Inegalitatea lui Sobolev

În matematică , în special în domeniul analizei matematice , o inegalitate Sobolev se încadrează într-o clasă de inegalități , numită după Sobolev , referitoare la normele definite în spațiile Sobolev . Ele sunt folosite pentru a demonstra teorema de imersie a lui Sobolev (la incluziuni între unele spații Sobolev ) și teorema lui Rellich-Kondrakov (conform căreia, în condiții ușor mai puternice, unele spații Sobolev sunt conținute compact în altele).

Teorema de imersiune a lui Sobolev

Indicați cu $W^{k,p}$ ${\ displaystyle W ^ {k, p}}$ $W ^ {{k, p}}$ spațiul Sobolev al unui distribuitor Riemannian compact de dimensiune n , un spațiu care, pe scurt, constă din funcții ale căror prime k derivate sunt în $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ . În acest context k poate fi orice număr întreg negativ e $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ . (Pentru $p=\infty$ ${\ displaystyle p = \ infty}$ ${\ displaystyle p = \ infty}$ spațiul Sobolev este definit ca spațiul Hölder $C^{m,\alpha }$ ${\ displaystyle C ^ {m, \ alpha}}$ ${\ displaystyle C ^ {m, \ alpha}}$ unde este $k=m+\alpha$ ${\ displaystyle k = m + \ alpha}$ ${\ displaystyle k = m + \ alpha}$ Și , $0<\alpha \leq 1$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha \ leq 1}$ iar m este un număr întreg.) Teorema de imersiune a lui Sobolev afirmă că dacă $k\geq 1$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ Și:

k-{\frac {n}{p}}\geq l-{\frac {n}{q}}

{\ displaystyle k - {\ frac {n} {p}} \ geq l - {\ frac {n} {q}}}

{\ displaystyle k - {\ frac {n} {p}} \ geq l - {\ frac {n} {q}}}

asa de:

W^{k,p}\subseteq W^{l,q}

{\ displaystyle W ^ {k, p} \ subseteq W ^ {l, q}}

{\ displaystyle W ^ {k, p} \ subseteq W ^ {l, q}}

iar această incluziune este continuă. De asemenea dacă $k\geq 1$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ Și $k-n/p\geq l-n/q$ ${\ displaystyle kn / p \ geq ln / q}$ ${\ displaystyle k-n / p \ geq l-n / q}$ atunci includerea este complet continuă . Această proprietate este uneori numită teorema lui Kondrakov . Funcțiile din $W^{l,\infty }$ ${\ displaystyle W ^ {l, \ infty}}$ ${\ displaystyle W ^ {l, \ infty}}$ toate derivatele de ordin mai mic decât l au continuu, iar această condiție implică faptul că în spațiile Sobolev diverse derivate sunt continue. În mod informal aceste incluziuni spun că convertirea unei estimări în $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ într-o estimare de limitare costă 1 / p derivate pentru fiecare dimensiune.

Există alte variații ale teoremei de imersie pentru varietăți necompacte, cum ar fi $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Inegalitatea Gagliardo-Nirenberg-Perugini-Sobolev

Este $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ o funcție continuă și diferențiată cu suport compact de la $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ la $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Atunci pentru $1\leq p<n$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <n}$ există o constantă $C_{n}(p)$ ${\ displaystyle C_ {n} (p)}$ ${\ displaystyle C_ {n} (p)}$ astfel încât:

\|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C_{n}(p)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p ^ {*}} (\ mathbb {R} ^ {n})} \ leq C_ {n} (p) \ | Du \ | _ {L ^ { p} (\ mathbb {R} ^ {n})}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p ^ {*}} (\ mathbb {R} ^ {n})} \ leq C_ {n} (p) \ | Du \ | _ {L ^ { p} (\ mathbb {R} ^ {n})}}

unde este:

p^{*}={\frac {pn}{n-p}}>p

{\ displaystyle p ^ {*} = {\ frac {pn} {np}}> p}

{\ displaystyle p ^ {*} = {\ frac {pn} {n-p}}> p}

este numărul numit Sobolev conjugat de p .

Constantele optime

În inegalitatea Gagliardo-Nirenberg-Sobolev poate fi interesant să cunoaștem valorile constantelor optime, adică cele mai mici constante care verifică inegalitatea și să putem găsi funcții care să verifice egalitatea. Este ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p <n}$ ${\ displaystyle 1 <p <n}$ , apoi reține:

\|u\|_{L^{p^{*}}}\leqslant C_{n}(p)\|Du\|_{L^{p}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p ^ {*}}} \ leqslant C_ {n} (p) \ | Du \ | _ {L ^ {p}}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p ^ {*}}} \ leqslant C_ {n} (p) \ | Du \ | _ {L ^ {p}}}

cu:

C_{n}(p)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}n^{-{\frac {1}{p}}}\left({\frac {p-1}{n-p}}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\left({\frac {\Gamma \left(1+{\frac {n}{2}}\right)\Gamma (m)}{\Gamma \left({\frac {n}{p}}\right)\Gamma \left(1+n-{\frac {n}{p}}\right)}}\right)^{\frac {1}{n}}

{\ displaystyle C_ {n} (p) = \ pi ^ {- {\ frac {1} {2}}} n ^ {- {\ frac {1} {p}}} \ left ({\ frac {p -1} {np}} \ right) ^ {1 - {\ frac {1} {p}}} \ left ({\ frac {\ Gamma \ left (1 + {\ frac {n} {2}} \ dreapta) \ Gamma (m)} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {p}} \ right) \ Gamma \ left (1 + n - {\ frac {n} {p}} \ right)} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

{\ displaystyle C_ {n} (p) = \ pi ^ {- {\ frac {1} {2}}} n ^ {- {\ frac {1} {p}}} \ left ({\ frac {p -1} {np}} \ right) ^ {1 - {\ frac {1} {p}}} \ left ({\ frac {\ Gamma \ left (1 + {\ frac {n} {2}} \ dreapta) \ Gamma (m)} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {p}} \ right) \ Gamma \ left (1 + n - {\ frac {n} {p}} \ right)} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Mai mult, egalitatea dacă $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este de forma:

u(x)=\left(a+b|x|^{\frac {p}{p-1}}\right)^{1-{\frac {n}{p}}}

{\ displaystyle u (x) = \ left (a + b | x | ^ {\ frac {p} {p-1}} \ right) ^ {1 - {\ frac {n} {p}}}}

{\ displaystyle u (x) = \ left (a + b | x | ^ {\ frac {p} {p-1}} \ right) ^ {1 - {\ frac {n} {p}}}}

cu adecvat $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ pozitiv.

Funcția gamma apare în teoremă. Funcțiile care realizează egalitatea sunt radial simetrice , conform inegalității Pólya-Szegő . De fapt, dacă vrem să încercăm să micșorăm norma de gradient a unei funcții, putem lua în considerare rearanjarea sa radială .

Cazul $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ în schimb este puțin diferit. În acest caz $1^{*}={\frac {n}{n-1}}.$ ${\ displaystyle 1 ^ {*} = {\ frac {n} {n-1}}.}$ ${\ displaystyle 1 ^ {*} = {\ frac {n} {n-1}}.}$

Se poate observa că, în general, constanta optimă poate fi găsită pentru scufundarea $W^{1,1}$ ${\ displaystyle W ^ {1,1}}$ ${\ displaystyle W ^ {1,1}}$ în $L^{\frac {n}{n-1}}$ ${\ displaystyle L ^ {\ frac {n} {n-1}}}$ ${\ displaystyle L ^ {\ frac {n} {n-1}}}$ .

De fapt, urmează următoarea teoremă. Este $u\in W^{1,1}$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1,1}}$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1,1}}$ , asa de:

\|u\|_{L^{1^{*}}}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-1}\|Du\|_{L^{1}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {1 ^ {*}}} \ leqslant n ^ {- 1} \ omega _ {n} ^ {- 1} \ | Du \ | _ {L ^ {1 }}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {1 ^ {*}}} \ leqslant n ^ {- 1} \ omega _ {n} ^ {- 1} \ | Du \ | _ {L ^ {1 }}}

De asemenea, nu există funcții în $W^{1,1}$ ${\ displaystyle W ^ {1,1}}$ ${\ displaystyle W ^ {1,1}}$ care aduc egalitate. Se observă că constanta care apare în teoremă este exact aceeași care apare în inegalitatea izoperimetrică .

Lemă Hardy-Littlewood-Sobolev

Dovada originală a lui Sobolev a teoremei de imersiune s-a bazat pe lema Hardy-Littlewood-Sobolev, un rezultat numit uneori teorema de integrare Hardy-Littlewood-Sobolev (fracționată) . Există, de asemenea, o propoziție echivalentă cunoscută sub numele de lema lui Sobolev . Este $0<\alpha <n$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha <n}$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha <n}$ Și ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p <q <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p <q <\ infty}$ . Spus $I_{\alpha }\equiv -\Delta ^{-\alpha /2}$ ${\ displaystyle I _ {\ alpha} \ equiv - \ Delta ^ {- \ alpha / 2}}$ ${\ displaystyle I _ {\ alpha} \ equiv - \ Delta ^ {- \ alpha / 2}}$ potențialul lui Riesz pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , apoi pentru q definit de:

q={\frac {pn}{n-\alpha p}}

{\ displaystyle q = {\ frac {pn} {n- \ alpha p}}}

{\ displaystyle q = {\ frac {pn} {n- \ alpha p}}}

există o constantă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ dependent doar de p astfel încât:

\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}

{\ displaystyle \ left \ | I _ {\ alpha} f \ right \ | _ {q} \ leq C \ | f \ | _ {p}}

{\ displaystyle \ left \ | I _ {\ alpha} f \ right \ | _ {q} \ leq C \ | f \ | _ {p}}

Inegalitatea Nash

Introdusă de John Nash în 1958, inegalitatea stabilește existența unei constante $C>0$ ${\ displaystyle C> 0}$ $C> 0$ astfel încât pentru fiecare $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap W^{1,2}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle u \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cap W ^ {1,2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle u \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cap W ^ {1,2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ apare:

\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})} ^ {1 + 2 / n} \ leq C \ | u \ | _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})} ^ {2 / n} \ | Du \ | _ {L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})} ^ {1 + 2 / n} \ leq C \ | u \ | _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})} ^ {2 / n} \ | Du \ | _ {L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}}

Este o relație care rezultă din proprietățile transformatei Fourier . Integrarea pe complementul sferei de rază $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , din teorema lui Parseval rezultă:

\int _{|x|\geq \rho }\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \int _{|x|\geq \rho }{\frac {x^{2}}{\rho ^{2}}}\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \rho ^{-2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|Du|^{2}\,dx

{\ displaystyle \ int _ {| x | \ geq \ rho} \ left | {\ hat {u}} (x) \ right | ^ {2} \, dx \ leq \ int _ {| x | \ geq \ rho} {\ frac {x ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ left | {\ hat {u}} (x) \ right | ^ {2} \, dx \ leq \ rho ^ { -2} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | Du | ^ {2} \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {| x | \ geq \ rho} \ left | {\ hat {u}} (x) \ right | ^ {2} \, dx \ leq \ int _ {| x | \ geq \ rho} {\ frac {x ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ left | {\ hat {u}} (x) \ right | ^ {2} \, dx \ leq \ rho ^ { -2} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | Du | ^ {2} \, dx}

Pe de altă parte, avem:

|{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}

{\ displaystyle | {\ hat {u}} | \ leq \ | u \ | _ {L ^ {1}}}

{\ displaystyle | {\ hat {u}} | \ leq \ | u \ | _ {L ^ {1}}}

decât integrarea pe sfera razei $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ oferă:

\int _{|x|\leq \rho }|{\hat {u}}(x)|^{2}\,dx\leq \rho ^{n}\omega _{n}\|u\|_{L^{1}}^{2}

{\ displaystyle \ int _ {| x | \ leq \ rho} | {\ hat {u}} (x) | ^ {2} \, dx \ leq \ rho ^ {n} \ omega _ {n} \ | u \ | _ {L ^ {1}} ^ {2}}

{\ displaystyle \ int _ {| x | \ leq \ rho} | {\ hat {u}} (x) | ^ {2} \, dx \ leq \ rho ^ {n} \ omega _ {n} \ | u \ | _ {L ^ {1}} ^ {2}}

unde este $\omega _{n}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {n}$ este volumul sferei n- . Dacă alegeți $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ pentru a minimiza suma celor două integrale anterioare și din nou folosind teorema lui Parseval:

\|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}

{\ displaystyle \ | {\ hat {u}} \ | _ {L ^ {2}} = \ | u \ | _ {L ^ {2}}}

{\ displaystyle \ | {\ hat {u}} \ | _ {L ^ {2}} = \ | u \ | _ {L ^ {2}}}

se obține inegalitatea.

Inegalitatea Morrey

Este ${\displaystyle n<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle n <p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle n <p \ leq \ infty}$ . Apoi, există o constantă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , care depinde doar de p și n , astfel încât:

\|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (\ mathbb {R} ^ {n})} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (\ mathbb {R} ^ {n})} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}}

pentru fiecare $u\in C^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ , unde este:

\gamma :=1-n/p

{\ displaystyle \ gamma: = 1-n / p}

{\ displaystyle \ gamma: = 1-n / p}

Cu alte cuvinte, dacă $u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ asa de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este continuă conform lui Hölder (cu exponent $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ ), după ce a fost posibil redefinit pe un set de măsuri zero.

Un rezultat similar este valabil într-un domeniu limitat $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ cu margine $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ ; în acest caz se aplică următoarele:

\|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (U)}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (U)}}

unde constanta $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ depinde de n , p și $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Această versiune a inegalității rezultă din cea precedentă printr-o extensie (care păstrează norma) de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ din $W^{1,p}(U)$ ${\ displaystyle W ^ {1, p} (U)}$ ${\ displaystyle W ^ {1, p} (U)}$ la $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ .

Inegalități generale Sobolev

Este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ un subgrup limitat și deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , cu o garnitură elegantă $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ . Asuma ca $u\in W^{k,p}(U)$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {k, p} (U)}$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {k, p} (U)}$ .

De sine $k<n/p$ ${\ displaystyle k <n / p}$ ${\ displaystyle k <n / p}$ asa de $u\in L^{q}(U)$ ${\ displaystyle u \ în L ^ {q} (U)}$ ${\ displaystyle u \ în L ^ {q} (U)}$ , unde este:

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}}}

Avem și estimarea:

\|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {q} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (U)}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {q} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (U)}}

unde constanta

C.

{\ displaystyle C}

C.

depinde doar de k , p , n și

U

{\ displaystyle U}

U

.

De sine $k>n/p$ ${\ displaystyle k> n / p}$ ${\ displaystyle k> n / p}$ asa de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ aparține spațiului Holder $C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U)$ ${\ displaystyle C ^ {k- [n / p] -1, \ gamma} (U)}$ ${\ displaystyle C ^ {k- [n / p] -1, \ gamma} (U)}$ , unde este:

\gamma =\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}

{\ displaystyle \ gamma = \ left [{\ frac {n} {p}} \ right] +1 - {\ frac {n} {p}}}

{\ displaystyle \ gamma = \ left [{\ frac {n} {p}} \ right] +1 - {\ frac {n} {p}}}

de sine

n/p

{\ displaystyle n / p}

{\ displaystyle n / p}

nu este un număr întreg sau

\gamma

{\ displaystyle \ gamma}

\gamă

este orice număr pozitiv mai mic de 1, dacă

n/p

{\ displaystyle n / p}

{\ displaystyle n / p}

este un întreg.

Avem și estimarea:

\|u\|_{C^{k-[n/p]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {k- [n / p] -1, \ gamma} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (U) }}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {k- [n / p] -1, \ gamma} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (U) }}

unde constanta

C.

{\ displaystyle C}

C.

depinde doar de k , p , n ,

\gamma

{\ displaystyle \ gamma}

\gamă

Și

U

{\ displaystyle U}

U

.

Caz $p=n$ ${\ displaystyle p = n}$ $p = n$

De sine $u\in W^{1,n}(\mathbb {R} ^{n})\cap L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, n} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cap L_ {loc} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, n} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cap L_ {loc} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ , asa de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este o funcție cu oscilație medie limitată și:

\|u\|_{BMO}<C\|Du\|_{L^{n}(\mathbb {R} ^{n})}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {BMO} <C \ | Du \ | _ {L ^ {n} (\ mathbb {R} ^ {n})}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {BMO} <C \ | Du \ | _ {L ^ {n} (\ mathbb {R} ^ {n})}}

pentru unele constante $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ care depinde doar de n . Această estimare este un corolar al inegalității Poincaré .

Bibliografie

G.Talenti, „Cea mai bună constantă în inegalitatea lui Sobolev”, Analele matematicii pure și aplicate, volumul 110 (1976), pp. 353–376.
( EN ) OV Besov, și colab., "Teoria încorporării claselor funcțiilor diferențiate ale mai multor variabile", Ecuații diferențiale parțiale , Moscova (1970) pp. 38–63
( EN ) SM Nikol'skii, Despre teoreme de încorporare, continuare și aproximare pentru funcții diferențiate ale mai multor variabile Matematica rusă. Surveys, 16: 5 (1961) pp. 55–104 Uspekhi Mat. Nauk, 16: 5 (1961) pp. 63-114
( EN ) SM Nikol'skii, Aproximarea funcțiilor mai multor variabile și încorporarea teoremelor , Springer (1975)
( EN ) Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale , American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) SM Nikol'skii, Imbedding theorems , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică