Funcții pare și ciudate

În matematică , funcțiile pare și funcțiile impare sunt funcții care satisfac anumite relații de simetrie în raport cu valorile negative. Acestea sunt importante în multe domenii ale analizei matematice , în special în teoria seriilor de putere și a seriei Fourier .

Chiar și funcții

Este $f(x)\;$ ${\ displaystyle f (x) \;}$ ${\ displaystyle f (x) \;}$ o funcție cu valoare reală a unei variabile reale și ambele $D\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R}}$ domeniul său. Atunci $f\;$ ${\ displaystyle f \;}$ $f \;$ este chiar dacă pentru fiecare $x\in D$ ${\ displaystyle x \ în D}$ ${\ displaystyle x \ în D}$ ecuația ^[1] are:

f(x)=f(-x).

{\ displaystyle f (x) = f (-x).}

{\ displaystyle f (x) = f (-x).}

Geometric, graficul unei funcții pare este simetric față de axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Denumirea de vine din faptul că seria de funcții Taylor centrată la originea conține doar puteri uniforme.

Exemple de funcții pare sunt $x^{2},x^{4},\cos(x),\cosh(x).$ ${\ displaystyle x ^ {2}, x ^ {4}, \ cos (x), \ cosh (x).}$ ${\ displaystyle x ^ {2}, x ^ {4}, \ cos (x), \ cosh (x).}$

Exemplu practic: $f(x)=x^{2}-1\Rightarrow f(-x)=(-x)^{2}-1=x^{2}-1=f(x).$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -1 \ Rightarrow f (-x) = (- x) ^ {2} -1 = x ^ {2} -1 = f (x).}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -1 \ Rightarrow f (-x) = (- x) ^ {2} -1 = x ^ {2} -1 = f (x).}$

Funcții ciudate

A fi încă $f(x)\;$ ${\ displaystyle f (x) \;}$ $f (x) \;$ o funcție cu valoare reală a unei variabile reale și ambele $D\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R}}$ domeniul său. Atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este ciudat dacă pentru fiecare $x\in D$ ${\ displaystyle x \ în D}$ ${\ displaystyle x \ în D}$ ecuația ^[2] există:

f(-x)=-f(x)

{\ displaystyle f (-x) = - f (x)}

{\ displaystyle f (-x) = - f (x)}

, asta inseamna

f(x)=-f(-x).

{\ displaystyle f (x) = - f (-x).}

{\ displaystyle f (x) = - f (-x).}

Geometric, graficul unei funcții ciudate este simetric față de originea axelor.

Numele ciudat derivă din faptul că seria Taylor a unei funcții ciudate centrată la origine conține doar puteri ciudate.

Exemple de funcții ciudate sunt $x,x^{3},\sin(x),\sinh(x).$ ${\ displaystyle x, x ^ {3}, \ sin (x), \ sinh (x).}$ ${\ displaystyle x, x ^ {3}, \ sin (x), \ sinh (x).}$

Exemplu: $f(x)=x^{3}-x\Rightarrow f(-x)=(-x)^{3}-(-x)=-x^{3}+x=-(x^{3}-x)=-f(x).$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {3} -x \ Rightarrow f (-x) = (- x) ^ {3} - (- x) = - x ^ {3} + x = - (x ^ {3} -x) = - f (x).}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {3} -x \ Rightarrow f (-x) = (- x) ^ {3} - (- x) = - x ^ {3} + x = - (x ^ {3} -x) = - f (x).}$

Câteva informații

În timp ce unirea numerelor întregi pare și impare corespunde întregului set de numere întregi , unirea funcțiilor pare și impare pe un interval este corect inclusă în setul de funcții pe acel interval. Prin urmare, o funcție poate fi pară, sau impară, sau să nu fie nici pară, nici impară.

Proprietăți fundamentale

Singura funcție care este atât pare, cât și impar este funcția constantă $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ ;
în general, suma unei funcții egale și a unei impare nu este nici egală, nici impară; de exemplu $x+x^{2}$ ${\ displaystyle x + x ^ {2}}$ ${\ displaystyle x + x ^ {2}}$ ;
suma a două funcții pare este la rândul său uniformă, iar produsul unei funcții pare de o constantă este, de asemenea, egal;
suma a două funcții impare este la rândul ei impar, iar produsul unei funcții impare de o constantă este, de asemenea, impar;
produsul a două funcții pare este o funcție uniformă;
produsul a două funcții impare este o funcție pare;
produsul unei funcții pare și o funcție impar este o funcție impar;
derivatul unei funcții pare este impar;
derivatul unei funcții impare este par;
integrala definită pe intervale de tip $[-a,a]$ ${\ displaystyle [-a, a]}$ $[-a, a]$ a unei funcții impare este 0;
integrala definită pe intervale de tip $[-a,a]$ ${\ displaystyle [-a, a]}$ $[-a, a]$ de funcții pare, rezultă integralul dublu calculat numai în interval $[0,a]$ ${\ displaystyle [0, a]}$ ${\ displaystyle [0, a]}$ .
de sine $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este ciudat și $0\in \mathrm {dom} f$ ${\ displaystyle 0 \ in \ mathrm {dom} f}$ ${\ displaystyle 0 \ in \ mathrm {dom} f}$ atunci neapărat $f(0)=0$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ (fără a fi nevoie de continuitate în).

Serie

Seria Taylor a unei funcții uniforme conține doar puteri uniforme.
Seria Taylor a unei funcții ciudate conține doar puteri ciudate.
Seria Fourier a unei funcții periodice conține numai termeni cosinus .
Seria Fourier a unei funcții periodice impare conține doar termeni sinusoidali .

Structuri algebrice

Fiecare combinație liniară de funcții pare este uniformă, iar funcțiile pare formează un spațiu vectorial peste reale . În mod similar, orice combinație liniară de funcții impare este impară, iar funcțiile pare impare formează un spațiu vectorial peste reali. Fiecare funcție poate fi scrisă doar ca sumă a unei funcții pare și a unei funcții impare:

f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}} + {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}.}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}} + {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}.}

Chiar și funcțiile formează o algebră comutativă pe reali. Cu toate acestea, funcțiile ciudate nu formează un câmp pe reale.

Funcțiile pare și impare sunt ortogonale între ele. Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ chiar și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ciudat, atunci:

f\cdot g=\int _{-\infty }^{+\infty }{\bar {f}}(x)g(x)dx;

{\ displaystyle f \ cdot g = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ bar {f}} (x) g (x) dx;}

{\ displaystyle f \ cdot g = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ bar {f}} (x) g (x) dx;}

dar produsul unei funcții pare și impare este o funcție impar:

h(x)=f(x)\cdot g(x)\rightarrow h(-x)=-h(x);

{\ displaystyle h (x) = f (x) \ cdot g (x) \ rightarrow h (-x) = - h (x);}

{\ displaystyle h (x) = f (x) \ cdot g (x) \ rightarrow h (-x) = - h (x);}

prin urmare:

f\cdot g=\int _{-\infty }^{+\infty }{\bar {f}}(x)g(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }h(x)dx=0;

{\ displaystyle f \ cdot g = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ bar {f}} (x) g (x) dx = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h (x) dx = 0;}

{\ displaystyle f \ cdot g = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ bar {f}} (x) g (x) dx = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h (x) dx = 0;}

De asemenea, deoarece singura funcție impar și pare este $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ spațiul funcțiilor pare este în sumă directă cu cel al funcțiilor impare.

Notă

^ Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.58
^ Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.42

Bibliografie

În Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.58

[2] Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.42

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy