Teorema Heine-Cantor

În matematică , teorema Heine-Cantor este o teoremă a analizei matematice referitoare la continuitatea uniformă a funcțiilor definite între spațiile metrice . Acesta poartă numele lui Eduard Heine și Georg Cantor .

În general, orice funcție uniformă continuă este, de asemenea, continuă. Teorema Heine-Cantor permite inversarea acestei implicații, presupunând că domeniul este un spațiu metric compact.

Teorema

Lasa-i sa fie $(M,d)$ ${\ displaystyle (M, d)}$ $(M, d)$ Și $(N,\rho )$ ${\ displaystyle (N, \ rho)}$ ${\ displaystyle (N, \ rho)}$ spații metrice, e $f:M\to N$ ${\ displaystyle f: M \ to N}$ $f: M \ to N$ o funcție continuă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ atunci este compact $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este uniform continuu . ^[1]

În special, toate funcțiile reale continue ale variabilei reale definite pe un interval închis și delimitat sunt uniform continue.

Demonstrație

Presupunem, în mod absurd, că teza nu este valabilă; negarea

\forall \varepsilon >0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0:\forall x,y\in M,d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există \ delta = \ delta (\ varepsilon)> 0: \ forall x, y \ în M, d (x, y) <\ delta \ Rightarrow \ rho (f (x ), f (y)) <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există \ delta = \ delta (\ varepsilon)> 0: \ forall x, y \ în M, d (x, y) <\ delta \ Rightarrow \ rho (f (x ), f (y)) <\ varepsilon}

echivalentă cu

\exists {\bar {\varepsilon }}>0:\forall \delta >0,\exists x=x_{\delta },y=y_{\delta }\in M:d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta ,\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}

{\ displaystyle \ există {\ bar {\ varepsilon}}> 0: \ forall \ delta> 0, \ există x = x _ {\ delta}, y = y _ {\ delta} \ în M: d (x _ {\ delta}, y _ {\ delta}) <\ delta, \ rho (f (x _ {\ delta}), f (y _ {\ delta})) \ geq {\ bar {\ varepsilon}}}

{\ displaystyle \ există {\ bar {\ varepsilon}}> 0: \ forall \ delta> 0, \ există x = x _ {\ delta}, y = y _ {\ delta} \ în M: d (x _ {\ delta}, y _ {\ delta}) <\ delta, \ rho (f (x _ {\ delta}), f (y _ {\ delta})) \ geq {\ bar {\ varepsilon}}}

.

Deci, să presupunem că există ${\bar {\varepsilon }}>0$ ${\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}}> 0}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}}> 0}$ astfel încât pentru fiecare $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ puncte există $x_{\delta },y_{\delta }$ ${\ displaystyle x _ {\ delta}, y _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle x _ {\ delta}, y _ {\ delta}}$ astfel încât

$d(x_{\delta },y_{\delta })<\delta$ ${\ displaystyle d (x _ {\ delta}, y _ {\ delta}) <\ delta}$ ${\ displaystyle d (x _ {\ delta}, y _ {\ delta}) <\ delta}$ Și $\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}$ ${\ displaystyle \ rho (f (x _ {\ delta}), f (y _ {\ delta})) \ geq {\ bar {\ varepsilon}}}$ ${\ displaystyle \ rho (f (x _ {\ delta}), f (y _ {\ delta})) \ geq {\ bar {\ varepsilon}}}$

Dăm un $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ valori $1,{1 \over 2},{1 \over 3}\cdots ,{1 \over n},\cdots$ ${\ displaystyle 1, {1 \ over 2}, {1 \ over 3} \ cdots, {1 \ over n}, \ cdots}$ ${\ displaystyle 1, {1 \ over 2}, {1 \ over 3} \ cdots, {1 \ over n}, \ cdots}$ și denotăm cu $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ Și $y_{n}$ ${\ displaystyle y_ {n}}$ $y_ {n}$ punctele corespunzătoare $x_{\delta },y_{\delta }$ ${\ displaystyle x _ {\ delta}, y _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle x _ {\ delta}, y _ {\ delta}}$ .

În acest fel sunt definite două secvențe de puncte $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ Și $\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {y_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {y_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ .

Atâta timp cât $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este compact din $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ se poate extrage o subsecvență care converge într-un punct $z\in M$ ${\ displaystyle z \ în M}$ ${\ displaystyle z \ în M}$ ; fie ea $\{x_{n_{j}}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n_ {j}} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n_ {j}} \}}$ .

Atâta timp cât $d(x_{n_{j}},y_{n_{j}})<{1 \over n_{j}}\to 0$ ${\ displaystyle d (x_ {n_ {j}}, y_ {n_ {j}}) <{1 \ over n_ {j}} \ to 0}$ ${\ displaystyle d (x_ {n_ {j}}, y_ {n_ {j}}) <{1 \ over n_ {j}} \ to 0}$ pentru $j\to +\infty$ ${\ displaystyle j \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle j \ to + \ infty}$ , da

$d(y_{n_{j}},z)\leq d(x_{n_{j}},y_{n_{j}})+d(x_{n_{j}},z)\to 0\quad$ ${\ displaystyle d (y_ {n_ {j}}, z) \ leq d (x_ {n_ {j}}, y_ {n_ {j}}) + d (x_ {n_ {j}}, z) \ to 0 \ quad}$ ${\ displaystyle d (y_ {n_ {j}}, z) \ leq d (x_ {n_ {j}}, y_ {n_ {j}}) + d (x_ {n_ {j}}, z) \ to 0 \ quad}$ pentru $j\to +\infty$ ${\ displaystyle j \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle j \ to + \ infty}$ . apoi și $\{y_{n_{j}}\}$ ${\ displaystyle \ {y_ {n_ {j}} \}}$ ${\ displaystyle \ {y_ {n_ {j}} \}}$ converge la $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$

Din moment ce pentru fiecare $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ da ai

$\rho (f(x_{n_{j}}),f(y_{n_{j}}))\leq \rho (f(x_{n_{j}}),f(z))+\rho (f(y_{n_{j}}),f(z))$ ${\ displaystyle \ rho (f (x_ {n_ {j}}), f (y_ {n_ {j}})) \ leq \ rho (f (x_ {n_ {j}}), f (z)) + \ rho (f (y_ {n_ {j}}), f (z))}$ ${\ displaystyle \ rho (f (x_ {n_ {j}}), f (y_ {n_ {j}})) \ leq \ rho (f (x_ {n_ {j}}), f (z)) + \ rho (f (y_ {n_ {j}}), f (z))}$

iar al doilea membru tinde la zero datorită continuității funcției, aceasta urmează

$\lim _{j\to \infty }\rho (f(x_{n_{j}}),f(y_{n_{j}}))=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {j \ to \ infty} \ rho (f (x_ {n_ {j}}), f (y_ {n_ {j}})) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {j \ to \ infty} \ rho (f (x_ {n_ {j}}), f (y_ {n_ {j}})) = 0}$

incompatibil cu ipoteza absurdă $\rho (f(x_{\delta }),f(y_{\delta }))\geq {\bar {\varepsilon }}$ ${\ displaystyle \ rho (f (x _ {\ delta}), f (y _ {\ delta})) \ geq {\ bar {\ varepsilon}}}$ ${\ displaystyle \ rho (f (x _ {\ delta}), f (y _ {\ delta})) \ geq {\ bar {\ varepsilon}}}$

Stare suficientă

Compacitatea este o condiție suficientă, dar nu necesară, pentru a avea o continuitate uniformă. Într-adevăr, există funcții uniforme continue definite în spații metrice necompacte. În mod banal funcția $f(x)=x$ ${\ displaystyle f (x) = x}$ $f (x) = x$ este continuu uniform în orice spațiu metric, precum și funcții constante. ^[1]

Notă

^ ^a ^b PM Soardi , p. 187 .

Bibliografie

Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[soardi-1] PM Soardi , p. 187 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy