Integrala Lebesgue

Zona de sub o curbă poate fi interpretată ca integrală a acelei curbe.

În analiza matematică , integralul Lebesgue al unei funcții , al cărui nume se datorează lui Henri Lebesgue , este integral în raport cu o măsură definită pe o sigmă-algebră . Termenul se referă, de asemenea, la cazul particular în care o funcție definită este integrată pe un subset al axei reale sau, în general, al unui spațiu euclidian , cu privire la măsura Lebesgue .

Este o generalizare a integralei Riemann , care istoric a fost prima formalizare a ideii de integrală, care permite definirea integralei unei clase mai largi de funcții. De exemplu, funcția Dirichlet poate fi integrată cu integralul Lebesgue, în timp ce nu este cu integrala Riemann. Integrala Lebesgue răspunde, de asemenea, la necesitatea de a lua în considerare funcții din ce în ce mai neregulate, de exemplu rezultatul proceselor limită în analiza matematică și teoria matematică a probabilității .

Introducere

Ca parte a tendinței generale spre rigoare în matematică în secolul al XIX-lea , au fost făcute încercări de a pune calculul integral pe o bază solidă. Integrala Riemann , propusă de Bernhard Riemann ( 1826 - 1866 ), este o încercare în mare măsură reușită de a oferi o astfel de bază pentru integrală. Definiția Riemann începe cu construirea unei succesiuni de integrale ușor de calculat care converg la integralul unei funcții date: această definiție oferă răspunsul așteptat pentru multe probleme deja rezolvate și s-a dovedit utilă în multe alte probleme.

Integrarea Riemann, însă, nu face față bine limitelor secvențelor de funcții, făcând aceste procese la limită dificil de analizat. Aceste limite sunt de primă importanță, de exemplu, în studiul seriei Fourier , transformate Fourier și în alte domenii. Integrala Lebesgue este cea mai potrivită pentru a descrie cum și când este posibilă efectuarea operației de limită sub semnul integral. De fapt, definiția lui Lebesgue consideră o clasă diferită de integrale ușor de calculat decât definiția lui Riemann și acesta este principalul motiv pentru care integralul Lebesgue se comportă mai bine.

Definiția Lebesgue face posibilă și calcularea integralelor pentru o clasă mai mare de funcții. De exemplu, funcția Dirichlet , care este 0 în cazul în care argumentul său este irațional și 1 în caz contrar, are o integrală Lebesgue, dar nu are o integrală Riemann.

Construcția integralei Lebesgue se bazează pe teoria măsurii . Teoria măsurării a fost creată inițial pentru a oferi o analiză detaliată a noțiunii de lungime a subseturilor liniei reale și mai general a ariilor și volumelor subseturilor de spații euclidiene . După cum se arată în evoluțiile ulterioare ale teoriei mulțimilor , care include, de asemenea, conceptul unui set nemăsurabil , este efectiv imposibil să se atribuie o lungime tuturor subseturilor de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ într-un mod care păstrează anumite proprietăți ale aditivității și invarianței naturale în cadrul traducerilor. Acest lucru sugerează că alegerea unei clase adecvate de subseturi, numite măsurabile , este o condiție prealabilă esențială.

Definiție

Este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură pe o sigma-algebră $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de subseturi ale unui set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . De exemplu, $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ poate fi un spațiu n euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ sau un anumit subset măsurabil al lui Lebesgue , în timp ce $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ poate fi sigma-algebră a tuturor subseturilor măsurabile Lebesgue ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ măsura Lebesgue. În teoria matematică a probabilității $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură de probabilitate peste un spațiu de probabilitate $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ măsurând 1.

Funcții măsurabile

Același subiect în detaliu: Funcția măsurabilă .

În teoria lui Lebesgue, integralele sunt limitate la o clasă de funcții, numite funcții măsurabile. O functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este măsurabilă dacă imaginea din spate a fiecărui interval $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $I \ subset \ mathbb {R}$ este in $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , adică dacă $f^{-1}(I)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (I)}$ $f ^ {{- 1}} (I)$ este un set măsurabil de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pentru fiecare interval deschis $I=(a,b)$ ${\ displaystyle I = (a, b)}$ $I = (a, b)$ : ^[1]

f^{-1}(I)\in X\quad \forall a<b

{\ displaystyle f ^ {- 1} (I) \ în X \ quad \ forall a <b}

f ^ {{- 1}} (I) \ în X \ quad \ forall a <b

Acest lucru se dovedește a fi echivalent cu cerința ca imaginea prealabilă a oricărui subset borelian de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ atât în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Setul de funcții măsurabile este închis în ceea ce privește operațiile algebrice și, în special, clasa este închisă în raport cu diferite tipuri de limite punctuale ale secvențelor. Limitele superioare și inferioare :

\liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k}\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}

{\ displaystyle \ liminf _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k} \ quad \ limsup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}}

\ liminf _ {{k \ in {\ mathbb {N}}}} f_ {k} \ quad \ limsup _ {{k \ in {\ mathbb {N}}}} f_ {k}

sunt, de asemenea, măsurabile dacă succesiunea $\{f_{k}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {k} \}}$ $\ {f_ {k} \}$ constă din funcții măsurabile.

Funcții simple

Același subiect în detaliu: Funcție simplă .

O funcție simplă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este o combinație liniară finită de funcții indicatoare ale seturilor măsurabile . ^[2]

Fie că sunt numere reale sau complexe $a_{1},\dots a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots a_ {n}}$ $a_ {1}, \ dots a_ {n}$ valorile asumate de funcția simplă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ și ambele:

A_{i}=\{x:s(x)=a_{i}\}

{\ displaystyle A_ {i} = \ {x: s (x) = a_ {i} \}}

A_ {i} = \ {x: s (x) = a_ {i} \}

Apoi: ^[2]

s(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x)

{\ displaystyle s (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} {\ mathbf {1}} _ {A_ {i}} (x)}

s (x) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} {{\ mathbf 1}} _ {{A_ {i}}} (x)

unde este ${\mathbf {1} }_{A_{i}}(x)$ ${\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {A_ {i}} (x)}$ ${{\ mathbf 1}} _ {{A_ {i}}} (x)$ este funcția indicator în raport cu setul $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ pentru fiecare i .

Integrala Lebesgue

Integrala Lebesgue a unei funcții simple este definită după cum urmează:

\int _{F}s\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu (A_{i}\cap F)\quad F\in X

{\ displaystyle \ int _ {F} s \, d \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ mu (A_ {i} \ cap F) \ quad F \ in X}

\ int _ {F} s \, d \ mu = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} \ mu (A_ {i} \ cap F) \ quad F \ in X

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție non-negativă măsurabilă pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ la valori pe linia reală extinsă . Integrala Lebesgue a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în ansamblu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ cu privire la măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este definit după cum urmează: ^[3]

\int _{F}f\,d\mu :=\sup \int _{F}s\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {F} f \, d \ mu: = \ sup \ int _ {F} s \, d \ mu}

\ int _ {F} f \, d \ mu: = \ sup \ int _ {F} s \, d \ mu

unde limita superioară este evaluată luând în considerare toate funcțiile simple $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ astfel încât $0\leq s\leq f$ ${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq f}$ $0 \ leq s \ leq f$ . Valoarea integralei este un număr din interval $[0,\infty ]$ ${\ displaystyle [0, \ infty]}$ $[0, \ infty]$ .

Setul de funcții astfel încât:

\int _{E}|f|d\mu <\infty

{\ displaystyle \ int _ {E} | f | d \ mu <\ infty}

\ int _ {E} | f | d \ mu <\ infty

se numește setul de funcții integrabile pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ conform lui Lebesgue cu privire la măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , sau, de asemenea, un set de funcții sumabile și este notat cu $L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mu)}$ $L ^ {1} (\ mu)$ .

Integrala Lebesgue a unei funcții poate fi văzută ca aplicarea unui operator liniar, mai precis al unei funcționale liniare , funcției în sine. Având în vedere o funcție definită pe un interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , Teorema lui Riesz ne permite să afirmăm că pentru orice funcționalitate liniară $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este asociată o măsură Borel finită $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ astfel încât: ^[4]

\lambda f=\int _{I}f\,d\mu

{\ displaystyle \ lambda f = \ int _ {I} f \, d \ mu}

\ lambda f = \ int _ {I} f \, d \ mu

În acest fel, valoarea funcțională depinde continuu de lungimea intervalului de integrare.

Integrarea funcțiilor non-simple

Integrala Lebesgue poate fi extinsă imediat la cazul funcțiilor non-simple. Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție cu un set măsurabil $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ la linia reală extinsă . Apoi, este posibil să o descompunem $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în partea sa pozitivă și negativă :

f=f^{+}-f^{-}\

{\ displaystyle f = f ^ {+} - f ^ {-} \}

f = f ^ {+} - f ^ {-} \

unde este:

f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)\geq 0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f ^ {+} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} f (x) & {\ mbox {se}} \ quad f (x) \ geq 0 \\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.}

f ^ {+} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} f (x) & {\ mbox {if}} \ quad f (x) \ geq 0 \\ 0 & {\ mbox {altfel} } \ end {matrix}} \ right.

f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f ^ {-} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} -f (x) & {\ mbox {se}} \ quad f (x) <0 \\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.}

f ^ {-} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} -f (x) & {\ mbox {if}} \ quad f (x) <0 \\ 0 & {\ mbox {altfel} } \ end {matrix}} \ right.

Să fie acum:

f=u+iv\in L^{1}(\mu )

{\ displaystyle f = u + iv \ în L ^ {1} (\ mu)}

f = u + iv \ în L ^ {1} (\ mu)

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt funcții reale măsurabile în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Este definită integralul Lebesgue al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ raportul: ^[5]

\int _{E}fd\mu =\int _{E}u^{+}d\mu -\int _{E}u^{-}d\mu +i\int _{E}v^{+}d\mu -i\int _{E}v^{-}d\mu

{\ displaystyle \ int _ {E} fd \ mu = \ int _ {E} u ^ {+} d \ mu - \ int _ {E} u ^ {-} d \ mu + i \ int _ {E} v ^ {+} d \ mu -i \ int _ {E} v ^ {-} d \ mu}

\ int _ {E} fd \ mu = \ int _ {E} u ^ {+} d \ mu - \ int _ {E} u ^ {-} d \ mu + i \ int _ {E} v ^ { +} d \ mu -i \ int _ {E} v ^ {-} d \ mu

pentru fiecare set măsurabil $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Definiția este motivată de faptul că dacă $f=u+iv$ ${\ displaystyle f = u + iv}$ $f = u + iv$ cu $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt funcții reale măsurabile pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție complexă și măsurabilă pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . De asemenea, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție complexă și măsurabilă pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , asa de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $|f|$ ${\ displaystyle | f |}$ $| f |$ sunt funcții reale măsurabile pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Acest lucru rezultă din faptul că o funcție continuă definită de compoziția funcțiilor măsurabile este măsurabilă. ^[6]

Proprietate

Este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ o măsură non-negativă pe o sigma-algebră $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de subseturi ale unui set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , și ambele în ansamblu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ aparținând $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Din definiția integralei Lebesgue rezultă că are următoarele proprietăți: ^[7]

De sine $0\leq f\leq g$ ${\ displaystyle 0 \ leq f \ leq g}$ $0 \ leq f \ leq g$ asa de: $\int _{F}f\,d\mu \leq \int _{F}g\,d\mu$ ${\ displaystyle \ int _ {F} f \, d \ mu \ leq \ int _ {F} g \, d \ mu}$ $\ int _ {F} f \, d \ mu \ leq \ int _ {F} g \, d \ mu$
De sine $A\subset B$ ${\ displaystyle A \ subset B}$ $A \ subset B$ Și $0\leq f$ ${\ displaystyle 0 \ leq f}$ $0 \ leq f$ asa de: $\int _{A}f\,d\mu \leq \int _{B}f\,d\mu$ ${\ displaystyle \ int _ {A} f \, d \ mu \ leq \ int _ {B} f \, d \ mu}$ $\ int _ {A} f \, d \ mu \ leq \ int _ {B} f \, d \ mu$
De sine $0\leq c<\infty$ ${\ displaystyle 0 \ leq c <\ infty}$ $0 \ leq c <\ infty$ Și $0\leq f$ ${\ displaystyle 0 \ leq f}$ $0 \ leq f$ asa de: $c\int _{F}f\,d\mu =\int _{F}cf\,d\mu$ ${\ displaystyle c \ int _ {F} f \, d \ mu = \ int _ {F} cf \, d \ mu}$ $c \ int _ {F} f \, d \ mu = \ int _ {F} cf \, d \ mu$
De sine $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ pentru fiecare $x\in F$ ${\ displaystyle x \ în F}$ $x \ în F$ asa de: $\int _{F}f\,d\mu =0$ ${\ displaystyle \ int _ {F} f \, d \ mu = 0}$ $\ int _ {F} f \, d \ mu = 0$
De sine $\mu (F)=0$ ${\ displaystyle \ mu (F) = 0}$ $\ mu (F) = 0$ asa de: $\int _{F}f\,d\mu =0$ ${\ displaystyle \ int _ {F} f \, d \ mu = 0}$ $\ int _ {F} f \, d \ mu = 0$
De sine $0\leq f$ ${\ displaystyle 0 \ leq f}$ $0 \ leq f$ asa de: $\int _{F}f\,d\mu =\int _{F}{\mathbf {1} }_{F}f\,d\mu$ ${\ displaystyle \ int _ {F} f \, d \ mu = \ int _ {F} {\ mathbf {1}} _ {F} f \, d \ mu}$ $\ int _ {F} f \, d \ mu = \ int _ {F} {{\ mathbf 1}} _ {{F}} f \, d \ mu$

Este $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ o funcție simplă pe platou $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Se definește:

\phi (F)=\int _{F}fd\mu \

{\ displaystyle \ phi (F) = \ int _ {F} fd \ mu \}

\ phi (F) = \ int _ {F} fd \ mu \

Dovedește că $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este o măsură în sus $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și: ^[7]

\int _{F}gd\phi =\int _{F}gfd\mu \

{\ displaystyle \ int _ {F} gd \ phi = \ int _ {F} gfd \ mu \}

\ int _ {F} gd \ phi = \ int _ {F} gfd \ mu \

pentru fiecare funcție măsurabilă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ la valori pe linia reală extinsă.

Afirmația anterioară echivalează cu a spune că:

d\phi =fd\mu \

{\ displaystyle d \ phi = fd \ mu \}

d \ phi = fd \ mu \

Integrala Lebesgue este, de asemenea, liniară . De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt funcții integrabile și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt numere reale, atunci $af+bg$ ${\ displaystyle af + bg}$ $af + bg$ este integrabil și: ^[7]

\int (af+bg)d\mu =a\!\int fd\mu +b\!\int gd\mu

{\ displaystyle \ int (af + bg) d \ mu = a \! \ int fd \ mu + b \! \ int gd \ mu}

{\ displaystyle \ int (af + bg) d \ mu = a \! \ int fd \ mu + b \! \ int gd \ mu}

Teoreme de trecere la limită sub semnul integral

Același subiect în detaliu: Trecerea la limită sub un semn integral .

Teorema convergenței monotone sau Beppo Levi's afirmă că dacă $\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ $\ {f_ {n} \}$ o succesiune de funcții care nu pot fi măsurate negativ, astfel încât:

0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \dots \leq \infty \quad \forall x\in E

{\ displaystyle 0 \ leq f_ {1} (x) \ leq f_ {2} (x) \ leq \ dots \ leq \ infty \ quad \ forall x \ in E}

0 \ leq f_ {1} (x) \ leq f_ {2} (x) \ leq \ dots \ leq \ infty \ quad \ forall x \ in E

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\to f(x)\quad \forall x\in E

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) \ to f (x) \ quad \ forall x \ in E}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} f_ {n} (x) \ to f (x) \ quad \ forall x \ in E

asa de

f

{\ displaystyle f}

f

este măsurabil și: ^[8]

\lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}d\mu =\int _{E}fd\mu

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} d \ mu = \ int _ {E} fd \ mu}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ int _ {E} f_ {n} d \ mu = \ int _ {E} fd \ mu

Se observă că valoarea oricărei integrale poate fi infinită.

Lema lui Fatou afirmă că dacă $\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ $\ {f_ {n} \}$ este o succesiune de funcții măsurabile non-negative, astfel încât:

\liminf _{n\to \infty }f_{n}\to f\quad \forall x\in E

{\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \ to f \ quad \ forall x \ in E}

\ liminf _ {{n \ to \ infty}} f_ {n} \ to f \ quad \ forall x \ in E

asa de

f

{\ displaystyle f}

f

este măsurabil și: ^[9]

\int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu}

\ int _ {E} f \, d \ mu \ leq \ liminf _ {{n \ to \ infty}} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu

De asemenea, în acest caz, valoarea fiecărei integrale poate fi infinită.

Lema lui Fatou ne permite să dovedim teorema convergenței dominată , care afirmă că dacă o succesiune de funcții măsurabile $\{f_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \}}$ $\ {f_ {n} \}$ converge aproape peste tot și este dominat de o funcție non-negativă $g\in L^{1}$ ${\ displaystyle g \ în L ^ {1}}$ $g \ în L ^ {1}$ , asa de:

\int _{E}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}

{\ displaystyle \ int _ {E} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} f_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {E} f_ {n}}

\ int _ {E} \ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} f_ {n} = \ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} \ int _ {E} f_ {n}

unde se spune că o secvență este dominată de

g

{\ displaystyle g}

g

de sine:

|f_{n}(x)|\leq g(x)

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x)}

| f_ {n} (x) | \ leq g (x)

pentru fiecare n și aproape pentru toți

X

{\ displaystyle x}

X

.

Funcționează la fel aproape peste tot

Integrala Lebesgue nu face discriminări între funcțiile care diferă numai printr-un set de zero μ-măsură. În termeni mai precise, funcțiile $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ se spun aproape peste tot egale (sau egale qo) dacă: ^[10]

\mu (\{x\in E:f(x)\neq g(x)\})=0

{\ displaystyle \ mu (\ {x \ în E: f (x) \ neq g (x) \}) = 0}

\ mu (\ {x \ în E: f (x) \ neq g (x) \}) = 0

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt funcții non-negative astfel încât $f=g$ ${\ displaystyle f = g}$ $f = g$ aproape peste tot, atunci:

\int fd\mu =\int gd\mu

{\ displaystyle \ int fd \ mu = \ int gd \ mu}

\ int fd \ mu = \ int gd \ mu

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt funcții astfel încât $f=g$ ${\ displaystyle f = g}$ $f = g$ aproape peste tot atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat dacă și numai dacă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este integrabil și integralele lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt egali.

Integrare cu privire la o măsură de produs

Același subiect în detaliu: Măsurarea produsului .

Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ Și $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)}$ $(Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)$ două spații de măsurare . Pentru fiecare funcție $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ acesta este ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}$ - măsurabil pe $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ și la fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ puteți lega funcția $f_{x}(y)=f(x,y)$ ${\ displaystyle f_ {x} (y) = f (x, y)}$ $f_ {x} (y) = f (x, y)$ definit în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , și pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ puteți lega funcția $f_{y}(x)=f(x,y)$ ${\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$ $f_ {y} (x) = f (x, y)$ . ^[11] Pentru fiecare set deschis $V\in {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle V \ in {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}}$ $V \ in {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}$ este, de asemenea, definit:

Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\}\qquad Q_{x}=\{y:f_{x}(y)\in V\}

{\ displaystyle Q = \ {(x, y): f (x, y) \ in V \} \ qquad Q_ {x} = \ {y: f_ {x} (y) \ in V \}}

Q = \ {(x, y): f (x, y) \ în V \} \ qquad Q_ {x} = \ {y: f_ {x} (y) \ în V \}

Măsura produsului este definită $\mu \times \lambda$ ${\ displaystyle \ mu \ times \ lambda}$ $\ mu \ times \ lambda$ produsul celor două măsuri $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ : ^[12]

(\mu \times \lambda )(Q)=\int _{X}\lambda (Q_{x})d\mu (x)=\int _{Y}\mu (Q_{y})d\lambda (y)

{\ displaystyle (\ mu \ times \ lambda) (Q) = \ int _ {X} \ lambda (Q_ {x}) d \ mu (x) = \ int _ {Y} \ mu (Q_ {y}) d \ lambda (y)}

(\ mu \ times \ lambda) (Q) = \ int _ {X} \ lambda (Q_ {x}) d \ mu (x) = \ int _ {Y} \ mu (Q_ {y}) d \ lambda (y)

Teorema lui Fubini stabilește, de asemenea, care sunt condițiile pentru care este posibil să se schimbe ordinea integrării. Dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este pozitiv și dacă: ^[13]

\phi (x)=\int _{Y}f_{x}d\lambda \qquad \psi (y)=\int _{X}f_{y}d\mu

{\ displaystyle \ phi (x) = \ int _ {Y} f_ {x} d \ lambda \ qquad \ psi (y) = \ int _ {X} f_ {y} d \ mu}

\ phi (x) = \ int _ {Y} f_ {x} d \ lambda \ qquad \ psi (y) = \ int _ {X} f_ {y} d \ mu

asa de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ -măsurabil e $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ Și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ -măsurabil, în plus:

\int _{X}\phi d\mu =\int _{X\times Y}fd(\mu \times \lambda )=\int _{Y}\psi d\lambda

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {X \ times Y} fd (\ mu \ times \ lambda) = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda}

\ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {{X \ times Y}} fd (\ mu \ times \ lambda) = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda

Într-un mod echivalent putem scrie:

\int _{X}d\mu (x)\int _{Y}f(x,y)d\lambda (y)=\int _{Y}d\lambda (y)\int _{X}f(x,y)d\mu (x)

{\ displaystyle \ int _ {X} d \ mu (x) \ int _ {Y} f (x, y) d \ lambda (y) = \ int _ {Y} d \ lambda (y) \ int _ { X} f (x, y) d \ mu (x)}

\ int _ {X} d \ mu (x) \ int _ {Y} f (x, y) d \ lambda (y) = \ int _ {Y} d \ lambda (y) \ int _ {X} f (x, y) d \ mu (x)

Integrala Lebesgue și Integrala Riemann

Același subiect în detaliu: integrala Riemann .

Integrala Lebesgue este o generalizare a integralei Riemann, care istoric este prima definiție riguroasă care a fost formulată a unei integrale pe un interval și pentru a arăta relația acesteia este necesar să se utilizeze clasa funcțiilor continue cu suport compact , pentru precum integrala Riemann există întotdeauna. Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții continue cu suport compact activat $\mathbb {R} ^{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ . Distanța lor poate fi definită după cum urmează: ^[14]

d(f,g)=\int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)-g(t)|dt

{\ displaystyle d (f, g) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (t) -g (t) | dt}

d (f, g) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} | f (t) -g (t) | dt

Echipat cu funcția de distanță, spațiul funcțiilor continue cu suport compact este un spațiu metric . Completarea acestui spațiu metric este ansamblul funcțiilor integrabile conform lui Lebesgue. ^[15] ^[16] În literatura de specialitate există și alți operatori de integrare, totuși aceștia se bucură de o difuzie mai mică decât cei de la Riemann și Lebesgue.

Interpretare intuitivă

Integrala Riemann (albastră) și Integrala Lebesgue (roșie)

Pentru a arăta intuitiv diferența dintre abordările Riemann-Darboux și Lebesgue, este posibil să se vizualizeze calculul integralei ca suma ariilor seturilor elementare. Abordarea Riemann-Darboux împarte graficul unei funcții în secțiuni verticale și calculează aria fiecărei secțiuni înmulțind valoarea funcției cu lățimea $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ a secțiunii în sine. Valoarea integralei este deci dată de suma tuturor zonelor secțiunilor verticale în limita în care numărul lor este infinit.

Abordarea lui Lebesgue, pe de altă parte, prevede subdivizarea graficului în secțiuni orizontale, numite și linii de contur , și fiecare dintre ele este asociată cu o funcție indicator. Suma tuturor zonelor poate fi îmbunătățită prin adăugarea contururilor intermediare, reducerea la jumătate a diferenței dintre înălțimile secțiunilor succesive și apoi recalcularea sumei. Integrala Lebesgue este limita acestui proces.

O modalitate echivalentă cu cea de mai sus pentru a exprima integralul Lebesgue este obținută prin definirea:

\int f\ d\mu :=\int _{0}^{+\infty }\mu \left(f^{-1}{\big (}[t,+\infty ){\big )}\right)\ dt

{\ displaystyle \ int f \ d \ mu: = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mu \ left (f ^ {- 1} {\ big (} [t, + \ infty) {\ big )} \ dreapta) \ dt}

\ int f \ d \ mu: = \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} \ mu \ left (f ^ {{- 1}} {\ big (} [t, + \ infty) {\ mare)} \ dreapta) \ dt

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este pozitivă, iar integrala din dreapta este integrala Riemann.

Limitări ale integralei Riemann

Odată cu apariția seriei Fourier , s-au întâlnit istoric multe probleme analitice care implică integrale, a căror soluție satisfăcătoare presupunea schimbul unor sume infinite de funcții și semne de integral. Cu toate acestea, condițiile în care integralele:

\sum _{k}\int f_{k}(x)dx\qquad \int {\bigg [}\sum _{k}f_{k}(x){\bigg ]}dx

{\ displaystyle \ sum _ {k} \ int f_ {k} (x) dx \ qquad \ int {\ bigg [} \ sum _ {k} f_ {k} (x) {\ bigg]} dx}

\ sum _ {k} \ int f_ {k} (x) dx \ qquad \ int {\ bigg [} \ sum _ {k} f_ {k} (x) {\ bigg]} dx

sunt egali s-au dovedit a fi destul de evazivi în structura Riemann, deoarece există dificultăți legate de trecerea la limită sub semnul integral.

Convergență monotonă

Deoarece funcția indicator $1_{\mathbb {Q} }$ ${\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}$ $1 _ {{\ mathbb {Q}}}$ pe raționale nu este integrabil Riemann, teorema convergenței monotone nu se menține. Într-adevăr, fie el $\{a_{k}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {k} \}}$ $\ {a_ {k} \}$ o enumerare a tuturor numerelor raționale din $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ și ambele:

g_{k}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{se }}x=a_{k}\\0&{\text{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle g_ {k} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ text {se}} x = a_ {k} \\ 0 & {\ text {else}} \ end { matrice}} \ dreapta.}

g_ {k} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ text {se}} x = a_ {k} \\ 0 & {\ text {else}} \ end {matrix}} \ dreapta.

Să fie și:

f_{k}=g_{1}+g_{2}+\ldots +g_{k}\quad

{\ displaystyle f_ {k} = g_ {1} + g_ {2} + \ ldots + g_ {k} \ quad}

f_ {k} = g_ {1} + g_ {2} + \ ldots + g_ {k} \ quad

Functia $f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {k}}$ $f_ {k}$ este zero peste tot, cu excepția unui număr finit de puncte și, prin urmare, integrala sa Riemann este zero. Succesiunea $f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {k}}$ $f_ {k}$ este, de asemenea, în mod clar negativ și crește monoton spre $1_{\mathbb {Q} }$ ${\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}$ $1 _ {{\ mathbb {Q}}}$ , ceea ce nu este integrabil conform lui Riemann.

Functia $1_{\mathbb {Q} }$ ${\ displaystyle 1 _ {\ mathbb {Q}}}$ $1 _ {{\ mathbb {Q}}}$ este în schimb Lebesgue-integrabil pe $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , fiind funcția indicator a raționalelor. Deci, prin definiție:

\int _{[0,1]}1_{\mathbb {Q} }\,d\mu =\mu {\big (}\mathbb {Q} \cap [0,1]{\big )}=0

{\ displaystyle \ int _ {[0,1]} 1 _ {\ mathbb {Q}} \, d \ mu = \ mu {\ big (} \ mathbb {Q} \ cap [0,1] {\ big )} = 0}

\ int _ {{[0,1]}} 1 _ {{\ mathbb {Q}}} \, d \ mu = \ mu {\ big (} {\ mathbb {Q}} \ cap [0,1] {\ big)} = 0

atâta timp cât $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ este numărabil.

Intervalele nelimitate

Integrala Riemann poate fi aplicată numai funcțiilor definite pe un interval limitat. Cea mai simplă extensie este de a defini:

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{+a}f(x)dx

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = \ lim _ {a \ rightarrow \ infty} \ int _ {- a} ^ {+ a} f (x) dx }

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} f (x) dx = \ lim _ {{a \ rightarrow \ infty}} \ int _ {{- a}} ^ {{+ a }} f (x) dx

ori de câte ori există limita. Cu toate acestea, acest lucru încalcă proprietatea invarianței pentru traduceri: dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt zero în afara unui anumit interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și sunt Riemann-integrabile și dacă $f(x)=g(x+y)$ ${\ displaystyle f (x) = g (x + y)}$ $f (x) = g (x + y)$ pentru unii $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , apoi integralul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este egal cu integralul lui $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Cu această definiție a unei integrale necorespunzătoare , numită adesea valoarea principală necorespunzătoare a lui Cauchy pe zero, funcțiile $f(x)=(1\ {\mbox{se}}\ x>0,\ -1\ {\mbox{altrimenti}})$ ${\ displaystyle f (x) = (1 \ {\ mbox {if}} \ x> 0, \ -1 \ {\ mbox {altfel}})}$ $f (x) = (1 \ {\ mbox {if}} \ x> 0, \ -1 \ {\ mbox {altfel}})$ Și $g(x)=(1\ {\mbox{se}}\ x>1,\ -1\ {\mbox{altrimenti}})$ ${\ displaystyle g (x) = (1 \ {\ mbox {if}} \ x> 1, \ -1 \ {\ mbox {altfel}})}$ $g (x) = (1 \ {\ mbox {if}} \ x> 1, \ -1 \ {\ mbox {altfel}})$ sunt traduceri reciproce, dar integralele lor necorespunzătoare sunt diferite:

\int f(x)dx=0\qquad \int g(x)dx=-2

{\ displaystyle \ int f (x) dx = 0 \ qquad \ int g (x) dx = -2}

\ int f (x) dx = 0 \ qquad \ int g (x) dx = -2

Definiția axiomatică a probabilității

O axiomă de o importanță considerabilă în teoria probabilității afirmă că o uniune numărabilă a evenimentelor trebuie să fie un eveniment. Dacă încercați să definiți probabilitatea unui subset $\ E$ ${\ displaystyle \ E}$ $\ ȘI$ interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ ca integrală Riemann a funcției caracteristice a mulțimii $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ :

f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se }}x\in E\\0&{\mbox{se }}x\notin E\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} x \ in E \\ 0 & {\ mbox {se}} x \ notin E \ end {matrix }} \ dreapta.}

f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} x \ in E \\ 0 & {\ mbox {se}} x \ notin E \ end {matrix}} \ dreapta.

avem că fiecare număr rațional între 0 și 1 are probabilitate zero, dar unirea lor nu este un eveniment, deoarece nu este un set integrabil conform lui Riemann și, prin urmare, nu este posibil să i se atribuie o probabilitate. Cu integrala Lebesgue această problemă nu apare și este posibil să se dea o noțiune axiomatică perfectă a probabilității.

Notă

^ W. Rudin , Pagina 8 .
^ ^a ^b W. Rudin , Pagina 15 .
^ W. Rudin , pagina 19 .
^ W. Rudin , pagina 34 .
^ W. Rudin , Pagina 24 .
^ W. Rudin , Pagina 11 .
^ ^a ^b ^c W. Rudin , P. 20 .
^ W. Rudin , Pagina 21 .
^ W. Rudin , pagina 22 .
^ W. Rudin , Pagina 27 .
^ W. Rudin , pagina 138 .
^ W. Rudin , pagina 140 .
^ W. Rudin , pagina 141 .
^ W. Rudin , pagina 68 .
^ În acest context, două funcții egale aproape peste tot coincid.
^ W. Rudin , pagina 69 .

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lessons in Mathematical Analysis Due , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 , capitolul 9.
( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) RM Dudley, Real Analysis and Probability , Wadsworth & Brookes / Cole, 1989.
(EN) PR Halmos, The Measure Theory, D. Van Nostrand Company, Inc. în 1950.
( EN ) LH Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis , D. van Nostrand Company, Inc. 1953.
( FR ) H. Lebesgue, Oeuvres Scientifiques , L'Enseignement Mathématique, 1972.
(EN) ME Munroe, Introducere în măsură și integrare, Addison Wesley, 1953.
( EN ) EH Lieb, M. Loss, Analysis , AMS, 2001.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe integralul lui Lebesgue

linkuri externe

( EN ) IA Vinogradova, integral Lebesgue , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(IT) Kevin R. Payne, Măsurare și integrare , Analiza matematică Note de curs 4, 2014

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 26460 · LCCN ( EN ) sh94008345 · BNF ( FR ) cb125110551 (data) · NDL ( EN , JA ) 00567363

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] W. Rudin , Pagina 8 .

[def-2] W. Rudin , Pagina 15 .

[int-3] W. Rudin , pagina 19 .

[4] W. Rudin , pagina 34 .

[5] W. Rudin , Pagina 24 .

[6] W. Rudin , Pagina 11 .

[prop-7] W. Rudin , P. 20 .

[8] W. Rudin , Pagina 21 .

[9] W. Rudin , pagina 22 .

[10] W. Rudin , Pagina 27 .

[11] W. Rudin , pagina 138 .

[12] W. Rudin , pagina 140 .

[13] W. Rudin , pagina 141 .

[14] W. Rudin , pagina 68 .

[15] În acest context, două funcții egale aproape peste tot coincid.

[16] W. Rudin , pagina 69 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy