Măsurarea produsului

În matematică, o măsură de produs este o măsură definită pe sigma-algebra produs a două spații de măsură .

Definiție

Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ Și $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)}$ $(Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)$ două spații de măsurare . La fiecare funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ și la fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ puteți asocia o funcție $f_{x}$ ${\ displaystyle f_ {x}}$ $f_ {x}$ definit în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ În felul următor:

f_{x}(y)=f(x,y)\

{\ displaystyle f_ {x} (y) = f (x, y) \}

f_ {x} (y) = f (x, y) \

În mod similar, este definit pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ functia $f_{y}$ ${\ displaystyle f_ {y}}$ $f_ {y}$ astfel încât:

f_{y}(x)=f(x,y)\

{\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y) \}

f_ {y} (x) = f (x, y) \

Ambele funcții sunt respectiv ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ -măsurabil e ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ -măsurabil. ^[1]

Pentru fiecare set deschis $V\in {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle V \ in {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}}$ $V \ in {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}$ este, de asemenea, definit:

Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\}\qquad Q_{x}=\{y:f_{x}(y)\in V\}

{\ displaystyle Q = \ {(x, y): f (x, y) \ in V \} \ qquad Q_ {x} = \ {y: f_ {x} (y) \ in V \}}

Q = \ {(x, y): f (x, y) \ în V \} \ qquad Q_ {x} = \ {y: f_ {x} (y) \ în V \}

Se arată că dacă:

\phi (x)=\lambda (Q_{x})\qquad \psi (y)=\mu (Q_{y})\qquad \forall x\in X\quad \forall y\in Y

{\ displaystyle \ phi (x) = \ lambda (Q_ {x}) \ qquad \ psi (y) = \ mu (Q_ {y}) \ qquad \ forall x \ in X \ quad \ forall y \ in Y}

\ phi (x) = \ lambda (Q_ {x}) \ qquad \ psi (y) = \ mu (Q_ {y}) \ qquad \ forall x \ in X \ quad \ forall y \ in Y

asa de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ -măsurabil e $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ Și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ -măsurabil și avem: ^[2]

\int _{X}\phi d\mu =\int _{Y}\psi d\lambda \

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda \}

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda \}

Măsura este definită $\mu \times \lambda$ ${\ displaystyle \ mu \ times \ lambda}$ $\ mu \ times \ lambda$ produs al celor două măsuri $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ integral: ^[3]

(\mu \times \lambda )(Q)=\int _{X}\lambda (Q_{x})d\mu (x)=\int _{Y}\mu (Q_{y})d\lambda (y)

{\ displaystyle (\ mu \ times \ lambda) (Q) = \ int _ {X} \ lambda (Q_ {x}) d \ mu (x) = \ int _ {Y} \ mu (Q_ {y}) d \ lambda (y)}

(\ mu \ times \ lambda) (Q) = \ int _ {X} \ lambda (Q_ {x}) d \ mu (x) = \ int _ {Y} \ mu (Q_ {y}) d \ lambda (y)

Această măsură este definită pe spațiu $(X\times Y,{\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X \ times Y, {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}})}$ ${\ displaystyle (X \ times Y, {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}})}$ și este singura pentru care deține următoarea proprietate:

(\mu \times \lambda )(B_{1}\times B_{2})=\mu (B_{1})\lambda (B_{2})\qquad \forall B_{1}\in {\mathfrak {F}},\ B_{2}\in {\mathfrak {G}}

{\ displaystyle (\ mu \ times \ lambda) (B_ {1} \ times B_ {2}) = \ mu (B_ {1}) \ lambda (B_ {2}) \ qquad \ forall B_ {1} \ in {\ mathfrak {F}}, \ B_ {2} \ în {\ mathfrak {G}}}

{\ displaystyle (\ mu \ times \ lambda) (B_ {1} \ times B_ {2}) = \ mu (B_ {1}) \ lambda (B_ {2}) \ qquad \ forall B_ {1} \ in {\ mathfrak {F}}, \ B_ {2} \ în {\ mathfrak {G}}}

Existența acestei măsuri este garantată de teorema Hahn-Kolmogorov , în timp ce unicitatea este furnizată numai dacă este $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ acea $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)}$ $(Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)$ sunt σ-finite.

Măsura lui Borel a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ poate fi obținut ca produs de n copii ale măsurii lui Borel pe linia reală $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Construcția opusă celei a măsurii produsului este dezintegrarea , care, în unele cazuri, „împarte” o măsură dată într-o familie de măsuri care pot fi integrate pentru a furniza măsura inițială.

Teorema lui Fubini

Același subiect în detaliu: teorema lui Fubini .

Teorema lui Fubini stabilește care sunt condițiile pentru care este posibil să se schimbe ordinea de integrare cu funcții măsurabile pe ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}$ . Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ Și $(Y,{\mathfrak {G}},\lambda )$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)}$ $(Y, {\ mathfrak {G}}, \ lambda)$ două spații de măsurare . La fiecare funcție $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ acesta este ${\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {G}} \ times {\ mathfrak {F}}$ - măsurabil pe $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ și la fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ puteți asocia o funcție $f_{x}$ ${\ displaystyle f_ {x}}$ $f_ {x}$ definit în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ În felul următor:

f_{x}(y)=f(x,y)\

{\ displaystyle f_ {x} (y) = f (x, y) \}

f_ {x} (y) = f (x, y) \

În mod similar, este definit pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ functia $f_{y}$ ${\ displaystyle f_ {y}}$ $f_ {y}$ astfel încât:

f_{y}(x)=f(x,y)\

{\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y) \}

f_ {y} (x) = f (x, y) \

Dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este pozitiv și dacă: ^[4]

\phi (x)=\int _{Y}f_{x}d\lambda \qquad \psi (y)=\int _{X}f_{y}d\mu

{\ displaystyle \ phi (x) = \ int _ {Y} f_ {x} d \ lambda \ qquad \ psi (y) = \ int _ {X} f_ {y} d \ mu}

\ phi (x) = \ int _ {Y} f_ {x} d \ lambda \ qquad \ psi (y) = \ int _ {X} f_ {y} d \ mu

asa de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ -măsurabil e $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ Și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ -măsurabil, în plus:

\int _{X}\phi d\mu =\int _{X\times Y}fd(\mu \times \lambda )=\int _{Y}\psi d\lambda

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {X \ times Y} fd (\ mu \ times \ lambda) = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda}

\ int _ {X} \ phi d \ mu = \ int _ {{X \ times Y}} fd (\ mu \ times \ lambda) = \ int _ {Y} \ psi d \ lambda

Într-un mod echivalent putem scrie:

\int _{X}d\mu (x)\int _{Y}f(x,y)d\lambda (y)=\int _{Y}d\lambda (y)\int _{X}f(x,y)d\mu (x)\

{\ displaystyle \ int _ {X} d \ mu (x) \ int _ {Y} f (x, y) d \ lambda (y) = \ int _ {Y} d \ lambda (y) \ int _ { X} f (x, y) d \ mu (x) \}

\ int _ {X} d \ mu (x) \ int _ {Y} f (x, y) d \ lambda (y) = \ int _ {Y} d \ lambda (y) \ int _ {X} f (x, y) d \ mu (x) \

Notă

^ W. Rudin , pagina 138 .
^ W. Rudin , pagina 139 .
^ W. Rudin , pagina 140 .
^ W. Rudin , pagina 141 .

Bibliografie

Walter Rudin , Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Michel Loève , 8.2. Măsuri de produs și integrale iterate , în Teoria probabilității vol. I , 4th, Springer, 1977, pp. 135–137, ISBN 0-387-90210-4 .
Paul Halmos , 35. Măsuri de produs , în Măsura teoriei , Springer, 1974, pp. 143-145, ISBN 0-387-90088-8 .
( EN ) măsurarea produsului , în PlanetMath .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 138 .

[2] W. Rudin , pagina 139 .

[3] W. Rudin , pagina 140 .

[4] W. Rudin , pagina 141 .

[1]

[2]

[3]

[4]