Distribuția lui Bernoulli

Distribuția lui Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p)}$ ${\ mathcal {B}} (p)$
Funcție de distribuție discretă Trei exemple de distribuții Bernoulli: $P(x=0)=0,2$ ${\ displaystyle P (x = 0) = 0,2}$ ${\ displaystyle P (x = 0) = 0.2}$ Și $P(x=1)=0,8$ ${\ displaystyle P (x = 1) = 0,8}$ ${\ displaystyle P (x = 1) = 0,8}$ $P(x=0)=0,8$ ${\ displaystyle P (x = 0) = 0,8}$ ${\ displaystyle P (x = 0) = 0,8}$ Și $P(x=1)=0,2$ ${\ displaystyle P (x = 1) = 0,2}$ ${\ displaystyle P (x = 1) = 0,2}$ $P(x=0)=0,5$ ${\ displaystyle P (x = 0) = 0,5}$ ${\ displaystyle P (x = 0) = 0,5}$ Și $P(x=1)=0,5$ ${\ displaystyle P (x = 1) = 0,5}$ ${\ displaystyle P (x = 1) = 0,5}$
Funcția de distribuție
Parametrii	$p\in [0,1]$ ${\ displaystyle p \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle p \ in [0,1]}$ $q=1-p$ ${\ displaystyle q = 1-p}$ $q = 1-p$
A sustine	$\{0,1\}\$ ${\ displaystyle \ {0,1 \} \}$ $\ {0,1 \} \$
Funcția de densitate	$f(x)={\begin{cases}q=1-p&{\text{se }}x=0\\p&{\text{se }}x=1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} q = 1-p & {\ text {se}} x = 0 \\ p & {\ text {se}} x = 1 \\ 0 & {\ text {altfel}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} q = 1-p & {\ text {se}} x = 0 \\ p & {\ text {se}} x = 1 \\ 0 & {\ text {altfel}} \ end {cases}}}$
Funcția de distribuție	$F(x)={\begin{cases}0&{\text{se }}x<0\\1-p&{\text{se }}0\leq x<1\\1&{\text{se }}x\geq 1\end{cases}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {se}} x <0 \\ 1-p & {\ text {se}} 0 \ leq x <1 \\ 1 & { \ text {if}} x \ geq 1 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {se}} x <0 \\ 1-p & {\ text {se}} 0 \ leq x <1 \\ 1 & { \ text {if}} x \ geq 1 \ end {cases}}}$
Valorea estimata	$p\$ ${\ displaystyle p \}$ $p \$
Varianța	$pq\$ ${\ displaystyle pq \}$ $pq \$
Indicele de asimetrie	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {qp} {\ sqrt {pq}}}}$ ${\ frac {q-p} {{\ sqrt {pq}}}}$
Curios	${\frac {1}{pq}}-6$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {pq}} - 6}$ ${\ frac {1} {pq}} - 6$
Entropie	$-q\log(q)-p\log(p)\$ ${\ displaystyle -q \ log (q) -p \ log (p) \}$ $-q \ log (q) -p \ log (p) \$
Funcție generatoare de momente	$q+pe^{t}\$ ${\ displaystyle q + pe ^ {t} \}$ $q + pe ^ {t} \$
Funcția caracteristică	$q+pe^{it}\$ ${\ displaystyle q + pe ^ {it} \}$ $q + pe ^ {{it}} \$
Manual

În teoria probabilității, distribuția Bernoulli (sau Bernoulli ) este o distribuție a probabilității numai pe două valori: și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , ^[1] numit și eșec și succes . Acesta poartă numele omului de știință elvețian Jakob Bernoulli ( 1654 - 1705 ).

Definiție

O variabilă discretă aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are distribuție Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p)}$ ${\ mathcal {B}} (p)$ de parametru $p\in [0,1]$ ${\ displaystyle p \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle p \ in [0,1]}$ dacă și numai dacă

P(X=1)=p,

{\ displaystyle P (X = 1) = p,}

{\ displaystyle P (X = 1) = p,}

P(X=0)=q=1-p,

{\ displaystyle P (X = 0) = q = 1-p,}

{\ displaystyle P (X = 0) = q = 1-p,}

sau

P(X=i)=p^{i}(1-p)^{1-i}

{\ displaystyle P (X = i) = p ^ {i} (1-p) ^ {1-i}}

P (X = i) = p ^ i (1-p) ^ {1-i}

pentru

i=0,1.

{\ displaystyle i = 0.1.}

{\ displaystyle i = 0.1.}

Valoarea așteptată este

\mathrm {E} (X)=p^{1}(1-p)^{1-1}=p,

{\ displaystyle \ mathrm {E} (X) = p ^ {1} (1-p) ^ {1-1} = p,}

{\ displaystyle \ mathrm {E} (X) = p ^ {1} (1-p) ^ {1-1} = p,}

iar varianța este

\mathrm {Var} (X)=pq=p(1-p).

{\ displaystyle \ mathrm {Var} (X) = pq = p (1-p).}

{\ displaystyle \ mathrm {Var} (X) = pq = p (1-p).}

Alte legi

Un proces Bernoulli este o succesiune de variabile aleatoare independente $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ de distribuție egală Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (p)}$ ${\ mathcal {B}} (p)$ , numite procese Bernoulli . Din acest proces pot fi definite următoarele legi suplimentare. Distribuția binomială descrie probabilitatea numărului de succese în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Testele lui Bernoulli, adică variabila aleatorie

S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}.

{\ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + X_ {2} + \ ldots + X_ {n}.}

{\ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + X_ {2} + \ ldots + X_ {n}.}

Distribuția geometrică și mai general distribuția Pascal descriu timpul primului și al $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -respectivul succes, adică variabilele aleatorii $T=T_{1}$ ${\ displaystyle T = T_ {1}}$ $T = T_ {1}$ Și $T_{k}$ ${\ displaystyle T_ {k}}$ $T_ {k}$ definit ca

T_{k}=\min\{t\colon S_{t}=k\}.

{\ displaystyle T_ {k} = \ min \ {t \ colon S_ {t} = k \}.}

{\ displaystyle T_ {k} = \ min \ {t \ colon S_ {t} = k \}.}

Notă

^ Ross , p. 145 .

Bibliografie

Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introducere în statistici , McGraw-Hill, 1991.
Paolo Baldi, Calculul probabilității și statisticii , ediția a II-a, McGraw-Hill, 1998, ISBN 9788838607370 .
Sheldon M. Ross, Probabilitate și statistici pentru inginerie și știință , Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2 .