vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ sau $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbb {C}} ^ {n}$ cu una dintre distanțe:

d_{p}({\vec {x}},{\vec {y}})=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}-y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}

{\ displaystyle d_ {p} ({\ vec {x}}, {\ vec {y}}) = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} -y_ {k} | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

d_ {p} ({\ vec x}, {\ vec y}) = \ left (\ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} | x_ {k} -y_ {k} | ^ { p} \ right) ^ {{{\ frac {1} {p}}}}

determinată de un număr real

p>0

{\ displaystyle p> 0}

p> 0

.

Un exemplu de spațiu dimensional infinit este spațiul l ^p al secvențelor numerelor reale sau complexe care converg cu distanța:

d_{p}({\vec {x}},{\vec {y}})=\left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}-y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}

{\ displaystyle d_ {p} ({\ vec {x}}, {\ vec {y}}) = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | x_ {k} -y_ {k } | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

d_ {p} ({\ vec x}, {\ vec y}) = \ left (\ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} | x_ {k} -y_ {k} | ^ {p} \ right) ^ {{{\ frac {1} {p}}}}

Spațiu dimensional infinit de secvențe mărginite $l_{\infty }$ ${\ displaystyle l _ {\ infty}}$ $l _ {{\ infty}}$ cu distanta:

d_{\infty }({\vec {x}},{\vec {y}})=\mathrm {sup} _{k}|x_{k}-y_{k}|

{\ displaystyle d _ {\ infty} ({\ vec {x}}, {\ vec {y}}) = \ mathrm {sup} _ {k} | x_ {k} -y_ {k} |}

d _ {{\ infty}} ({\ vec x}, {\ vec y}) = {\ mathrm {sup}} _ {k} | x_ {k} -y_ {k} |

Spațiul dimensional infinit al funcțiilor continue $C[a,b]$ ${\ displaystyle C [a, b]}$ $Taxi]$ pe un interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cu distanta:

d_{\infty }(f,g)=\mathrm {max} _{t}|f(t)-g(t)|

{\ displaystyle d _ {\ infty} (f, g) = \ mathrm {max} _ {t} | f (t) -g (t) |}

d _ {{\ infty}} (f, g) = {\ mathrm {max}} _ {t} | f (t) -g (t) |

Spațiu dimensional infinit L ^p , un spațiu Banach important în analiza funcțională .

Baza Schauder

Același subiect în detaliu: baza Schauder .

O bază Schauder într-un spațiu Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o succesiune $\{e_{n}\}_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ {e_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ $\ {e_ {n} \} _ {{n \ geq 0}}$ de vectori în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel pentru fiecare transportator $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ există un set de scalari $\{x_{n}\}_{n\geq 0}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 0}}$ $\ {x_ {n} \} _ {{n \ geq 0}}$ , definit în mod unic, astfel încât:

x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n}

{\ displaystyle x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x_ {n} e_ {n}}

x = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} x_ {n} e_ {n}

adică:

x=\lim _{n}P_{n}(x)\qquad P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}

{\ displaystyle x = \ lim _ {n} P_ {n} (x) \ qquad P_ {n} (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {n} x_ {k} e_ {k}}

x = \ lim _ {n} P_ {n} (x) \ qquad P_ {n} (x): = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} x_ {k} e_ {k}

Pentru principiul uniform al delimitării rezultă că transformările liniare $P_{n}$ ${\ displaystyle P_ {n}}$ $P_ {n}$ sunt delimitate uniform de unele constante $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ .

Funcționalități liniare $\{e_{n}^{*}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {n} ^ {*} \}}$ $\ {e_ {n} ^ {*} \}$ că la fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ asociați coordonatele lor respective $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ se numesc funcționale biortogonale . Dacă vectorii de bază au norma 1, atunci funcționalele de coordonate au norma mai mică de $2C$ ${\ displaystyle 2C}$ $2C$ în dualul de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Reflexivitate

Același subiect în detaliu: Spațiu reflectorizant .

O parte substanțială a studiului spațiilor lui Banach se referă la criteriile care îl fac un spațiu reflectorizant, adică un spațiu (în general local convex ) care coincide cu bidualul său ( dualul continuu al spațiului său dual continuu) atât ca spațiu vectorial, cât și ca topologic spațiu .

Derivate

În spațiile Banach se utilizează diferite generalizări ale derivatei , în special derivatele Fréchet și Gâteaux . Prima permite caracterizarea extensiei derivatei direcționale într-un spațiu Banach, în timp ce derivata Gâteaux se referă la derivata direcțională în spații convexe local (aceasta este o condiție pentru diferențialitate care este mai slabă decât cea a lui Fréchet: se obține o cale intermediară cu cvasi-derivată ).

Generalizări

Există câteva generalizări importante ale spațiului Banach în analiza funcțională ; de exemplu spațiul distribuțiilor pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ este completă, dar nu este reglementată. În spațiile Fréchet există metrici complete, în timp ce spațiile LF sunt spații vectoriale uniforme care extind spațiile Fréchet.

Algebre Banach

Același subiect în detaliu: Algebra Banach .

O algebră Banach este o algebră asociativă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe numere reale sau numere complexe care este și un spațiu Banach. Algebra multiplicării și spațiul Banach normat trebuie să fie conectate prin inegalitate:

\forall x,y\in A,\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|

{\ displaystyle \ forall x, y \ în A, \ | x \, y \ | \ \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |}

\ forall x, y \ în A, \ | x \, y \ | \ \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |

care stabilește că standardul produsului este mai mic sau egal cu produsul standardelor. Acest lucru asigură că operația de multiplicare este o funcție continuă .

Printre cele mai semnificative exemple, mulțimea numerelor reale (sau complexe) este o algebră Banach cu norma valorii absolute , în timp ce mulțimea tuturor matricilor reale sau complexe n pentru n este o algebră Banach dacă o normă este asociată cu ele . De asemenea, algebra tuturor funcțiilor continue limitate la valori reale sau complexe pe un spațiu compact local (cu operația de multiplicare definită punctual și norma limitei superioare) este o algebră Banach, precum și cea a operatorilor liniari continuă pe un Spațiul Hilbert , care formează o C * -algebră și deci o algebră Banach.

Unele dintre cele mai populare spații Banach

Spus $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un câmp care poate fi $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , sunt $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu compact Hausdorff , $I=[a,b]$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$ $I = [a, b]$ un interval, $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ numere reale cu $p>1$ ${\ displaystyle p> 1}$ $p> 1$ Și $q<\infty$ ${\ displaystyle q <\ infty}$ $q <\ infty$ și astfel încât $1/p+1/q=1$ ${\ displaystyle 1 / p + 1 / q = 1}$ $1 / p + 1 / q = 1$ . De asemenea, să fie $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ o sigma-algebra , $\Xi$ ${\ displaystyle \ Xi}$ $\ Xi$ o algebră setată e $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură cu variație totală $|\mu |$ ${\ displaystyle | \ mu |}$ $| \ mu |$ .

	spațiu dual	grijuliu	secvențial complet (convergență slabă)	normă	Notă
K ⁿ	K ⁿ	da	da	$\\|x\\|_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {2} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \| x_ {i} \| ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2 }}}$ $\ \| x \ \| _ {2} = \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \| x_ {i} \| ^ {2} \ right) ^ {{{\ frac {1} { 2}}}}$	Spațiul euclidian
_p ⁿ _p	ℓ ⁿ _q	da	da	$\\|x\\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {p} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \| x_ {i} \| ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p }}}$ $\ \| x \ \| _ {p} = \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \| x_ {i} \| ^ {p} \ right) ^ {{{\ frac {1} { p}}}}$
ℓ ⁿ _∞	ℓ ⁿ ₁	da	da	$\\|x\\|_{\infty }=\max \nolimits _{1\leq i\leq n}\|x_{i}\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {\ infty} = \ max \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq n} \| x_ {i} \|}$ $\ \| x \ \| _ {\ infty} = \ max \ nolimits _ {{1 \ leq i \ leq n}} \| x_ {i} \|$
ℓ _p	ℓ _q	da	da	$\\|x\\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {p} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \| x_ {i} \| ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} { p}}}$ $\ \| x \ \| _ {p} = \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} \| x_ {i} \| ^ {p} \ right) ^ {{{\ frac {1} {p}}}}$
ℓ ₁	ℓ _∞	Nu	da	$\\|x\\|_{1}=\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {1} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \| x_ {i} \|}$ $\ \| x \ \| _ {1} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} \| x_ {i} \|$
ℓ _∞	bv	Nu	Nu	$\\|x\\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}\|x_{i}\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {\ infty} = \ sup \ nolimits _ {i} \| x_ {i} \|}$ $\ \| x \ \| _ {\ infty} = \ sup \ nolimits _ {i} \| x_ {i} \|$
c	ℓ ₁	Nu	Nu	$\\|x\\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}\|x_{i}\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {\ infty} = \ sup \ nolimits _ {i} \| x_ {i} \|}$ $\ \| x \ \| _ {\ infty} = \ sup \ nolimits _ {i} \| x_ {i} \|$
c ₀	ℓ ₁	Nu	Nu	$\\|x\\|_{\infty }=\sup \nolimits _{i}\|x_{i}\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {\ infty} = \ sup \ nolimits _ {i} \| x_ {i} \|}$ $\ \| x \ \| _ {\ infty} = \ sup \ nolimits _ {i} \| x_ {i} \|$	Izomorf, dar nu izometric, la spațiul c .
bv	ℓ _∞	Nu	da	$\\|x\\|_{bv}=\|x_{1}\|+\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i+1}-x_{i}\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {bv} = \| x_ {1} \| + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \| x_ {i + 1} -x_ {i} \|}$ $\ \| x \ \| _ {{bv}} = \| x_ {1} \| + \ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} \| x _ {{i + 1}} - x_ {i} \|$	Izomorf izomorf la ℓ ₁ .
bv ₀	ℓ _∞	Nu	da	$\\|x\\|_{bv_{0}}=\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i+1}-x_{i}\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {bv_ {0}} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \| x_ {i + 1} -x_ {i} \|}$ $\ \| x \ \| _ {{bv_ {0}}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} \| x _ {{i + 1}} - x_ {i} \|$	Izomorf izomorf la ℓ ₁ .
bs	ba	Nu	Nu	$\\|x\\|_{bs}=\sup \nolimits _{n}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {bs} = \ sup \ nolimits _ {n} \ left \| \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right \|}$ $\ \| x \ \| _ {{bs}} = \ sup \ nolimits _ {n} \ left \| \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} \ right \|$	Izomorf izomorf la ℓ _∞ .
cs	ℓ ₁	Nu	Nu	$\\|x\\|_{bs}=\sup \nolimits _{n}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {bs} = \ sup \ nolimits _ {n} \ left \| \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right \|}$ $\ \| x \ \| _ {{bs}} = \ sup \ nolimits _ {n} \ left \| \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} \ right \|$	Izomorf izomorf la spațiul c .
B ( X , Ξ)	ba (Ξ)	Nu	Nu	$\\|f\\|_{B}=\sup \nolimits _{x\in X}\|f(x)\|$ ${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {B} = \ sup \ nolimits _ {x \ în X} \| f (x) \|}$ $\ \| f \ \| _ {B} = \ sup \ nolimits _ {{x \ în X}} \| f (x) \|$
C ( X )	rca ( X )	Nu	Nu	$\\|x\\|_{C(X)}=\max \nolimits _{x\in X}\|f(x)\|$ ${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {C (X)} = \ max \ nolimits _ {x \ în X} \| f (x) \|}$ $\ \| x \ \| _ {{C (X)}} = \ max \ nolimits _ {{x \ în X}} \| f (x) \|$
ba (Ξ)	?	Nu	da	$\\|\mu \\|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }\|\mu \|(A)$ ${\ displaystyle \ \| \ mu \ \| _ {ba} = \ sup \ nolimits _ {A \ in \ Sigma} \| \ mu \| (A)}$ $\ \| \ mu \ \| _ {{ba}} = \ sup \ nolimits _ {{A \ in \ Sigma}} \| \ mu \| (A)$
ca (Σ)	?	Nu	da	$\\|\mu \\|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }\|\mu \|(A)$ ${\ displaystyle \ \| \ mu \ \| _ {ba} = \ sup \ nolimits _ {A \ in \ Sigma} \| \ mu \| (A)}$ $\ \| \ mu \ \| _ {{ba}} = \ sup \ nolimits _ {{A \ in \ Sigma}} \| \ mu \| (A)$	Subspatiul inchis al ba (Σ).
rca (Σ)	?	Nu	da	$\\|\mu \\|_{ba}=\sup \nolimits _{A\in \Sigma }\|\mu \|(A)$ ${\ displaystyle \ \| \ mu \ \| _ {ba} = \ sup \ nolimits _ {A \ in \ Sigma} \| \ mu \| (A)}$ $\ \| \ mu \ \| _ {{ba}} = \ sup \ nolimits _ {{A \ in \ Sigma}} \| \ mu \| (A)$	Subspatiul inchis al ca (Σ).
L ^p ( μ )	L ^q ( μ )	da	da	$\\|f\\|_{p}=\left(\int \|f\|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$ ${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {p} = \ left (\ int \| f \| ^ {p} \, d \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}$ $\ \| f \ \| _ {p} = \ left (\ int \| f \| ^ {p} \, d \ mu \ right) ^ {{{\ frac {1} {p}}}}$
L ¹ ( μ )	L ^∞ ( μ )	Nu	da	$\\|f\\|_{1}=\int \|f\|\,d\mu$ ${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {1} = \ int \| f \| \, d \ mu}$ $\ \| f \ \| _ {1} = \ int \| f \| \, d \ mu$	Dualul este L ^∞ ( μ ) dacă μ este o măsură σ-finită .
BV ( I )	?	Nu	da	$\\|f\\|_{BV}=V_{f}(I)+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$ ${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {BV} = V_ {f} (I) + \ lim \ nolimits _ {x \ to a ^ {+}} f (x)}$ $\ \| f \ \| _ {{BV}} = V_ {f} (I) + \ lim \ nolimits _ {{x \ to a ^ {+}}} f (x)$	V _f ( I ) este modificarea totală a lui f
NBV ( I )	?	Nu	da	$\\|f\\|_{BV}=V_{f}(I)$ ${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {BV} = V_ {f} (I)}$ $\ \| f \ \| _ {{BV}} = V_ {f} (I)$	NBV ( I ) este format din funcțiile BV ( I ) astfel încât $\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim \ nolimits _ {x \ to a ^ {+}} f (x) = 0}$ $\ lim \ nolimits _ {{x \ to a ^ {+}}} f (x) = 0$
AC ( I )	K + L ^∞ ( I )	Nu	da	$\\|f\\|_{BV}=V_{f}(I)+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$ ${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {BV} = V_ {f} (I) + \ lim \ nolimits _ {x \ to a ^ {+}} f (x)}$ $\ \| f \ \| _ {{BV}} = V_ {f} (I) + \ lim \ nolimits _ {{x \ to a ^ {+}}} f (x)$	Izomorf la spațiul Sobolev W ^1,1 ( I ).
C ⁿ ([ a , b ])	rca ([ a , b ])	Nu	Nu	$\\|f\\|=\sum _{i=0}^{n}\sup \nolimits _{x\in [a,b]}\left\|f^{(i)}(x)\right\|$ ${\ displaystyle \ \| f \ \| = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sup \ nolimits _ {x \ in [a, b]} \ left \| f ^ {(i)} (x) \ dreapta \|}$ $\ \| f \ \| = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} \ sup \ nolimits _ {{x \ in [a, b]}} \ left \| f ^ {{(i)}} ( x) \ dreapta \|$	Izomorf a $\mathbb {R} ^{n}\oplus C([a,b])$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus C ([a, b])}$ $\ mathbb {R} ^ {n} \ oplus C ([a, b])$ , în esență prin teorema lui Taylor .

Notă

^ W. Rudin , pagina 95 .
^ Reed, Simon , Pagina 71

Bibliografie

H. Brezis , Analiza funcțională - Teorie și aplicații , Liguori, Napoli, 1990, ISBN 8820715015 .
( EN ) Walter Rudin , Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Spațiul lui Banach , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) MI Kadets, BM Levitan, spațiul Banach , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 21617 · LCCN (EN) sh85011441 · NDL (EN, JA) 00.5605 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 95 .

[2] Reed, Simon , Pagina 71

[1]

[2]