Spațiul Sobolev

În matematică , un spațiu Sobolev este un spațiu vectorial de funcții cu o normă care este o combinație a normelor L ^p ale funcției în sine și ale derivatelor sale slabe până la o anumită ordine. În ceea ce privește această normă, spațiul este complet ^[1] și, prin urmare, al lui Banach .

Mai exact, un spațiu de Sobolev $W^{l,p}$ ${\ displaystyle W ^ {l, p}}$ ${\ displaystyle W ^ {l, p}}$ este un spațiu de funcții $f=f(x)=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ${\ displaystyle f = f (x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle f = f (x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$ definit pe un subset $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ cele pentru care au integrat $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -puterea valorii absolute a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și derivatele sale slabe la comandă $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ . Norma unei funcții $f\in W^{l,p}$ ${\ displaystyle f \ in W ^ {l, p}}$ ${\ displaystyle f \ in W ^ {l, p}}$ este definit ca:

\|f\|_{W^{l,p}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq l}\|D^{\alpha }f\|_{L^{p}(\Omega )}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {W ^ {l, p} (\ Omega)} = \ sum _ {| \ alpha | \ leq l} \ | D ^ {\ alpha} f \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {W ^ {l, p} (\ Omega)} = \ sum _ {| \ alpha | \ leq l} \ | D ^ {\ alpha} f \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}}

cu:

D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\qquad D^{0}f=f\qquad |\alpha |=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}

{\ displaystyle D ^ {\ alpha} f = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} f} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ qquad D ^ {0} f = f \ qquad | \ alpha | = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ {j}}

{\ displaystyle D ^ {\ alpha} f = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} f} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ qquad D ^ {0} f = f \ qquad | \ alpha | = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ alpha _ {j}}

Și $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}}$ norma obișnuită:

\|\psi \|_{L^{p}(\Omega )}=\left(\int _{\Omega }|\psi |^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\qquad 1\leq p<\infty

{\ displaystyle \ | \ psi \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} = \ left (\ int _ {\ Omega} | \ psi | ^ {p} dx \ right) ^ {\ frac {1 } {p}} \ qquad 1 \ leq p <\ infty}

{\ displaystyle \ | \ psi \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} = \ left (\ int _ {\ Omega} | \ psi | ^ {p} dx \ right) ^ {\ frac {1 } {p}} \ qquad 1 \ leq p <\ infty}

Spațiile Sobolev își datorează numele matematicianului rus Sergei Lvovich Sobolev și sunt utilizate în special atunci când se ocupă de distribuții . Importanța lor se datorează faptului că soluțiile ecuațiilor parțiale diferențiale sunt căutate în mod normal în spațiile Sobolev, mai degrabă decât în spațiile funcțiilor continue cu derivate înțelese în sens clasic , în conformitate cu o abordare numită formulare slabă a problemei diferențiale date.

Introducere

Același subiect în detaliu: Formulare slabă .

Multe probleme matematice și fizice necesită ca soluție o funcție care este „regulată” conform unor criterii precise. De exemplu, este posibil să se solicite continuitatea funcției soluție; dar de obicei se caută constrângeri mai puternice, cum ar fi diferențialitatea (dacă funcțiile sunt diferențiabile sunt cu atât mai continue) sau continuitatea derivatei (adică solicitarea apartenenței la spațiu $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ ). În special, soluția unei ecuații diferențiale parțiale (PDE) de ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ spunem soluție clasică sau puternică dacă este o funcție diferențiată până la comandă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -alea și toate derivatele există și sunt continue, adică este o funcție lină sau cel puțin o clasă $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ . Majoritatea ecuațiilor diferențiale parțiale, totuși, nu admit soluții de acest tip. Dacă se admite o funcție nediferențiată ca soluție a unei probleme bine formulate, această soluție este o soluție slabă sau „soluție integrală”. În secolul al XX-lea s-a constatat că spațiul în care să se caute soluții de acest tip este un spațiu Sobolev adecvat.

Pentru a arăta cum intră în joc derivatul slab în găsirea de soluții la un PDE, luați în considerare o funcție $u\in C^{k}(\Omega )$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {k} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {k} (\ Omega)}$ , cu k un număr natural . Integrarea pieselor vă permite să scrieți pentru toate funcțiile ușoare într- un suport compact $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ ${\ displaystyle \ varphi \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle \ varphi \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ :

\int _{\Omega }uD^{\alpha }\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi D^{\alpha }u\;dx

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} uD ^ {\ alpha} \ varphi \; dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} \ varphi D ^ {\ alpha} u \ ; dx}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} uD ^ {\ alpha} \ varphi \; dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} \ varphi D ^ {\ alpha} u \ ; dx}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este o ordine multi-index $|\alpha |=k$ ${\ displaystyle | \ alpha | = k}$ ${\ displaystyle | \ alpha | = k}$ , $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ este un set deschis și $D^{\alpha }f$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} f}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} f}$ denotă $D^{\alpha }f=\partial ^{|\alpha |}f/\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} f = \ partial ^ {| \ alpha |} f / \ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} f = \ partial ^ {| \ alpha |} f / \ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$

Dacă presupui $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ o funcție integrabilă local pe partea stângă a acestei ecuații are încă sens. Dacă există atunci o funcție integrabilă local $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ astfel încât:

\int _{\Omega }uD^{\alpha }\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi v\;dx\qquad \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} uD ^ {\ alpha} \ varphi \; dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} \ varphi v \; dx \ qquad \ varphi \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} uD ^ {\ alpha} \ varphi \; dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} \ varphi v \; dx \ qquad \ varphi \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}

asa de $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ se numește subunitățile lea slab derivat parțial al $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . Dacă derivatul slab există, acesta este definit în mod unic aproape peste tot . Pe de altă parte, dacă $u\in C^{k}(\Omega )$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {k} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {k} (\ Omega)}$ derivatele clasice și cele slabe coincid.

De exemplu, funcția:

u(x)={\begin{cases}1+x&{\text{se }}-1<x<0\\10&{\text{se }}x=0\\1-x&{\text{se }}0<x<1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle u (x) = {\ begin {cases} 1 + x & {\ text {se}} - 1 <x <0 \\ 10 & {\ text {se}} x = 0 \\ 1-x & {\ text {se}} 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {altfel}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle u (x) = {\ begin {cases} 1 + x & {\ text {se}} - 1 <x <0 \\ 10 & {\ text {se}} x = 0 \\ 1-x & {\ text {se}} 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {altfel}} \ end {cases}}}

nu este continuu în zero și nu este diferențiat în -1, 0 și 1. Funcția:

v(x)={\begin{cases}1&{\text{se }}-1<x<0\\-1&{\text{se }}0<x<1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle v (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {se}} - 1 <x <0 \\ - 1 & {\ text {se}} 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle v (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {se}} - 1 <x <0 \\ - 1 & {\ text {se}} 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}

îndeplinește cerințele pentru a fi considerat derivatul slab al $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ , și aparține spațiului Sobolev $W^{1,p}$ ${\ displaystyle W ^ {1, p}}$ ${\ displaystyle W ^ {1, p}}$ pentru fiecare p permis.

Spații pe cercul unității

Cel mai simplu mod de a introduce spații Sobolev se referă la cazul unidimensional constituit de cercul unitar . În acest caz, spațiul Sobolev $W^{k,p}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p}}$ $W ^ {{k, p}}$ este definit, pentru un anumit $p\geq 1$ ${\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ , ca subset al lui L ^p format din funcții ale căror derivate slabe până la un anumit ordin k au normă $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ :

W^{k,p}=\{f\in L^{p}|D^{\alpha }f\in L^{p}\;\forall \alpha \leq k\}

{\ displaystyle W ^ {k, p} = \ {f \ in L ^ {p} | D ^ {\ alpha} f \ in L ^ {p} \; \ forall \ alpha \ leq k \}}

{\ displaystyle W ^ {k, p} = \ {f \ in L ^ {p} | D ^ {\ alpha} f \ in L ^ {p} \; \ forall \ alpha \ leq k \}}

Cu această definiție, spațiul lui Sobolev admite în mod firesc o normă :

\|f\|_{k,p}={\Big (}\sum _{i=0}^{k}\|f^{(i)}\|_{p}^{p}{\Big )}^{1/p}={\Big (}\sum _{i=0}^{k}\int |f^{(i)}(t)|^{p}\,dt{\Big )}^{1/p}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {k, p} = {\ Big (} \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ | f ^ {(i)} \ | _ {p} ^ {p } {\ Big)} ^ {1 / p} = {\ Big (} \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ int | f ^ {(i)} (t) | ^ {p} \, dt {\ Big)} ^ {1 / p}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {k, p} = {\ Big (} \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ | f ^ {(i)} \ | _ {p} ^ {p } {\ Big)} ^ {1 / p} = {\ Big (} \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ int | f ^ {(i)} (t) | ^ {p} \, dt {\ Big)} ^ {1 / p}}

$W^{k,p}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p}}$ $W ^ {{k, p}}$ echipat cu acest standard $\|\cdot \|_{k,p}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k, p}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k, p}}$ este un spațiu Banach . Se poate arăta că cea mai simplă normă

\|f^{(k)}\|_{p}+\|f\|_{p}

{\ displaystyle \ | f ^ {(k)} \ | _ {p} + \ | f \ | _ {p}}

{\ displaystyle \ | f ^ {(k)} \ | _ {p} + \ | f \ | _ {p}}

este echivalent cu cel definit anterior.

Cazul p = 2

Spațiul Sobolev cu p = 2 joacă un rol important pentru legăturile sale cu seria Fourier și pentru a fi un spațiu Hilbert . Pentru acest caz particular se adoptă o notație specifică: ^[2]

\,H^{k}=W^{k,2}

{\ displaystyle \, H ^ {k} = W ^ {k, 2}}

{\ displaystyle \, H ^ {k} = W ^ {k, 2}}

Spaţiu $H^{k}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ poate fi definit într-un mod natural pornind de la seria Fourier ai cărui coeficienți se descompun suficient de repede, adică:

H^{k}({\mathbb {T} })={\Big \{}f\in L^{2}({\mathbb {T} }):\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+n^{2}+\dotsb +n^{2k})|{\widehat {f}}(n)|^{2}<\infty {\Big \}}

{\ displaystyle H ^ {k} ({\ mathbb {T}}) = {\ Big \ {} f \ în L ^ {2} ({\ mathbb {T}}): \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (1 + n ^ {2} + \ dotsb + n ^ {2k}) | {\ widehat {f}} (n) | ^ {2} <\ infty {\ Big \}} }

{\ displaystyle H ^ {k} ({\ mathbb {T}}) = {\ Big \ {} f \ în L ^ {2} ({\ mathbb {T}}): \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (1 + n ^ {2} + \ dotsb + n ^ {2k}) | {\ widehat {f}} (n) | ^ {2} <\ infty {\ Big \}} }

unde este ${\widehat {f}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$ denotă transformata Fourier a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . De asemenea, în acest caz este posibil să se utilizeze un standard echivalent:

\|f\|^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+n^{2})^{k}|{\widehat {f}}(n)|^{2}

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (1 + n ^ {2}) ^ {k} | {\ widehat {f}} ( n) | ^ {2}}

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (1 + n ^ {2}) ^ {k} | {\ widehat {f}} ( n) | ^ {2}}

Ambele reprezentări rezultă cu ușurință din identitatea lui Parseval și din binecunoscuta proprietate că derivarea de n ori înseamnă multiplicarea coeficientului Fourier cu $\mathrm {i} n$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} n}$ .

De asemenea, spațiul $H^{k}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ admite un produs intern , așa cum se întâmplă cu spațiul $H^{0}=L^{2}$ ${\ displaystyle H ^ {0} = L ^ {2}}$ ${\ displaystyle H ^ {0} = L ^ {2}}$ . Într-adevăr, produsul intern din $H^{k}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ este definit în termenii produsului punct al $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ :

\langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\langle D^{i}u,D^{i}v\rangle _{L_{2}}

{\ displaystyle \ langle u, v \ rangle _ {H ^ {k}} = \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ langle D ^ {i} u, D ^ {i} v \ rangle _ { L_ {2}}}

{\ displaystyle \ langle u, v \ rangle _ {H ^ {k}} = \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ langle D ^ {i} u, D ^ {i} v \ rangle _ { L_ {2}}}

Cu acest produs scalar $H^{k}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ ${\ displaystyle H ^ {k}}$ devine un spațiu Hilbert.

Alte exemple

Unele spații Sobolev pot fi interpretate într-un mod mai simplu: $W^{1,1}(0,1)$ ${\ displaystyle W ^ {1,1} (0,1)}$ ${\ displaystyle W ^ {1,1} (0,1)}$ este spațiul funcțiilor absolut continue pe $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ , in timp ce $W^{1,\infty }(I)$ ${\ displaystyle W ^ {1, \ infty} (I)}$ ${\ displaystyle W ^ {1, \ infty} (I)}$ este spațiul funcțiilor Lipschitz $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ pentru fiecare interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

Toate spațiile $W^{k,\infty }$ ${\ displaystyle W ^ {k, \ infty}}$ ${\ displaystyle W ^ {k, \ infty}}$ sunt algebre normate , deoarece produsul a două funcții în aceste spații Sobolev aparține în continuare aceluiași spațiu Sobolev. Această proprietate nu se aplică $p<\infty$ ${\ displaystyle p <\ infty}$ ${\ displaystyle p <\ infty}$ (de exemplu, funcții care într-un cartier de origine se comportă ca $|x|^{-1/3}$ ${\ displaystyle | x | ^ {- 1/3}}$ ${\ displaystyle | x | ^ {- 1/3}}$ apartine $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ , dar produsul lor nu aparține $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ ).

Operatori de extensie

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un domeniu deschis a cărui graniță îndeplinește anumite condiții (de exemplu, dacă granița este o varietate sau îndeplinește „condiția conului”) atunci există un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care funcții de hartă ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în funcții de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ astfel încât:

$Au(x)=u(x)$ ${\ displaystyle Au (x) = u (x)}$ ${\ displaystyle Au (x) = u (x)}$ pentru aproape fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este continuu din $W^{k,p}(X)$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (X)}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (X)}$ la $W^{k,p}({\mathbb {R} }^{n})$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} ({\ mathbb {R}} ^ {n})}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} ({\ mathbb {R}} ^ {n})}$ , pentru fiecare $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ și întregul k . ^[3]

Apoi se numește un astfel de operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator de extensie pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Operatorii de extensie sunt cel mai natural mod de a defini $H^{s}(X)$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ pentru un non-întreg e (nu poate lucra direct pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ întrucât considerarea transformatei Fourier este o operație globală). Se definește pe sine $H^{s}(X)$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ cu condiția ca. $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ aparține lui $H^{s}(X)$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ dacă și numai dacă $LA tu$ ${\ displaystyle Au}$ ${\ displaystyle Au}$ aparține lui $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ . În mod echivalent, interpolare complexă duce, de asemenea, la aceleași spații $H^{s}(X)$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ de sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ admite un operator de extensie. De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu permite unui operator de extensie, singura modalitate de a obține spații $H^{s}(X)$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ este prin interpolare complexă.

Spații cu non-întreg k

Pentru claritate, când exponentul numit k nu este un număr întreg, acesta va fi notat cu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , adică $W^{s,p}$ ${\ displaystyle W ^ {s, p}}$ ${\ displaystyle W ^ {s, p}}$ sau $H^{s}$ ${\ displaystyle H ^ {s}}$ ${\ displaystyle H ^ {s}}$ .

Cazul p = 2

Cazul $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ este cel mai simplu, deoarece descrierea lui Fourier este ușor de generalizat. Standardul este definit:

||f||_{2,s}^{2}:=\sum (1+n^{2})^{s}|{\widehat {f}}(n)|^{2}

{\ displaystyle || f || _ {2, s} ^ {2}: = \ sum (1 + n ^ {2}) ^ {s} | {\ widehat {f}} (n) | ^ {2 }}

{\ displaystyle || f || _ {2, s} ^ {2}: = \ sum (1 + n ^ {2}) ^ {s} | {\ widehat {f}} (n) | ^ {2 }}

și spațiul Sobolev $H^{s}$ ${\ displaystyle H ^ {s}}$ ${\ displaystyle H ^ {s}}$ ca spațiu al tuturor funcțiilor de care această normă este finită.

Diferențierea fracțională

O abordare similară poate fi utilizată atunci când p este diferit de 2. În acest caz, teorema lui Parseval nu mai este valabilă, dar întrucât diferențierea corespunde în continuare multiplicării în domeniul transformării, poate fi, prin urmare, generalizată prin ordine care nu sunt întregi. Un operator de ordin fracțional s este astfel definit ca:

F^{s}(f):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(in)^{s}{\widehat {f}}(n)e^{int}

{\ displaystyle F ^ {s} (f): = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (în) ^ {s} {\ widehat {f}} (n) e ^ {int} }

{\ displaystyle F ^ {s} (f): = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (în) ^ {s} {\ widehat {f}} (n) e ^ {int} }

Cu alte cuvinte, luând transformata Fourier, înmulțind cu $(in)^{s}$ ${\ displaystyle (in) ^ {s}}$ ${\ displaystyle (in) ^ {s}}$ și apoi luând inversul transformatei Fourier, putem defini norma Sobolev a lui s , p ca:

\|f\|_{s,p}:=\|f\|_{p}+\|F^{s}(f)\|_{p}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {s, p}: = \ | f \ | _ {p} + \ | F ^ {s} (f) \ | _ {p}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {s, p}: = \ | f \ | _ {p} + \ | F ^ {s} (f) \ | _ {p}}

și, ca și în cazurile anterioare, spațiul Sobolev este spațiul funcțiilor care admit această normă finită.

Spațiile Sobolev-Slobodetsky

O altă abordare utilizată pentru a defini spațiile Sobolev de ordine fracțională derivă din ideea generalizării condiției Hölder la spațiul Lp . Pentru o deschidere $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ seminormul (al lui Slobodetsky) este definit:

[f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}\qquad \theta \in (0,1)\quad 1\leq p<\infty

{\ displaystyle [f] _ {\ theta, p, \ Omega}: = \ left (\ int _ {\ Omega} \ int _ {\ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) | ^ {p}} {| xy | ^ {\ theta p + n}}} \; dx \; dy \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ qquad \ theta \ in (0,1) \ quad 1 \ leq p <\ infty}

{\ displaystyle [f] _ {\ theta, p, \ Omega}: = \ left (\ int _ {\ Omega} \ int _ {\ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) | ^ {p}} {| xy | ^ {\ theta p + n}}} \; dx \; dy \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ qquad \ theta \ in (0,1) \ quad 1 \ leq p <\ infty}

unde este $f\in L^{p}(\Omega )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {p} (\ Omega)}$ $f \ în L ^ {p} (\ Omega)$ . A luat o $s>0$ ${\ displaystyle s> 0}$ ${\ displaystyle s> 0}$ nici întreg $\theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)$ ${\ displaystyle \ theta = s- \ lfloor s \ rfloor \ in (0,1)}$ ${\ displaystyle \ theta = s- \ lfloor s \ rfloor \ in (0,1)}$ .

Similar cu definiția spațiilor Hölder , un spațiu Sobolev-Slobodetsky $W^{s,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$ este dat de:

W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}

{\ displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega): = \ left \ {f \ in W ^ {\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega): \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D ^ {\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega} <\ infty \ right \}}

{\ displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega): = \ left \ {f \ in W ^ {\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega): \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D ^ {\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega} <\ infty \ right \}}

În literatură, un spațiu fracționat de acest tip este numit și spațiul Aronszajn , spațiul Gagliardo sau spațiul Slobodetsky .

Este un spațiu Banach pentru normă:

\|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }

{\ displaystyle \ | f \ | _ {W ^ {s, p} (\ Omega)}: = \ | f \ | _ {W ^ {\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega)} + \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D ^ {\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {W ^ {s, p} (\ Omega)}: = \ | f \ | _ {W ^ {\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega)} + \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D ^ {\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega}}

De sine $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este suficient de „regulat” pentru a garanta existența operatorilor de extensie corespunzători, apoi există scufundări continue:

W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega )\qquad k\leq s\leq s'\leq k+1

{\ displaystyle W ^ {k + 1, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {s ', p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {s, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {k, p} (\ Omega) \ qquad k \ leq s \ leq s '\ leq k + 1}

{\ displaystyle W ^ {k + 1, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {s ', p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {s, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {k, p} (\ Omega) \ qquad k \ leq s \ leq s '\ leq k + 1}

Există exemple de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ astfel pentru care $W^{1,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$ nu mai este un subspatiu al $W^{s,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$ .

Din punct de vedere mai abstract, spațiile lui Sobolev $W^{s,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$ ele coincid cu spațiile reale de interpolare ale spațiilor Sobolev.

Spațiile Sobolev-Slobodetsky sunt cazuri speciale ale spațiilor Besov .

Interpolare complexă

Pentru fiecare $0\leq t\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 1}$ , și pentru fiecare cuplu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ spațiilor Banach incluse cu continuitate într-un spațiu Banach mai larg, putem defini de fapt un spațiu Banach „intermediar” care este indicat de $[X,Y]_{t}$ ${\ displaystyle [X, Y] _ {t}}$ ${\ displaystyle [X, Y] _ {t}}$ . Spațiile $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt numite perechi de interpolare, iar următoarele rezultate sunt valabile:

Teorema reinterpolării:

[[X,Y]_{a},[X,Y]_{b}]_{c}=[X,Y]_{cb+(1-c)a}

{\ displaystyle [[X, Y] _ {a}, [X, Y] _ {b}] _ {c} = [X, Y] _ {cb + (1-c) a}}

{\ displaystyle [[X, Y] _ {a}, [X, Y] _ {b}] _ {c} = [X, Y] _ {cb + (1-c) a}}

Teorema de interpolare a operatorilor, care afirmă că dacă $\{X,Y\}$ ${\ displaystyle \ {X, Y \}}$ ${\ displaystyle \ {X, Y \}}$ Și $\{A,B\}$ ${\ displaystyle \ {A, B \}}$ ${\ displaystyle \ {A, B \}}$ sunt o pereche de interpolare și dacă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o hartă neliniară definită de $X+Y$ ${\ displaystyle X + Y}$ ${\ displaystyle X + Y}$ la $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ ${\ displaystyle A + B}$ astfel încât $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ fi continuat de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ la $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ asa de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se continuă din $[X,Y]_{t}$ ${\ displaystyle [X, Y] _ {t}}$ ${\ displaystyle [X, Y] _ {t}}$ la $[A,B]_{t}$ ${\ displaystyle [A, B] _ {t}}$ ${\ displaystyle [A, B] _ {t}}$ și urmează următoarea inegalitate:

||T||_{[X,Y]_{t}\to [A,B]_{t}}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^{t}

{\ displaystyle || T || _ {[X, Y] _ {t} \ to [A, B] _ {t}} \ leq C || T || _ {X \ to A} ^ {1- t} || T || _ {Y \ to B} ^ {t}}

{\ displaystyle || T || _ {[X, Y] _ {t} \ to [A, B] _ {t}} \ leq C || T || _ {X \ to A} ^ {1- t} || T || _ {Y \ to B} ^ {t}}

Teorema Riesz-Thorin .
Prin interpolare între spații $W^{k,p}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p}}$ $W ^ {{k, p}}$ se arată că:

\left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_{t}=W^{n,p}

{\ displaystyle \ left [W ^ {0, p}, W ^ {m, p} \ right] _ {t} = W ^ {n, p}}

{\ displaystyle \ left [W ^ {0, p}, W ^ {m, p} \ right] _ {t} = W ^ {n, p}}

Interpolația complexă este o tehnică eficientă pentru obținerea spațiilor continue

W^{s,p}

{\ displaystyle W ^ {s, p}}

{\ displaystyle W ^ {s, p}}

inclus între

W^{k,p}

{\ displaystyle W ^ {k, p}}

W ^ {{k, p}}

. Mai mult, generează aceleași spații ca diferențierea fracțională.

Dimensiuni multiple

Spațiile Sobolev din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și subseturi de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . În timp ce tranziția de la circumferință la linie implică doar modificări tehnice în formulele Fourier (în principal o schimbare în seria Fourier și transformate), tranziția la dimensiuni multiple prezintă dificultăți mai mari, începând cu definiția. Cererea care $f^{k-1}$ ${\ displaystyle f ^ {k-1}}$ ${\ displaystyle f ^ {k-1}}$ fii integral al $f^{k}$ ${\ displaystyle f ^ {k}}$ ${\ displaystyle f ^ {k}}$ de fapt, nu poate fi generalizat, iar cel mai simplu mod este de a lua în considerare derivatele în sensul teoriei distribuțiilor.

Este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ un subset deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , să fie k un număr natural și să fie $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ . Spațiul lui Sobolev $W^{k,p}(D)$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ este definit ca ansamblul tuturor funcțiilor $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ astfel încât pentru orice index multiplu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , cu $|\alpha |\leq k$ ${\ displaystyle | \ alpha | \ leq k}$ ${\ displaystyle | \ alpha | \ leq k}$ , derivata parțială mixtă:

f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}

{\ displaystyle f ^ {(\ alpha)} = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} f} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots \ partial x_ {n } ^ {\ alpha _ {n}}}}}

{\ displaystyle f ^ {(\ alpha)} = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} f} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots \ partial x_ {n } ^ {\ alpha _ {n}}}}}

poate fi integrat atât local, cât și în $L^{p}(D)$ ${\ displaystyle L ^ {p} (D)}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (D)}$ , acesta este:

\|f^{(\alpha )}\|_{L^{p}}<\infty

{\ displaystyle \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {p}} <\ infty}

{\ displaystyle \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {p}} <\ infty}

Există mai multe opțiuni pentru normă $W^{k,p}(D)$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ . Cele două prezentate mai jos sunt printre cele mai comune și sunt echivalente în sensul echivalenței standardelor:

\|f\|_{W^{k,p}}={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leq k}\|f^{(\alpha )}\|_{L^{p}}^{p}\right)^{1/p}&1\leq p<+\infty \\\sum _{|\alpha |\leq k}\|f^{(\alpha )}\|_{L^{\infty }}&p=+\infty \end{cases}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {W ^ {k, p}} = {\ begin {cases} \ left (\ sum _ {| \ alpha | \ leq k} \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} & 1 \ leq p <+ \ infty \\\ sum _ {| \ alpha | \ leq k} \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {\ infty}} & p = + \ infty \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {W ^ {k, p}} = {\ begin {cases} \ left (\ sum _ {| \ alpha | \ leq k} \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {p}} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} & 1 \ leq p <+ \ infty \\\ sum _ {| \ alpha | \ leq k} \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {\ infty}} & p = + \ infty \ end {cases}}}

Și:

\|f\|'_{W^{k,p}}={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leq k}\|f^{(\alpha )}\|_{L^{p}}&1\leq p<+\infty \\\sum _{|\alpha |\leq k}\|f^{(\alpha )}\|_{L^{\infty }}&p=+\infty \end{cases}}

{\ displaystyle \ | f \ | '_ {W ^ {k, p}} = {\ begin {cases} \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {p}} & 1 \ leq p <+ \ infty \\\ sum _ {| \ alpha | \ leq k} \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {\ infty }} & p = + \ infty \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ | f \ | '_ {W ^ {k, p}} = {\ begin {cases} \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {p}} & 1 \ leq p <+ \ infty \\\ sum _ {| \ alpha | \ leq k} \ | f ^ {(\ alpha)} \ | _ {L ^ {\ infty }} & p = + \ infty \ end {cases}}}

Spaţiu $W^{k,p}(D)$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ dotat cu fiecare dintre cele două este un spațiu Banach . În cazul în care p este finit, $W^{k,p}(D)$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ este, de asemenea, un spațiu separabil . După cum sa menționat mai devreme, este convențional să se indice $W^{k,2}(D)$ ${\ displaystyle W ^ {k, 2} (D)}$ ${\ displaystyle W ^ {k, 2} (D)}$ cu $H^{k}(D)$ ${\ displaystyle H ^ {k} (D)}$ ${\ displaystyle H ^ {k} (D)}$ .

Spații Sobolev de ordine fracționată $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ , cu $s\geq 0$ ${\ displaystyle s \ geq 0}$ ${\ displaystyle s \ geq 0}$ , poate fi definit prin intermediul transformatei Fourier așa cum s-a făcut anterior:

H^{s}(\mathbb {R} ^{n})=\left\{f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \left|\|f\|_{H^{s}}^{2}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{s}{\big |}{\hat {f}}(\xi ){\big |}^{2}\,\mathrm {d} \xi <+\infty \right.\right\}

{\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ left \ {f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} \ left | \ | f \ | _ {H ^ {s}} ^ {2} = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big (} 1+ | \ xi | ^ {2} {\ big)} ^ { s} {\ big |} {\ hat {f}} (\ xi) {\ big |} ^ {2} \, \ mathrm {d} \ xi <+ \ infty \ right. \ right \}}

{\ displaystyle H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ left \ {f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} \ left | \ | f \ | _ {H ^ {s}} ^ {2} = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ big (} 1+ | \ xi | ^ {2} {\ big)} ^ { s} {\ big |} {\ hat {f}} (\ xi) {\ big |} ^ {2} \, \ mathrm {d} \ xi <+ \ infty \ right. \ right \}}

Cu toate acestea, dacă $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este un domeniu neperiodic ca $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sau taurul $T^{n}$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ , această definiție nu este suficientă, deoarece transformata Fourier a unei funcții definite într-un domeniu aperiodic este dificil de definit. Din fericire există o caracterizare intrinsecă a spațiilor Sobolev (de ordin fracționat) care este în esență analogul din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ continuitatea titularului . Un produs intern echivalent pentru $H^{s}(D)$ ${\ displaystyle H ^ {s} (D)}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (D)}$ este dat de:

(f,g)_{H^{s}(D)}=(f,g)_{H^{k}(D)}+\sum _{|\alpha |=k}\int _{D}\int _{D}{\frac {{\big (}f^{(\alpha )}(x)-f^{(\alpha )}(y){\big )}{\big (}g^{(\alpha )}(x)-g^{(\alpha )}(y){\big )}}{|x-y|^{n+2t}}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y

{\ displaystyle (f, g) _ {H ^ {s} (D)} = (f, g) _ {H ^ {k} (D)} + \ sum _ {| \ alpha | = k} \ int _ {D} \ int _ {D} {\ frac {{\ big (} f ^ {(\ alpha)} (x) -f ^ {(\ alpha)} (y) {\ big)} {\ big (} g ^ {(\ alpha)} (x) -g ^ {(\ alpha)} (y) {\ big)}} {| xy | ^ {n + 2t}}} \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y}

{\ displaystyle (f, g) _ {H ^ {s} (D)} = (f, g) _ {H ^ {k} (D)} + \ sum _ {| \ alpha | = k} \ int _ {D} \ int _ {D} {\ frac {{\ big (} f ^ {(\ alpha)} (x) -f ^ {(\ alpha)} (y) {\ big)} {\ big (} g ^ {(\ alpha)} (x) -g ^ {(\ alpha)} (y) {\ big)}} {| xy | ^ {n + 2t}}} \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y}

unde este $s=k+t$ ${\ displaystyle s = k + t}$ ${\ displaystyle s = k + t}$ , cu k un număr întreg și $0<t<1$ ${\ displaystyle 0 <t <1}$ ${\ displaystyle 0 <t <1}$ . Rețineți că dimensiunea domeniului n apare în această formulă pentru produsul interior.

Exemple

În dimensiuni superioare, faptul că, de exemplu, $W^{1,1}$ ${\ displaystyle W ^ {1,1}}$ ${\ displaystyle W ^ {1,1}}$ conține doar funcții continue. Într-adevăr, ia în considerare $1/|x|$ ${\ displaystyle 1 / | x |}$ ${\ displaystyle 1 / | x |}$ care aparține $W^{1,1}(B^{3})$ ${\ displaystyle W ^ {1,1} (B ^ {3})}$ ${\ displaystyle W ^ {1,1} (B ^ {3})}$ , unde este $B^{3}$ ${\ displaystyle B ^ {3}}$ ${\ displaystyle B ^ {3}}$ este bila cu raza unitara in trei dimensiuni. Pentru k suficient de mare $W^{k,p}(D)$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (D)}$ conține numai funcții continue, dar care k acest lucru este deja adevărat depinde atât de p cât și de mărime. De exemplu, după cum se poate verifica cu ușurință folosind coordonatele sferice polare , funcția $f:B^{n}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ ${\ displaystyle f: B ^ {n} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}$ ${\ displaystyle f: B ^ {n} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}$ definit pe bila n- dimensională și dat de:

f(x)={\frac {1}{|x|^{\alpha }}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {| x | ^ {\ alpha}}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {| x | ^ {\ alpha}}}}

aparține lui $W^{k,p}(B^{n})$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (B ^ {n})}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p} (B ^ {n})}$ dacă și numai dacă:

\alpha <{\frac {n}{p}}-k

{\ displaystyle \ alpha <{\ frac {n} {p}} - k}

{\ displaystyle \ alpha <{\ frac {n} {p}} - k}

Scufundare Sobolev

Același subiect în detaliu: inegalitatea Sobolev .

Este $W^{k,p}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p}}$ $W ^ {{k, p}}$ spațiul Sobolev al unui distribuitor Riemann compact de dimensiune n , în care k poate fi orice număr real și $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ (pentru $p=\infty$ ${\ displaystyle p = \ infty}$ ${\ displaystyle p = \ infty}$ spațiul lui Sobolev $W^{k,\infty }$ ${\ displaystyle W ^ {k, \ infty}}$ ${\ displaystyle W ^ {k, \ infty}}$ este definit ca spațiul Holder $C^{n,\alpha }$ ${\ displaystyle C ^ {n, \ alpha}}$ ${\ displaystyle C ^ {n, \ alpha}}$ , unde este $k=n+\alpha$ ${\ displaystyle k = n + \ alpha}$ ${\ displaystyle k = n + \ alpha}$ Și $0\leq \alpha \leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq 1}$ .). Teorema de imersiune a lui Sobolev afirmă că dacă $k\geq l$ ${\ displaystyle k \ geq l}$ ${\ displaystyle k \ geq l}$ Și $k-n/p\geq l-n/q$ ${\ displaystyle kn / p \ geq ln / q}$ ${\ displaystyle k-n / p \ geq l-n / q}$ asa de:

W^{k,p}\subseteq W^{l,q}

{\ displaystyle W ^ {k, p} \ subseteq W ^ {l, q}}

{\ displaystyle W ^ {k, p} \ subseteq W ^ {l, q}}

iar includerea este continuă. De asemenea dacă $k>1$ ${\ displaystyle k> 1}$ $k> 1$ Și $k-n/p>l-n/q$ ${\ displaystyle kn / p> ln / q}$ ${\ displaystyle k-n / p> l-n / q}$ atunci includerea este complet continuă. Această proprietate este cunoscută sub numele de teorema lui Kondrakov .

Funcții în $W^{l,\infty }$ ${\ displaystyle W ^ {l, \ infty}}$ ${\ displaystyle W ^ {l, \ infty}}$ toate au derivate mai mici de $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ continuu, prin urmare, aceasta determină condiții particulare în spațiile Sobolev în care derivatele sunt continue. Într-un mod non-formal, se poate spune că, cu aceste scufundări, o estimare poate fi convertită în $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ cu unul pe limită și acest lucru „costă” 1 / p derivat pentru fiecare dimensiune.

Urme

Este $s>1/2$ ${\ displaystyle s> 1/2}$ ${\ displaystyle s> 1/2}$ . De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un set deschis astfel încât granița sa $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este „suficient de regulat”, atunci putem defini funcția de urmărire (adică restricția ) $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ come:

Pu=u|_{G}

Pu=u|_{G}

Pu=u|_{G}

cioè $u$ ${\displaystyle u}$ $u$ ristretta a $G$ ${\displaystyle G}$ $G$ . La funzione traccia $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ così definita ha dominio $H^{s}(X)$ $H^{s}(X)$ $H^{s}(X)$ e codominio $H^{s-1/2}(G)$ $H^{s-1/2}(G)$ $H^{s-1/2}(G)$ . Per essere più precisi, $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ è prima definita per funzioni infinitamente differenziabili e poi viene estesa con continuità a $H^{s}(X)$ $H^{s}(X)$ $H^{s}(X)$ . Si noti che in questo passaggio si perde metà derivata.

Identificare il codominio della funzione traccia per $W^{s,p}$ $W^{s,p}$ $W^{s,p}$ è molto più difficile, e richiede le tecniche dell' interpolazione reale . Gli spazi che ne derivano sono gli spazi di Besov . Nel caso degli spazi $W^{s,p}$ $W^{s,p}$ $W^{s,p}$ non si perde mezza derivata, ma 1/ p .

Note

^ H. Brezis , Pag. 192 .
^ H. Brezis , Pag. 210 .
^ H. Brezis , Pag. 250 .

Bibliografia

( EN ) RA Adams, JJF Fournier, 2003. Sobolev Spaces . Academic Press.
( EN ) LC Evans, 1998. Partial Differential Equations . American Mathematical Society.
S. Salsa, Equazioni a derivate parziali , Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1
Haïm Brezis , Analisi funzionale - Teoria e applicazioni , Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) SM Nikol'skii, Sobolev space , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Nanine Badr - Real interpolation of Sobolev spaces ( PDF ), su math.univ-lyon1.fr .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 25209

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Matematica

[1] H. Brezis , Pag. 192 .

[2] H. Brezis , Pag. 210 .

[3] H. Brezis , Pag. 250 .

[1]

[2]

[3]