Funcția indicator

Funcția indicator a unui set bidimensional

În matematică , în domeniul teoriei mulțimilor , dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subset al setului $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , funcția indicator sau funcția caracteristică a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este acea funcție din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la întreg $\{0,1\}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$ $\ {0,1 \}$ decât pe element $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ merita $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparține lui $LA,$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle A,}$ și contează $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ dacă nu.

Definiție

Funcția indicator a unui subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o funcție

\mathbf {1} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}: X \ to \ lbrace 0,1 \ rbrace}

{\ mathbf {1}} _ {A}: X \ to \ lbrace 0,1 \ rbrace

definit ca

\mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} \ x \ în A \\ 0 & {\ mbox {se} } \ x \ notin A \ end {matrix}} \ right.}

{\ mathbf {1}} _ {A} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} \ x \ în A \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x \ notin A \ end {matrix}} \ right.

Funcția indicator a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este indicat uneori cu $\chi _{A}(x)$ ${\ displaystyle \ chi _ {A} (x)}$ ${\ displaystyle \ chi _ {A} (x)}$ sau $I_{A}(x).$ ${\ displaystyle I_ {A} (x).}$ ${\ displaystyle I_ {A} (x).}$

Proprietăți fundamentale

Funcția care leagă un subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la funcția sa de indicator $\mathbf {1} _{A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$ este injectiv ; gama sa este ansamblul de funcții $\mathbf {f} \colon X\to \{0,1\}.$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ colon X \ to \ {0,1 \}.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ colon X \ to \ {0,1 \}.}$

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt două subseturi de $X,$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X,}$ asa de

\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}\qquad {\mbox{e}}\qquad \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}.

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A \ cap B} = \ min \ {\ mathbf {1} _ {A}, \ mathbf {1} _ {B} \} = \ mathbf {1} _ {A } \ mathbf {1} _ {B} \ qquad {\ mbox {e}} \ qquad \ mathbf {1} _ {A \ cup B} = \ max \ {{\ mathbf {1} _ {A}, \ mathbf {1} _ {B}} \} = \ mathbf {1} _ {A} + \ mathbf {1} _ {B} - \ mathbf {1} _ {A} \ mathbf {1} _ {B} .}

{\ mathbf {1}} _ {{A \ cap B}} = \ min \ {{\ mathbf {1}} _ {A}, {\ mathbf {1}} _ {B} \} = {\ mathbf {1}} _ {A} {\ mathbf {1}} _ {B} \ qquad {\ mbox {e}} \ qquad {\ mathbf {1}} _ {{A \ cup B}} = \ max \ {{{\ mathbf {1}} _ {A}, {\ mathbf {1}} _ {B}} \} = {\ mathbf {1}} _ {A} + {\ mathbf {1}} _ { B} - {\ mathbf {1}} _ {A} {\ mathbf {1}} _ {B}.

Mai general, să presupunem că $A_{1},\ldots ,A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n}}$ $A_ {1}, \ ldots, A_ {n}$ este o colecție de subseturi de $X .$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle X.}$ Pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ aveți acel produs

\prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))

{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}} (x))}

{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}} (x))}

este în mod clar un produs al $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ Și $1.$ ${\ displaystyle 1.}$ ${\ displaystyle 1.}$ Acest produs are valoarea $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ chiar în corespondența dintre $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ care nu aparțin niciunui set $A_{k}$ ${\ displaystyle A_ {k}}$ $A_ {k}$ si este $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ altundeva. Acesta este

\prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.

{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}}) = \ mathbf {1} _ {X- \ bigcup _ {k} A_ {k }} = 1- \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}}.}

{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}}) = \ mathbf {1} _ {X- \ bigcup _ {k} A_ {k }} = 1- \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}}.}

Dezvoltând produsul în stânga și în dreapta,

\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1- \ sum _ {F \ subseteq \ {1,2, \ ldots, n \}} (- 1) ^ { | F |} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}} = \ sum _ {\ varnothing \ neq F \ subseteq \ {1,2, \ ldots, n \}} (- 1 ) ^ {| F | +1} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}}}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1- \ sum _ {F \ subseteq \ {1,2, \ ldots, n \}} (- 1) ^ { | F |} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}} = \ sum _ {\ varnothing \ neq F \ subseteq \ {1,2, \ ldots, n \}} (- 1 ) ^ {| F | +1} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}}}

Unde este $|F|$ ${\ displaystyle | F |}$ ${\ displaystyle | F |}$ este cardinalitatea lui $F. .$ ${\ displaystyle F.}$ ${\ displaystyle F.}$ Aceasta este una dintre formele principiului incluziunii-excluderii .

După cum sugerează exemplul anterior, funcția indicator este un instrument util în combinatorică . Notația este utilizată în alte cazuri, de exemplu în teoria probabilității : dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu de probabilitate cu măsură de probabilitate $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atunci este un întreg măsurabil $\mathbf {1} _{A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$ devine o variabilă aleatorie a cărei medie este egală cu probabilitatea de $LA :$ ${\ displaystyle A:}$ ${\ displaystyle A:}$

E(\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A).

{\ displaystyle E (\ mathbf {1} _ {A}) = \ int _ {X} \ mathbf {1} _ {A} (x) \, dP = \ int _ {A} dP = P (A) .}

{\ displaystyle E (\ mathbf {1} _ {A}) = \ int _ {X} \ mathbf {1} _ {A} (x) \, dP = \ int _ {A} dP = P (A) .}

Această identitate este utilizată într-o simplă dovadă a inegalității Markov .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este ansamblul tuturor numerelor pozitive ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ inclusiv zero dacă este inclus atunci poate fi scris

\mathbf {1} _{A}(x)=\mathbf {1} _{X^{+}}(x)=\mathrm {sgn} \left(\mathrm {sgn} (x)+1\right).

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x) = \ mathbf {1} _ {X ^ {+}} (x) = \ mathrm {sgn} \ left (\ mathrm {sgn} (x) + 1 \ dreapta).}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x) = \ mathbf {1} _ {X ^ {+}} (x) = \ mathrm {sgn} \ left (\ mathrm {sgn} (x) + 1 \ dreapta).}

Analiza convexă

În analiza convexă , o ramură a analizei matematice care studiază funcțiile și seturile convexe , adesea cu aplicații la teoria optimizării , se utilizează o altă definiție a unei funcții indicator, care este mai utilă pentru instrumentele disciplinei: o funcție indicator este reprezentată aici de A $\chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ${\ displaystyle \ chi _ {A}: X \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ $\ chi _ {A}: X \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}$ astfel încât

\chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}

{\ displaystyle \ chi _ {A} (x): = {\ begin {cases} 0, & x \ în A; \\ + \ infty, & x \ not \ în A. \ end {cases}}}

\ chi _ {{A}} (x): = {\ begin {cases} 0, & x \ în A; \\ + \ infty, & x \ not \ în A. \ end {cases}}

În ceea ce privește funcția indicator definită mai sus, aceasta are această relație:

\mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x) = {\ frac {1} {1+ \ chi _ {A} (x)}}}

{\ mathbf {1}} _ {{A}} (x) = {\ frac {1} {1+ \ chi _ {{A}} (x)}}

Și

\chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right)

{\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = (+ \ infty) \ left (1- \ mathbf {1} _ {A} (x) \ right)}

\ chi _ {{A}} (x) = (+ \ infty) \ left (1 - {\ mathbf {1}} _ {{A}} (x) \ right)

relații valabile prin convenție ${1 \over 0}=+\infty$ ${\ displaystyle {1 \ over 0} = + \ infty}$ ${1 \ peste 0} = + \ infty$ Și ${1 \over +\infty }=0$ ${\ displaystyle {1 \ over + \ infty} = 0}$ ${1 \ over + \ infty} = 0$ .

Elemente conexe

Paranteza lui Iverson

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică