Stare Hölder

În matematică , condiția Holder este o generalizare a condiției Lipschitz .

Următoarele relații de incluziune apar pentru funcții definite pe un subset compact al liniei reale: diferențialitate cu continuitate ⊆ Lipschitz continuitate ⊆ α-Hölderianitate ⊆ continuitate uniformă ⊆ continuitate ; cu 0 <α ≤1.

Conditia

O funcție variabilă reală $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: (a, b) \ to \ mathbb {R}}$ $f: (a, b) \ to {\ mathbb {R}}$ îndeplinește condiția de comandă a lui Hölder $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , cu $0<\alpha \leq 1$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha \ leq 1}$ $0 <\ alpha \ leq 1$ , dacă există o constantă $C>0$ ${\ displaystyle C> 0}$ $C> 0$ astfel încât: ^[1] pentru fiecare $x,y\in (a,b)$ ${\ displaystyle x, y \ in (a, b)}$ $x, y \ in (a, b)$

|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }

{\ displaystyle | f (x) -f (y) | \ leq C | xy | ^ {\ alpha}}

| f (x) -f (y) | \ leq C | x-y | ^ {\ alpha}

Numarul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ se spune că este un exponent al lui Hölder , în timp ce $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ spunem Hölder-continuă sau Hölderiana .

Condiția, care poate fi definită și pentru funcții între spații metrice , generalizează Lipschitzianitatea , care apare atunci când $\alpha =1$ ${\ displaystyle \ alpha = 1}$ $\ alfa = 1$ . De sine $\alpha =0$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alfa = 0$ , această condiție se reduce la limitarea funcției. Singurele funcții care ar satisface condiția Hölder pentru $\alpha >1$ ${\ displaystyle \ alpha> 1}$ $\ alpha> 1$ sunt cele constante , deci acest caz este de puțin interes.

De sine $0<\alpha \leq \beta \leq 1$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha \ leq \ beta \ leq 1}$ $0 <\ alpha \ leq \ beta \ leq 1$ orice funcție hölderiană cu exponent $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ și definit pe un subset limitat de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$ este și Hölderian cu exponent $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Prin urmare, toate funcțiile Lipschitz sunt $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ -hölderiane.

Spațiul funcțiilor Holderian

Spațiul lui Hölder $C^{n,\alpha }(\Omega )$ ${\ displaystyle C ^ {n, \ alpha} (\ Omega)}$ $C ^ {{n, \ alpha}} (\ Omega)$ a funcțiilor definite în subsetul deschis $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}$ , care împreună cu derivatele lor până la comandă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a satisface condiția Hölder cu exponent $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , este un spațiu vector topologic și are o seminormă dată de:

\|f\|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {0, \ alpha}} = \ sup _ {x, y \ in \ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) |} {| xy | ^ {\ alpha}}}}

\ | f \ | _ {{C ^ {{0, \ alpha}}}} = \ sup _ {{x, y \ in \ Omega}} {\ frac {| f (x) -f (y) | } {| xy | ^ {\ alpha}}}

de sine $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ Și:

\|f\|_{C^{n,\alpha }}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|+\max _{|\beta |=n}\|D^{\beta }f\|_{C^{0,\alpha }}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {n, \ alpha}} = \ max _ {| \ beta | \ leq n} \ sup _ {x \ in \ Omega} | D ^ {\ beta} f (x) | + \ max _ {| \ beta | = n} \ | D ^ {\ beta} f \ | _ {C ^ {0, \ alpha}}}

\ | f \ | _ {{C ^ {{n, \ alpha}}}} = \ max _ {{| \ beta | \ leq n}} \ sup _ {{x \ in \ Omega}} | D ^ {\ beta} f (x) | + \ max _ {{| \ beta | = n}} \ | D ^ {\ beta} f \ | _ {{C ^ {{0, \ alpha}}}}

de sine $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ , unde este $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ variază între multiindici .

Compacitate în spațiile Hölder

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un subgrup limitat de spațiu metric total limitat și sunt $0<\alpha <\beta \leq 1$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha <\ beta \ leq 1}$ $0 <\ alpha <\ beta \ leq 1$ doi exponenți ai lui Hölder. Apoi, include includerea spațiilor Hölder corespunzătoare:

C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega )

{\ displaystyle C ^ {0, \ beta} (\ Omega) \ to C ^ {0, \ alpha} (\ Omega)}

C ^ {{0, \ beta}} (\ Omega) \ to C ^ {{0, \ alpha}} (\ Omega)

care este continuu din moment ce inegalitatea:

|f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }

{\ displaystyle | f | _ {0, \ alpha, \ Omega} \ leq \ mathrm {diam} (\ Omega) ^ {\ beta - \ alpha} | f | _ {0, \ beta, \ Omega}}

| f | _ {{0, \ alpha, \ Omega}} \ leq {\ mathrm {diam}} (\ Omega) ^ {{\ beta - \ alpha}} | f | _ {{0, \ beta, \ Omega}}

se aplică tuturor $f\in C^{0,\beta }(\Omega )$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {0, \ beta} (\ Omega)}$ $f \ în C ^ {{0, \ beta}} (\ Omega)$ . În plus, această incluziune este compactă, adică seturile mărginite în normă $|f|_{0,\beta }$ ${\ displaystyle | f | _ {0, \ beta}}$ $| f | _ {{0, \ beta}}$ sunt relativ compacte în normă $|f|_{0,\alpha }$ ${\ displaystyle | f | _ {0, \ alpha}}$ $| f | _ {{0, \ alpha}}$ . Este o consecință a teoremei Ascoli-Arzelà : de fapt, așa să fie $(u_{n})$ ${\ displaystyle (u_ {n})}$ $(A})$ o succesiune în $f\in C^{0,\beta }(\Omega )$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {0, \ beta} (\ Omega)}$ $f \ în C ^ {{0, \ beta}} (\ Omega)$ . Datorită rezultatului Ascoli-Arzelà se poate presupune fără pierderea generalității că $u_{n}\to u$ ${\ displaystyle u_ {n} \ to u}$ $u_ {n} \ to u$ uniform și chiar și asta $u=0$ ${\ displaystyle u = 0}$ $u = 0$ . Atunci:

|u_{n}-u|_{0,\alpha }=|u_{n}|_{0,\alpha }\to 0

{\ displaystyle | u_ {n} -u | _ {0, \ alpha} = | u_ {n} | _ {0, \ alpha} \ to 0}

| u_ {n} -u | _ {{0, \ alpha}} = | u_ {n} | _ {{0, \ alpha}} \ to 0

atâta timp cât

{\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}|u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}

{\ displaystyle {\ frac {| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ alpha}}} = \ left ({\ frac {| u_ {n} ( x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ beta}}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha} {\ beta}} | u_ {n} (x) -u_ { n} (y) | ^ {1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}}

{\ frac {| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ alpha}}} = \ left ({\ frac {| u_ {n} (x) - u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ beta}}} \ right) ^ {{{\ frac {\ alpha} {\ beta}}}} | u_ {n} (x) -u_ {n} (y) | ^ {{1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}}

și, prin urmare, avem:

|u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq \left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1)

{\ displaystyle | u_ {n} (x) -u_ {n} (y) | ^ {1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}} \ leq \ left (2 \ | u_ {n} \ | _ {\ infty} \ right) ^ {1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}} = o (1)}

| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) | ^ {{1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}} \ leq \ left (2 \ | u_ {n} \ | _ {\ infty} \ right) ^ {{1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}} = o (1)

Exemple

Functia ${\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$ ${\ sqrt x}$ definit în $[0,3]$ ${\ displaystyle [0,3]}$ $[0,3]$ este Hölderian pentru fiecare $\alpha \leq {1 \over 2}$ ${\ displaystyle \ alpha \ leq {1 \ over 2}}$ $\ alpha \ leq {1 \ peste 2}$ .

Notă

^ PM Soardi , p. 198 .

Bibliografie

Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .
( EN ) Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale , American Mathematical Society, Providence, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
( EN ) D. Gilbarg și Neil Trudinger , Elliptic Parial Differential Equations of Second Order , New York, Springer, 1983, ISBN 3-540-41160-7 .
( EN ) Qing Han și Fanghua Lin , Elliptic Partial Differential Equations , New York, Courant Institute of Mathematical Sciences, 1997, ISBN 0-9658703-0-8 ,OCLC 38168365 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] PM Soardi , p. 198 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy