Teorema dezintegrării

În matematică , în special în domeniul teoriei măsurilor și teoriei probabilităților , teorema dezintegrării definește riguros ideea unei restricții non-banale a măsurii la un subset de măsură zero a spațiului de măsură care este utilizat.

„Dezintegrarea” poate fi văzută ca procedura inversă la construcția măsurii produsului .

Afirmație

Este $P(X)$ ${\ displaystyle P (X)}$ $P (X)$ o colecție de măsuri de probabilitate Borel pe un spațiu metric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ . De asemenea, sunt $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ două spații Radon (adică spații metrice separabile pe care fiecare măsură de probabilitate este o măsură Radon). Luând în considerare una dintre măsurile de probabilitate $\mu \in P(Y)$ ${\ displaystyle \ mu \ în P (Y)}$ ${\ displaystyle \ mu \ în P (Y)}$ , este $\pi :Y\to X$ ${\ displaystyle \ pi: Y \ to X}$ ${\ displaystyle \ pi: Y \ to X}$ o funcție măsurabilă față de sigma-algebra lui Borel e $\nu \in P(X)$ ${\ displaystyle \ nu \ în P (X)}$ ${\ displaystyle \ nu \ în P (X)}$ măsurare push-forward $\nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}$ ${\ displaystyle \ nu = \ pi _ {*} (\ mu) = \ mu \ circ \ pi ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ nu = \ pi _ {*} (\ mu) = \ mu \ circ \ pi ^ {- 1}}$ .

Apoi, există o familie de măsuri de probabilitate aproape peste tot $\{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq P(Y)$ ${\ displaystyle \ {\ mu _ {x} \} _ {x \ în X} \ subseteq P (Y)}$ ${\ displaystyle \ {\ mu _ {x} \} _ {x \ în X} \ subseteq P (Y)}$ astfel încât:

cartografiere $x\mapsto \mu _{x}(B)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ mu _ {x} (B)}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ mu _ {x} (B)}$ este o funcție măsurabilă față de sigma-algebra lui Borel pentru orice set $B\subseteq Y$ ${\ displaystyle B \ subseteq Y}$ ${\ displaystyle B \ subseteq Y}$ măsurabilă în raport cu măsura Borel relativă;
$\mu _{x}$ ${\ displaystyle \ mu _ {x}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {x}}$ presupune valori diferite de zero pe fibră $\pi ^{-1}(x)$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (x)}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (x)}$ , adică pentru aproape toată lumea (comparativ cu $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ ) $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ avem:

\mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0

{\ displaystyle \ mu _ {x} \ left (Y \ setminus \ pi ^ {- 1} (x) \ right) = 0}

{\ displaystyle \ mu _ {x} \ left (Y \ setminus \ pi ^ {- 1} (x) \ right) = 0}

Așadar:

\mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))

{\ displaystyle \ mu _ {x} (E) = \ mu _ {x} (E \ cap \ pi ^ {- 1} (x))}

{\ displaystyle \ mu _ {x} (E) = \ mu _ {x} (E \ cap \ pi ^ {- 1} (x))}

pentru fiecare funcție măsurabilă Borel $f:Y\to [0,\infty ]$ ${\ displaystyle f: Y \ to [0, \ infty]}$ ${\ displaystyle f: Y \ to [0, \ infty]}$ avem:

\int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\mathrm {d} \nu (x)

{\ displaystyle \ int _ {Y} f (y) \, \ mathrm {d} \ mu (y) = \ int _ {X} \ int _ {\ pi ^ {- 1} (x)} f (y ) \, \ mathrm {d} \ mu _ {x} (y) \ mathrm {d} \ nu (x)}

{\ displaystyle \ int _ {Y} f (y) \, \ mathrm {d} \ mu (y) = \ int _ {X} \ int _ {\ pi ^ {- 1} (x)} f (y ) \, \ mathrm {d} \ mu _ {x} (y) \ mathrm {d} \ nu (x)}

În special, pentru fiecare eveniment

E\subseteq Y

{\ displaystyle E \ subseteq Y}

{\ displaystyle E \ subseteq Y}

, asumand

f

{\ displaystyle f}

f

este funcția indicator a

ȘI

{\ displaystyle E}

ȘI

avem:

\mu (E)=\int _{X}\mu _{x}\left(E\right)\,\mathrm {d} \nu (x)

{\ displaystyle \ mu (E) = \ int _ {X} \ mu _ {x} \ left (E \ right) \, \ mathrm {d} \ nu (x)}

{\ displaystyle \ mu (E) = \ int _ {X} \ mu _ {x} \ left (E \ right) \, \ mathrm {d} \ nu (x)}

Bibliografie

( EN ) Dellacherie, C. & Meyer, P.-A., Probabilități și potențial , North-Holland Mathematics Studies, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1978.
( EN ) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2005, ISBN 3-7643-2428-7 .
( EN ) JT Chang și Pollard, D., Conditioning as disintegration ( PDF ), în Statistics Neerlandica , vol. 51, nr. 3, 1997, p. 287, DOI : 10.1111 / 1467-9574.00056 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) L. Schwartz - Prelegeri despre dezintegrarea măsurilor ( PDF ), su math.tifr.res.in.
(EN) Ben Hayes - Dezintegrarea măsurilor (PDF) pe math.ucla.edu. Adus la 4 iunie 2014 (arhivat din original la 7 iunie 2014) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică