Funcția caracteristică (teoria probabilității)

În teoria probabilității , funcția caracteristică a unei distribuții de probabilitate generice definită pe linia reală , un concept sistematizat în principal de Lukacs , este în mod generic orice funcție de tip:

\phi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\,e^{itx}\,dx.

{\ displaystyle \ phi _ {X} (t) = \ operatorname {E} \ left (e ^ {itX} \ right) = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {itx} \, dF_ {X } (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f_ {X} (x) \, e ^ {itx} \, dx.}

{\ displaystyle \ phi _ {X} (t) = \ operatorname {E} \ left (e ^ {itX} \ right) = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {itx} \, dF_ {X } (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f_ {X} (x) \, e ^ {itx} \, dx.}

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este orice variabilă aleatorie cu distribuția în cauză, $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este un număr real , E este valoarea așteptată și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este funcția de distribuție cumulativă . A doua definiție este o integrală Riemann-Stieltjes și este valabilă indiferent de existența funcției densității probabilității , în timp ce ultima este valabilă dacă densitatea există.

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o variabilă vectorială aleatorie, argumentul poate fi luat în considerare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ca vector e $t X$ ${\ displaystyle tX}$ ${\ displaystyle tX}$ ca produs dot .

Descriere

Există o funcție caracteristică pentru fiecare variabilă aleatorie. Mai mult, există o bijecție între funcțiile de distribuție cumulative și funcțiile caracteristice. Cu alte cuvinte, două distribuții de probabilitate nu au niciodată aceeași funcție caracteristică, dacă nu coincid.

Având o funcție caracteristică $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , este posibilă reconstituirea funcției de distribuție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ :

F_{X}(y)-F_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-itx}-e^{-ity}}{it}}\,\phi _{X}(t)\,dt.

{\ displaystyle F_ {X} (y) -F_ {X} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- itx} -e ^ {- ity}} {it}} \, \ phi _ {X} (t) \, dt.}

{\ displaystyle F_ {X} (y) -F_ {X} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- itx} -e ^ {- ity}} {it}} \, \ phi _ {X} (t) \, dt.}

În general, aceasta este o integrală necorespunzătoare ; funcția integrand poate fi, de asemenea, integrabilă condițional, mai degrabă decât integrabilă Lebesgue , adică integralul valorii sale absolute poate fi infinit.

De asemenea, este posibil să accesați, dacă există, funcția densității probabilității, acționând după cum urmează

{\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi }}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-it(x-\xi )}-e^{-it(x+\xi )}}{2it\xi }}\,\phi _{X}(t)\,dt\,={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{it\xi }-e^{-it\xi }}{2it\xi }}\,e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt\,

{\ displaystyle {\ frac {F_ {X} (x + \ xi) -F_ {X} (x- \ xi)} {2 \ xi}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- it (x- \ xi)} - e ^ {- it (x + \ xi)}} {2it \ xi}} \, \ phi _ {X} (t) \, dt \, = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {it \ xi} -e ^ {- it \ xi}} {2it \ xi}} \, e ^ {- itx} \ phi _ {X} (t) \, dt \,}

{\ displaystyle {\ frac {F_ {X} (x + \ xi) -F_ {X} (x- \ xi)} {2 \ xi}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {- it (x- \ xi)} - e ^ {- it (x + \ xi)}} {2it \ xi}} \, \ phi _ {X} (t) \, dt \, = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {e ^ {it \ xi} -e ^ {- it \ xi}} {2it \ xi}} \, e ^ {- itx} \ phi _ {X} (t) \, dt \,}

Astfel apare definiția sinusului în interiorul integralului

{\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi }}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {sin(t\xi )}{t\xi }}\,e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt\,

{\ displaystyle {\ frac {F_ {X} (x + \ xi) -F_ {X} (x- \ xi)} {2 \ xi}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {sin (t \ xi)} {t \ xi}} \, e ^ {- itx} \ phi _ {X} (t) \, dt \ ,}

{\ displaystyle {\ frac {F_ {X} (x + \ xi) -F_ {X} (x- \ xi)} {2 \ xi}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {sin (t \ xi)} {t \ xi}} \, e ^ {- itx} \ phi _ {X} (t) \, dt \ ,}

A face limita $\xi \rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ xi \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle \ xi \ rightarrow 0}$ noi obținem

\lim _{\xi \rightarrow 0}{\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi }}=f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt\,

{\ displaystyle \ lim _ {\ xi \ rightarrow 0} {\ frac {F_ {X} (x + \ xi) -F_ {X} (x- \ xi)} {2 \ xi}} = f_ {X} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- itx} \ phi _ {X} (t) \, dt \, }

{\ displaystyle \ lim _ {\ xi \ rightarrow 0} {\ frac {F_ {X} (x + \ xi) -F_ {X} (x- \ xi)} {2 \ xi}} = f_ {X} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- itx} \ phi _ {X} (t) \, dt \, }

Funcțiile caracteristice sunt utilizate în cea mai comună dovadă a teoremei limitei centrale .

Funcțiile caracteristice pot fi folosite și pentru a găsi momentele unei variabile aleatorii. A oferit momentul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a există, funcția caracteristică poate fi derivată $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori și

\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=(-i)^{n}\,\phi _{X}^{(n)}(0)=(-i)^{n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}(t)\right]_{t=0}.

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (X ^ {n} \ right) = (- i) ^ {n} \, \ phi _ {X} ^ {(n)} (0) = (- i) ^ {n} \, \ left [{\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} \ phi _ {X} (t) \ right] _ {t = 0}.}

\ operatorname {E} \ left (X ^ {n} \ right) = (- i) ^ {n} \, \ phi _ {X} ^ {{(n)}} (0) = (- i) ^ {n} \, \ left [{\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} \ phi _ {X} (t) \ right] _ {{t = 0}}.

Noțiunile conexe includ funcția de generare a momentului și funcția de generare a probabilității .

Funcția caracteristică este strâns legată de transformata Fourier : Funcția caracteristică a unei distribuții cu funcție de densitate $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este proporțională cu transformata Fourier inversă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Funcțiile caracteristice sunt deosebit de utile în tratarea funcțiilor variabilelor aleatoare independente . De exemplu, dacă $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}}$ este o succesiune de variabile aleatoare independente și

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},

{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X_ {i},}

S_ {n} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} X_ {i},

unde $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ sunt constante, atunci funcția caracteristică pentru $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ este dat de

\phi _{S_{n}}(t)=\prod _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(a_{i}t)

{\ displaystyle \ phi _ {S_ {n}} (t) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ phi _ {X_ {i}} (a_ {i} t)}

{\ displaystyle \ phi _ {S_ {n}} (t) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ phi _ {X_ {i}} (a_ {i} t)}

Bibliografie

Giorgio Dall'Aglio, Calculul probabilităților , Zanichelli, Bologna, 2003

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică