Transformarea integrală a probabilității

În statistici , transformarea integrală a probabilității se referă la rezultatul care convertește valorile descrise ca variabile aleatorii ale oricărei distribuții continue în variabile aleatoare având o distribuție uniformă . Acest lucru este întotdeauna adevărat, atâta timp cât distribuția utilizată ca punct de plecare este distribuția adevărată a variabilei aleatoare; dacă s-a făcut o potrivire de distribuție la valori, rezultatul va fi aproximativ adevărat pentru eșantioane destul de mari.

Implementare

Să presupunem că o variabilă aleatorie X are o distribuție continuă din care F este funcția de distribuție . Prin urmare, avem variabila aleatoare Y definită ca

Y=F_{X}(X)\,,

{\ displaystyle Y = F_ {X} (X) \ ,,}

{\ displaystyle Y = F_ {X} (X) \ ,,}

are o distribuție uniformă ^[1] . De exemplu, să fie X o variabilă aleatorie cu o distribuție normală standard (deci X ~ N (0,1) ). Funcția sa de distribuție va fi

\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle \ Phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {- t ^ {2} / 2} \ , dt = {\ frac {1} {2}} {\ Big [} \, 1+ \ operatorname {erf} {\ Big (} {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} {\ Big) } \, {\ Big]}, \ quad x \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle \ Phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {- t ^ {2} / 2} \ , dt = {\ frac {1} {2}} {\ Big [} \, 1+ \ operatorname {erf} {\ Big (} {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} {\ Big) } \, {\ Big]}, \ quad x \ in \ mathbb {R}.}

În consecință, noua variabilă aleatorie Y , definită de Y = Φ ( X ), este distribuită uniform.

Aplicații

O utilizare specială a transformării integrale a probabilității în analiza datelor este de a oferi baza pentru testarea dacă un set de observații poate fi probabil descris printr-o distribuție de probabilitate particulară. Mai precis, această transformare se aplică pentru a construi un set echivalent de valori care este testat pentru ipoteza distribuirii uniforme.

O a doua utilizare pentru transformare se găsește în teoria din spatele copulelor , care sunt un mijloc de definire și de lucru cu distribuții pentru date multivariate și statistice dependente.

O altă utilizare, numită metoda inversiunii , se bazează pe aplicarea inversului transformării pentru a converti variabile uniforme în variabile cu o distribuție diferită la alegere.

Notă

^ Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms , OUP. ISBN 0-19-920613-9

Portalul de matematică

Portalul de statistici

[1] Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms , OUP. ISBN 0-19-920613-9

[1]