Amestecarea distribuțiilor

Un amestec de distribuții este o variabilă aleatorie , a cărei funcție de probabilitate (în cazul unei variabile aleatoare discrete ) sau a cărei funcție de densitate de probabilitate (în cazul unei variabile aleatoare continue ) este dată de o medie ponderată a funcțiilor de probabilitate sau densitatea altei variabile aleatoare.

În cazul unui amestec finit de distribuții continue funcția densității probabilității este descrisă în general prin

f(x;\pi _{1},\dots ,\pi _{k},g_{1},\dots ,g_{k})=\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}g_{i}(x)

{\ displaystyle f (x; \ pi _ {1}, \ dots, \ pi _ {k}, g_ {1}, \ dots, g_ {k}) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ pi _ {i} g_ {i} (x)}

{\ displaystyle f (x; \ pi _ {1}, \ dots, \ pi _ {k}, g_ {1}, \ dots, g_ {k}) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ pi _ {i} g_ {i} (x)}

cu constrângerea că $\Sigma _{i=1}^{k}\pi _{i}=1$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {k} \ pi _ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {k} \ pi _ {i} = 1}$ si unde $g_{i}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ sunt k funcții de probabilitate, care la rândul lor pot avea parametri care le caracterizează.

De exemplu, un amestec de douădistribuții normale are o funcție de densitate de probabilitate

f(x;\pi _{1},\mu _{1},\sigma _{1},\mu _{2},\sigma _{2})=\pi _{1}\phi (x;\mu _{1},\sigma _{1})+\pi _{2}\phi (x;\mu _{2},\sigma _{2})

{\ displaystyle f (x; \ pi _ {1}, \ mu _ {1}, \ sigma _ {1}, \ mu _ {2}, \ sigma _ {2}) = \ pi _ {1} \ phi (x; \ mu _ {1}, \ sigma _ {1}) + \ pi _ {2} \ phi (x; \ mu _ {2}, \ sigma _ {2})}

{\ displaystyle f (x; \ pi _ {1}, \ mu _ {1}, \ sigma _ {1}, \ mu _ {2}, \ sigma _ {2}) = \ pi _ {1} \ phi (x; \ mu _ {1}, \ sigma _ {1}) + \ pi _ {2} \ phi (x; \ mu _ {2}, \ sigma _ {2})}

unde este $\pi _{2}=1-\pi _{1}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} = 1- \ pi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} = 1- \ pi _ {1}}$ Și $\phi (x;\mu ,\sigma )$ ${\ displaystyle \ phi (x; \ mu, \ sigma)}$ ${\ displaystyle \ phi (x; \ mu, \ sigma)}$ este funcția densității probabilității uneivariabile aleatoare normale .

O teoremă de reprezentare Lebesgue asigură că fiecare variabilă aleatorie este reprezentabilă ca un amestec de distribuții de tip continuu și / sau discret și / sau singular .

Unul dintre cazurile în care se utilizează un amestec de distribuții este cel al subpopulațiilor, adică atunci când o populație (de valori) este compusă din mai multe subpopulații fiecare cu propria distribuție a valorilor. De exemplu, dacă atât înălțimea bărbaților, cât și înălțimea femeilor se presupune că sunt distribuite normal , dar cu media pentru bărbați mai mare decât media pentru femei, atunci înălțimea indivizilor, indiferent de sex, este un amestec de două distribuții normale.

În contextul inferenței bayesiene , se face o utilizare extinsă a amestecurilor bazate pe conjugate anterioare ca în cazul binomului cu beta ( vc betabinomial ), Poissonian cu Gamma ( vc Poisson-Gamma ), exponențialul sau Gamma cu Gama în sine.

Elemente conexe

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 34845 · LCCN (EN) sh85086332

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică