Formă nedeterminată

În matematică și în special în calcul , scripturile: ^[1]

{\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad +\infty -\infty

{\ displaystyle {\ frac {0} {0}} \ qquad {\ frac {\ infty} {\ infty}} \ qquad 0 \ cdot \ infty \ qquad 1 ^ {\ infty} \ qquad 0 ^ {0} \ qquad \ infty ^ {0} \ qquad + \ infty - \ infty}

{\ displaystyle {\ frac {0} {0}} \ qquad {\ frac {\ infty} {\ infty}} \ qquad 0 \ cdot \ infty \ qquad 1 ^ {\ infty} \ qquad 0 ^ {0} \ qquad \ infty ^ {0} \ qquad + \ infty - \ infty}

identificați așa-numitele forme nedeterminate , care sunt colecții de funcții ale unei variabile reale care pot fi exprimate prin compunerea (prin intermediul unei multiplicări, diviziuni sau exponențieri) a două funcții ale unei variabile reale $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ având un anumit comportament atunci când variabila tinde spre o valoare finită sau infinită de aderență pentru ambele domenii ale funcțiilor.

Să luăm în considerare în special prima dintre formele introduse mai sus; functia

{\frac {f(x)}{g(x)}}

{\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}}}

{\ frac {f (x)} {g (x)}}

relativ la tendința variabilei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la un element adecvat $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ a setului extins de reali $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ , se atribuie formei ${\tfrac {0}{0}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {0} {0}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {0} {0}}}$ de sine $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ amândoi tind spre când $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Tinde să $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Se poate întâmpla ca această funcție de raport să se apropie de orice număr real, a $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ oa $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , sau că nu reușește să convergă în niciun punct de pe linia reală extinsă ; comportamentul său depinde de caracteristicile funcțiilor $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în vecinătatea $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . De exemplu:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

in timp ce:

\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}-7}}=\lim _{x\to 49}{\frac {\left({\sqrt {x}}-7\right)\left({\sqrt {x}}\,+7\right)}{{\sqrt {x}}-7}}=14

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 49} {\ frac {x-49} {{\ sqrt {x}} - 7}} = \ lim _ {x \ to 49} {\ frac {\ left ({ \ sqrt {x}} - 7 \ right) \ left ({\ sqrt {x}} \, + 7 \ right)} {{\ sqrt {x}} - 7}} = 14}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 49} {\ frac {x-49} {{\ sqrt {x}} - 7}} = \ lim _ {x \ to 49} {\ frac {\ left ({ \ sqrt {x}} - 7 \ right) \ left ({\ sqrt {x}} \, + 7 \ right)} {{\ sqrt {x}} - 7}} = 14}

Înlocuirea directă a funcțiilor numărătorului și numitorului cu limitele corespunzătoare pentru ambele rapoarte anterioare duce la atribuirea funcției formei nedeterminate ${\tfrac {0}{0}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {0} {0}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {0} {0}}}$ , în timp ce limitele ambelor rapoarte există de fapt și sunt egale cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $14$ ${\ displaystyle 14}$ $14$ respectiv.

Pentru alte relații aparținând aceleiași forme nedeterminate, limita nu există.

Observații similare se aplică celorlalte forme nedeterminate menționate mai sus.

În multe cazuri, unele simplificări algebrice, regula lui De L'Hôpital sau alte metode pot fi utilizate pentru a simplifica expresia până la un punct în care limita poate fi evaluată.

Calculul limitelor notabile poate fi de asemenea realizat sau simplificat grație estimării asimptotice .

Rețineți că pentru orice $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ nu nul $a^{0}$ ${\ displaystyle a ^ {0}}$ $a ^ 0$ Și ${\tfrac {a}{0}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {0}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {0}}}$ (vezi Divizarea la zero ) nu sunt forme nedeterminate.

Rezoluție cu regula De l'Hôpital

Același subiect în detaliu: Regula lui De l'Hôpital .

Regula lui De l'Hôpital permite rezolvarea directă a formelor nedeterminate sub formă de coeficient, adică ${\frac {0}{0}}$ ${\ displaystyle {\ frac {0} {0}}}$ $\ frac {0} {0}$ Și ${\frac {\infty }{\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ infty} {\ infty}}}$ $\ frac {\ infty} {\ infty}$ . În practică procedăm derivând numeratorul și numitorul. Dacă există limita acestui nou coeficient, atunci există și limita coeficientului inițial și cele două limite sunt egale. Dacă, pe de altă parte, noul coeficient converge la rândul său într-o formă nedeterminată, operația poate fi repetată prin calcularea celei de-a doua derivate și așa mai departe. Inexistența limitei coeficientului derivatelor nu implică totuși inexistența limitei coeficientului inițial.

În cazul în care ne confruntăm cu o formă nedeterminată care nu este sub forma unui coeficient, este posibil să se aplice regula de l'Hôpital după transformarea formei nedeterminate într-un coeficient.

În special, următorul tabel prezintă diferitele transformări care sunt aplicate pentru a rezolva forme de incertitudine cu teorema De l'Hôpital:

Formă	Condiție	Rezultate	Transformare
$\lim {\frac {f(x)}{g(x)}}$ ${\ displaystyle \ lim {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$ ${\ displaystyle \ lim {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$	$\lim f(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = 0}$ , $\lim g(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = 0}$	${\frac {0}{0}}$ ${\ displaystyle {\ frac {0} {0}}}$ $\ frac {0} {0}$	nu este necesar
$\lim {\frac {f(x)}{g(x)}}$ ${\ displaystyle \ lim {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$ ${\ displaystyle \ lim {\ frac {f (x)} {g (x)}}}$	$\lim f(x)=\pm \infty$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = \ pm \ infty}$ , $\lim g(x)=\pm \infty$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = \ pm \ infty}$	$\pm {\frac {\infty }{\infty }}$ ${\ displaystyle \ pm {\ frac {\ infty} {\ infty}}}$ ${\ displaystyle \ pm {\ frac {\ infty} {\ infty}}}$	nu este necesar
$\lim f(x)\cdot g(x)$ ${\ displaystyle \ lim f (x) \ cdot g (x)}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) \ cdot g (x)}$	$\lim f(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = 0}$ , $\lim g(x)=\pm \infty$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = \ pm \ infty}$	$0\cdot \infty$ ${\ displaystyle 0 \ cdot \ infty}$ ${\ displaystyle 0 \ cdot \ infty}$	$\lim {\frac {f(x)}{1/g(x)}}$ ${\ displaystyle \ lim {\ frac {f (x)} {1 / g (x)}}}$ ${\ displaystyle \ lim {\ frac {f (x)} {1 / g (x)}}}$ sau $\lim {\frac {g(x)}{1/f(x)}}$ ${\ displaystyle \ lim {\ frac {g (x)} {1 / f (x)}}}$ ${\ displaystyle \ lim {\ frac {g (x)} {1 / f (x)}}}$
$\lim f(x)^{g(x)}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) ^ {g (x)}}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) ^ {g (x)}}$	$\lim f(x)=1$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = 1}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = 1}$ , $\lim g(x)=\infty$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = \ infty}$	$1^{\infty }$ ${\ displaystyle 1 ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle 1 ^ {\ infty}}$	$e^{\left(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\right)}$ ${\ displaystyle e ^ {\ left (\ lim {\ frac {\ ln f (x)} {1 / g (x)}} \ right)}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ left (\ lim {\ frac {\ ln f (x)} {1 / g (x)}} \ right)}}$
$\lim f(x)^{g(x)}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) ^ {g (x)}}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) ^ {g (x)}}$	$\lim f(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = 0}$ , $\lim g(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = 0}$ ^[2]	$0^{0}$ ${\ displaystyle 0 ^ {0}}$ ${\ displaystyle 0 ^ {0}}$	$e^{\left(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\right)}$ ${\ displaystyle e ^ {\ left (\ lim {\ frac {\ ln f (x)} {1 / g (x)}} \ right)}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ left (\ lim {\ frac {\ ln f (x)} {1 / g (x)}} \ right)}}$
$\lim f(x)^{g(x)}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) ^ {g (x)}}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) ^ {g (x)}}$	$\lim f(x)=\infty$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = \ infty}$ , $\lim g(x)=0$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = 0}$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = 0}$	$\infty ^{0}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ infty ^ {0}}$	$e^{\left(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\right)}$ ${\ displaystyle e ^ {\ left (\ lim {\ frac {\ ln f (x)} {1 / g (x)}} \ right)}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ left (\ lim {\ frac {\ ln f (x)} {1 / g (x)}} \ right)}}$
$\lim(f(x)-{g(x))}$ ${\ displaystyle \ lim (f (x) - {g (x))}}$ ${\ displaystyle \ lim (f (x) - {g (x))}}$	$\lim f(x)=+\infty$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim f (x) = + \ infty}$ , $\lim g(x)=+\infty$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim g (x) = + \ infty}$	$+\infty -\infty$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$	$\ln \left(\lim {\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\right)$ ${\ displaystyle \ ln \ left (\ lim {\ frac {e ^ {f (x)}} {e ^ {g (x)}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ ln \ left (\ lim {\ frac {e ^ {f (x)}} {e ^ {g (x)}}} \ right)}$

Limită remarcabilă de tip ${\tfrac {\infty }{\infty }}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ infty} {\ infty}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ infty} {\ infty}}}$ pentru fracțiile polinomiale

Să luăm în considerare secvența:

{P_{p}(n) \over Q_{q}(n)}

{\ displaystyle {P_ {p} (n) \ peste Q_ {q} (n)}}

{\ displaystyle {P_ {p} (n) \ peste Q_ {q} (n)}}

={{a_{p}n^{p}+a_{p-1}n^{p-1}+\ldots +a_{1}n+a_{0}} \over {b_{q}n^{q}+b_{q-1}n^{q-1}+\ldots +b_{1}n+b_{0}}}

{\ displaystyle = {{a_ {p} n ^ {p} + a_ {p-1} n ^ {p-1} + \ ldots + a_ {1} n + a_ {0}} \ over {b_ {q } n ^ {q} + b_ {q-1} n ^ {q-1} + \ ldots + b_ {1} n + b_ {0}}}}

{\ displaystyle = {{a_ {p} n ^ {p} + a_ {p-1} n ^ {p-1} + \ ldots + a_ {1} n + a_ {0}} \ over {b_ {q } n ^ {q} + b_ {q-1} n ^ {q-1} + \ ldots + b_ {1} n + b_ {0}}}}

coeficient de polinoame de două grade $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Vrem să studiem cazul în care apare o formă nedeterminată ${\tfrac {\infty }{\infty }}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ infty} {\ infty}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ infty} {\ infty}}}$ .

Adunare $n^{p}$ ${\ displaystyle n ^ {p}}$ $n ^ {p}$ la numărător și $n^{q}$ ${\ displaystyle n ^ {q}}$ ${\ displaystyle n ^ {q}}$ în numitor avem:

n^{p-q}{{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+\ldots +a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-p}} \over {b_{q}+b_{q-1}n^{-1}+\ldots +b_{1}n^{1-q}+b_{0}n^{-q}}}

{\ displaystyle n ^ {pq} {{a_ {p} + a_ {p-1} n ^ {- 1} + \ ldots + a_ {1} n ^ {1-p} + a_ {0} n ^ { -p}} \ over {b_ {q} + b_ {q-1} n ^ {- 1} + \ ldots + b_ {1} n ^ {1-q} + b_ {0} n ^ {- q} }}}

{\ displaystyle n ^ {pq} {{a_ {p} + a_ {p-1} n ^ {- 1} + \ ldots + a_ {1} n ^ {1-p} + a_ {0} n ^ { -p}} \ over {b_ {q} + b_ {q-1} n ^ {- 1} + \ ldots + b_ {1} n ^ {1-q} + b_ {0} n ^ {- q} }}}

acesta este:

n^{p-q}c_{n}

{\ displaystyle n ^ {pq} c_ {n}}

{\ displaystyle n ^ {p-q} c_ {n}}

unde este:

c_{n}={{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+\ldots +a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-p}} \over {b_{q}+b_{q-1}n^{-1}+\ldots +b_{1}n^{1-q}+b_{0}n^{-q}}}

{\ displaystyle c_ {n} = {{a_ {p} + a_ {p-1} n ^ {- 1} + \ ldots + a_ {1} n ^ {1-p} + a_ {0} n ^ { -p}} \ over {b_ {q} + b_ {q-1} n ^ {- 1} + \ ldots + b_ {1} n ^ {1-q} + b_ {0} n ^ {- q} }}}

{\ displaystyle c_ {n} = {{a_ {p} + a_ {p-1} n ^ {- 1} + \ ldots + a_ {1} n ^ {1-p} + a_ {0} n ^ { -p}} \ over {b_ {q} + b_ {q-1} n ^ {- 1} + \ ldots + b_ {1} n ^ {1-q} + b_ {0} n ^ {- q} }}}

atâta timp cât $n^{-k}\to 0$ ${\ displaystyle n ^ {- k} \ to 0}$ ${\ displaystyle n ^ {- k} \ to 0}$ orice ar fi $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ nu avem nul:

a_{n}={{P_{p}(n)} \over {Q_{q}(n)}}

{\ displaystyle a_ {n} = {{P_ {p} (n)} \ over {Q_ {q} (n)}}}

{\ displaystyle a_ {n} = {{P_ {p} (n)} \ over {Q_ {q} (n)}}}

este valabil:

${a_{p} \over b_{q}}$ ${\ displaystyle {a_ {p} \ over b_ {q}}}$ ${\ displaystyle {a_ {p} \ over b_ {q}}}$ de sine $p=q$ ${\ displaystyle p = q}$ $p = q$
semn $\left({a_{p} \over b_{q}}\right)\infty$ ${\ displaystyle \ left ({a_ {p} \ over b_ {q}} \ right) \ infty}$ ${\ displaystyle \ left ({a_ {p} \ over b_ {q}} \ right) \ infty}$ de sine $p>q$ ${\ displaystyle p> q}$ $p> q$
de sine $p<q$ ${\ displaystyle p <q}$ $p <q$

atâta timp cât $n^{p-q}$ ${\ displaystyle n ^ {pq}}$ ${\ displaystyle n ^ {p-q}}$ este valabil:

$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ de sine $p=q$ ${\ displaystyle p = q}$ $p = q$
$+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ de sine $p\geq q$ ${\ displaystyle p \ geq q}$ ${\ displaystyle p \ geq q}$
de sine $p\leq q$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$

Notă

^ Simbolul $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , fără un semn în față este aici pentru a citi " $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ ", acesta este " $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ sau $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ", în timp ce simbolul $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ înseamnă doar „plus infinit”. De exemplu, formularul „ ${\frac {\infty }{\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ infty} {\ infty}}}$ $\ frac {\ infty} {\ infty}$ "este de citit:" ${\frac {+\infty }{+\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {+ \ infty} {+ \ infty}}}$ $\ frac {+ \ infty} {+ \ infty}$ sau ${\frac {+\infty }{-\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {+ \ infty} {- \ infty}}}$ $\ frac {+ \ infty} {- \ infty}$ sau ${\frac {-\infty }{+\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ infty} {+ \ infty}}}$ $\ frac {- \ infty} {+ \ infty}$ sau ${\frac {-\infty }{-\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ infty} {- \ infty}}}$ $\ frac {- \ infty} {- \ infty}$ ". Cu această convenție, forma" $+\infty -\infty$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ "trebuie scris cu semnul în față, ca" $+\infty -\infty$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ "este o formă nedeterminată, dar" $-\infty -\infty$ ${\ displaystyle - \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty - \ infty}$ „nu este o formă nedeterminată, prin urmare, în acest caz, este necesar semnul„ + ”în fața simbolului infinit.
^ sci.math FAQ: Ce este 0 ^ 0?

Elemente conexe

linkuri externe

Forme și demonstrații nedeterminate , pe ripmat.it .
Calculul limitelor care apar într-o formă nedeterminată , pe matematicaeliberaricerca.com . Adus la 22 ianuarie 2008 (arhivat din original la 31 ianuarie 2008) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Simbolul $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , fără un semn în față este aici pentru a citi " $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ ", acesta este " $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ sau $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ", în timp ce simbolul $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ înseamnă doar „plus infinit”. De exemplu, formularul „ ${\frac {\infty }{\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ infty} {\ infty}}}$ $\ frac {\ infty} {\ infty}$ "este de citit:" ${\frac {+\infty }{+\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {+ \ infty} {+ \ infty}}}$ $\ frac {+ \ infty} {+ \ infty}$ sau ${\frac {+\infty }{-\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {+ \ infty} {- \ infty}}}$ $\ frac {+ \ infty} {- \ infty}$ sau ${\frac {-\infty }{+\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ infty} {+ \ infty}}}$ $\ frac {- \ infty} {+ \ infty}$ sau ${\frac {-\infty }{-\infty }}$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ infty} {- \ infty}}}$ $\ frac {- \ infty} {- \ infty}$ ". Cu această convenție, forma" $+\infty -\infty$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ "trebuie scris cu semnul în față, ca" $+\infty -\infty$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty}$ "este o formă nedeterminată, dar" $-\infty -\infty$ ${\ displaystyle - \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty - \ infty}$ „nu este o formă nedeterminată, prin urmare, în acest caz, este necesar semnul„ + ”în fața simbolului infinit.

[2] sci.math FAQ: Ce este 0 ^ 0?

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy