Distribuție continuă

Funcția de masă de probabilitate p (s) specifică distribuția probabilității pentru suma S a rezultatului a două zaruri cu șase fețe.

În teoria probabilității , o distribuție continuă de probabilitate este o distribuție de probabilitate care are o funcție de densitate . Se mai numește o distribuție absolut continuă , deoarece funcția sa de distribuție este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue . Dacă o variabilă aleatorie X are o distribuție continuă a probabilității, atunci X este numită variabilă aleatorie continuă . Există multe exemple de distribuții de probabilitate continue, inclusiv distribuții normale , uniforme și chi-pătrate .

Intuitiv, variabilele aleatoare continue sunt cele care pot presupune un set continuu de valori , spre deosebire de distribuțiile discrete , pentru care setul de valori posibile are cel mult cardinalitate numărabilă . Mai mult, în timp ce pentru o distribuție discretă un eveniment cu probabilitate zero este irealizabil (cum ar fi, de exemplu, obținerea a 3½ dintr-un rol tradițional de matriță ), acest lucru nu este adevărat în cazul unei variabile aleatoare continue. De exemplu, măsurând lungimea unei frunze de stejar, este posibil să se obțină rezultatul de 3½ cm, dar aceasta are probabilitate zero, deoarece există valori posibile infinite între 3 cm și 4 cm. Fiecare dintre acestea are probabilitate zero, dar probabilitatea ca lungimea frunzei să fie în intervalul (3 cm, 4 cm) este diferită de zero. Acest paradox aparent este cauzat de faptul că probabilitatea ca o variabilă aleatorie X să ia valori într-un set infinit , cum ar fi un interval, nu poate fi calculată doar prin adăugarea probabilității valorilor individuale.

Mai formal, deoarece, prin definiție, fiecare variabilă continuă aleatoare X are o funcție de densitate ƒ ( x ), atunci probabilitatea ca X să cadă în intervalul [ a , b ] este dată de integral

\Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,dx

{\ displaystyle \ Pr [a \ leq X \ leq b] = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

\ Pr [a \ leq X \ leq b] = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx

În special, probabilitatea ca X să ia o singură valoare c (sau, echivalent, c ≤ X ≤ c ) este zero, deoarece o integrală cu limite superioare și inferioare coincidente este întotdeauna egală cu zero.

După cum sa menționat, funcția de distribuție a unei distribuții continue este absolut continuă. Condiția ca această funcție să fie continuă este mai slabă și există o clasă de distribuții, distribuțiile singulare , care nu sunt nici continue, nici discrete, nici un amestec al acestora. Cu toate acestea, astfel de distribuții nu se întâlnesc niciodată în aplicații practice. Unii autori numesc distribuții continue acelea a căror funcție de distribuție este continuă, incluzând astfel și distribuții singulare.

Tabelul celor mai frecvente distribuții continue

În tabelul următor cu cele mai comune distribuții continue, se înțelege că funcția de densitate are valoarea 0 în afara suportului și că funcția de distribuție are valoarea 0 în punctele care preced suportul și 1 în următoarele puncte.

Distribuție	Parametrii	A sustine	Funcția de densitate	Funcția de distribuție	Valoarea medie	Varianța
distribuție uniformă continuă	$a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$	$[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$	${\frac {1}{b-a}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {ba}}}$ ${\ frac 1 {b-a}}$	${\frac {x-a}{b-a}}$ ${\ displaystyle {\ frac {xa} {ba}}}$ ${\ frac {x-a} {b-a}}$	${\frac {a+b}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ frac {a + b} {2}}$	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {(ba) ^ {2}} {12}}}$ ${\ frac {(b-a) ^ {2}} {12}}$
distributie normala	$\mu ,\sigma$ ${\ displaystyle \ mu, \ sigma}$ $\ mu, \ sigma$	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} \ și ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}$ ${\ frac 1 {{\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}}} și ^ {{- {\ frac 1 {2}} \ left ({\ frac {x- \ mu} { \ sigma}} \ right) ^ {2}}}$	${\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \!\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ mathrm {erf} \! \ left ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma {\ sqrt {2}}}} \ corect corect]}$ ${\ frac {1} {2}} \ left [1 + {\ mathrm {erf}} \! \ left ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma {\ sqrt 2}}} \ right) \ dreapta]$	$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$	$\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$
distribuție exponențială	$\lambda >0$ ${\ displaystyle \ lambda> 0}$ ${\ displaystyle \ lambda> 0}$	$\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {+}$	$\lambda \,e^{-\lambda x}$ ${\ displaystyle \ lambda \, e ^ {- \ lambda x}}$ $\ lambda \, e ^ {{- \ lambda x}}$	$1-e^{-\lambda x}$ ${\ displaystyle 1-e ^ {- \ lambda x}}$ $1-e ^ {{- \ lambda x}}$	${\frac {1}{\lambda }}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda}}}$ ${\ frac 1 {\ lambda}}$	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}}}$ ${\ frac 1 {\ lambda ^ {2}}}$
Distribuția gamma	$k,\theta >0$ ${\ displaystyle k, \ theta> 0}$ $k, \ theta> 0$	$\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ mathbb {R} ^ {+}$	${\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {k-1} e ^ {- {\ frac {x} {\ theta}}}} {\ theta ^ {k} \ Gamma (k)}}}$ ${\ frac {x ^ {{k-1}} e ^ {{- {\ frac {x} {\ theta}}}}} {\ theta ^ {k} \ Gamma (k)}}$	${\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ gamma (k, x / \ theta)} {\ Gamma (k)}}}$ ${\ frac {\ gamma (k, x / \ theta)} {\ Gamma (k)}}$	$k\theta$ ${\ displaystyle k \ theta}$ $k \ theta$	$k\theta ^{2}$ ${\ displaystyle k \ theta ^ {2}}$ $k \ theta ^ {2}$

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în distribuție continuă

linkuri externe

Variabile aleatorii continue. John Appleby, Școala de Științe Matematice, Dublin City University.
( EN ) AV Prokhorov, Distribuție continuă , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică