Distribuția Poisson-Gamma

În teoria probabilității, distribuția Poisson-Gamma este o distribuție discretă de probabilitate care joacă un rol important în inferența bayesiană . Este distribuția de probabilitate asociată cu o variabilă aleatorie Poissoniană , Poiss (λ), în care parametrul λ nu este constant, dar variază ca o variabilă aleatorie Gamma ; cu alte cuvinte este un amestec Poisson în care parametrul λ are o distribuție Gamma. Aceasta este o generalizare a distribuției aleatoare binomiale negative la cazul parametrilor care nu sunt întregi.

Funcția de probabilitate este dată de

P(X=x|a,b,\nu )=\left({\frac {b}{b+\nu }}\right)^{a}{\frac {1}{\Gamma (a)}}{\frac {\Gamma (a+x)}{x!}}\left({\frac {\nu }{b+\nu }}\right)^{x}

{\ displaystyle P (X = x | a, b, \ nu) = \ left ({\ frac {b} {b + \ nu}} \ right) ^ {a} {\ frac {1} {\ Gamma ( a)}} {\ frac {\ Gamma (a + x)} {x!}} \ left ({\ frac {\ nu} {b + \ nu}} \ right) ^ {x}}

{\ displaystyle P (X = x | a, b, \ nu) = \ left ({\ frac {b} {b + \ nu}} \ right) ^ {a} {\ frac {1} {\ Gamma ( a)}} {\ frac {\ Gamma (a + x)} {x!}} \ left ({\ frac {\ nu} {b + \ nu}} \ right) ^ {x}}

unde a > 0, b > 0.

Valoarea așteptată este dată de

E(X)=\nu {\frac {a}{b}}

{\ displaystyle E (X) = \ nu {\ frac {a} {b}}}

{\ displaystyle E (X) = \ nu {\ frac {a} {b}}}

și varianța

Var(X)=a{\frac {\nu }{b}}\left(1+{\frac {\nu }{b}}\right)=E(X)\left(1+{\frac {\nu }{b}}\right)

{\ displaystyle Var (X) = a {\ frac {\ nu} {b}} \ left (1 + {\ frac {\ nu} {b}} \ right) = E (X) \ left (1+ { \ frac {\ nu} {b}} \ right)}

{\ displaystyle Var (X) = a {\ frac {\ nu} {b}} \ left (1 + {\ frac {\ nu} {b}} \ right) = E (X) \ left (1+ { \ frac {\ nu} {b}} \ right)}

și, prin urmare, în acest caz, varianța este întotdeauna mai mare decât valoarea așteptată, spre deosebire de cazul distribuției Poisson în care acești doi parametri coincid.

În cazul particular în care a este un număr întreg, avem acel X + a ~ $NBin\left(a,{\frac {b}{b+\nu }}\right)$ ${\ displaystyle NBin \ left (a, {\ frac {b} {b + \ nu}} \ right)}$ ${\ displaystyle NBin \ left (a, {\ frac {b} {b + \ nu}} \ right)}$ , unde NBin indică variabila aleatoare binomială negativă, motiv pentru care Poisson-Gamma poate fi văzută ca generalizarea binomului negativ la numere reale.

Bibliografie

Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes , cu colaborarea lui Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Elemente conexe

variabilă aleatorie beta-binomială