Distribuția Poisson

Distribuția Poisson ${\mathcal {P}}(\lambda )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ lambda)}$ ${\ mathcal {P}} (\ lambda)$
Funcție de distribuție discretă
Funcția de distribuție
Parametrii	$\lambda >0\$ ${\ displaystyle \ lambda> 0 \}$ $\ lambda> 0 \$
A sustine	$\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$
Funcția de densitate	${\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda}}$
Funcția de distribuție	${\frac {\Gamma (n+1,\lambda )}{n!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (n + 1, \ lambda)} {n!}}}$ ${\ frac {\ Gamma (n + 1, \ lambda)} {n!}}$ (unde este $\Gamma (x,y)$ ${\ displaystyle \ Gamma (x, y)}$ $\ Gamma (x, y)$ este funcția gamma incompletă )
Valorea estimata	$\lambda \$ ${\ displaystyle \ lambda \}$ $\ lambda \$
Median	aproximativ $\left[\lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right]$ ${\ displaystyle \ left [\ lambda + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {50 \ lambda}} \ right]}$ $\ left [\ lambda + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {50 \ lambda}} \ right]$
Modă	$[\lambda ]\$ ${\ displaystyle [\ lambda] \}$ $[\ lambda] \$ este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ acea $\lambda -1$ ${\ displaystyle \ lambda -1}$ $\ lambda -1$ de sine $\lambda \in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {N}}$ $\ lambda \ in {\ mathbb {N}}$
Varianța	$\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$
Indicele de asimetrie	${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ lambda}}}}$ ${\ frac {1} {{\ sqrt {\ lambda}}}}$
Curios	${\frac {1}{\lambda }}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda}}}$ ${\ frac {1} {\ lambda}}$
Entropie	$\lambda -\lambda \log \lambda +e^{-\lambda }\sum {\frac {\lambda ^{n}\log(n!)}{n!}}$ ${\ displaystyle \ lambda - \ lambda \ log \ lambda + e ^ {- \ lambda} \ sum {\ frac {\ lambda ^ {n} \ log (n!)} {n!}}}$ $\ lambda - \ lambda \ log \ lambda + e ^ {{- \ lambda}} \ sum {\ frac {\ lambda ^ {n} \ log (n!)} {n!}}$
Funcție generatoare de momente	$e^{\lambda (e^{t}-1)}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda (e ^ {t} -1)}}$ $e ^ {{\ lambda (e ^ {t} -1)}}$
Funcția caracteristică	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda (e ^ {it} -1)}}$ $e ^ {{\ lambda (e ^ {{it}} - 1)}}$
Manual

În teoria probabilității, distribuția Poisson (sau Poissonian ) este o distribuție discretă de probabilitate care exprimă probabilitățile pentru numărul de evenimente care apar succesiv și independent într-un interval de timp dat, știind că în medie apare un număr $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ . De exemplu, o distribuție Poisson este utilizată pentru a măsura numărul de apeluri primite într-un centru de apel pe o anumită perioadă de timp, cum ar fi o dimineață de lucru. Această distribuție este, de asemenea, cunoscută sub numele de legea evenimentelor rare .

Este numit după matematicianul francez Siméon-Denis Poisson .

Definiție

Distribuția Poisson ${\mathcal {P}}_{\lambda }(n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ lambda} (n)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ lambda} (n)}$ este o distribuție discretă de probabilitate dată de

{\mathcal {P}}_{\lambda }(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ lambda} (n) = {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} și ^ {- \ lambda}}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ lambda} (n) = {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} și ^ {- \ lambda}}

pentru fiecare

n\in \mathbb {N}

{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}

n \ in {\ mathbb {N}}

,

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este numărul mediu de evenimente pe interval de timp, în timp ce $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul de evenimente pe interval de timp (același cu care este măsurat $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ) de care doriți probabilitatea.

Din dezvoltarea în serie a exponențialei $e^{\lambda }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}}}$ este situat ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )=1$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}) = 1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}) = 1}$ .

Convergenţă

Distribuția Poisson poate fi obținută ca limită a distribuțiilor binomiale ${\mathcal {B}}(n,p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (n, p)}$ ${\ mathcal {B}} (n, p)$ , cu $\lambda =np$ ${\ displaystyle \ lambda = np}$ $\ lambda = np$ , adică există o convergență în legea ${\mathcal {B}}(n,\lambda /n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (n, \ lambda / n)}$ ${\ mathcal {B}} (n, \ lambda / n)$ la ${\mathcal {P}}(\lambda )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ lambda)}$ ${\ mathcal {P}} (\ lambda)$ . Pentru această convergență, distribuția Poisson este cunoscută și ca legea (probabilității) evenimentelor rare .

În statistici , aproximarea distribuției binomiale este adoptată prin distribuția Poisson când n> 20 și p <1/20, sau de preferință când n> 100 și np <10.

Caracteristici

O variabilă aleatorie Y de distribuție Poisson are

valorea estimata

E[Y]=\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }=\sum _{n=1}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}=\lambda e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=\lambda

{\ displaystyle E [Y] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda} = \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} n {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda} = \ lambda e ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {n-1}} {(n-1)!}} = \ lambda e ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} = \ lambda}

{\ displaystyle E [Y] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda} = \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} n {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda} = \ lambda e ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {n-1}} {(n-1)!}} = \ lambda e ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} = \ lambda}

varianță

{\begin{aligned}{\text{Var}}(Y)&=E[Y^{2}]-(E[Y])^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }-\lambda ^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1){\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }+\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }-\lambda ^{2}\\&=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1){\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda ^{2}e^{-\lambda }\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{(n-2)}}{(n-2)!}}+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Var}} (Y) & = E [Y ^ {2}] - (E [Y]) ^ {2} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ {2} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} E ^ {- \ lambda} - \ lambda ^ {2} \\ & = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} n (n-1) {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} și ^ {- \ lambda} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda} - \ lambda ^ {2} \\ & = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda} + \ lambda - \ lambda ^ {2} \\ & = \ lambda ^ {2} și ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {(n-2)}} {(n-2)!}} + \ lambda - \ lambda ^ {2} \\ & = \ lambda ^ {2} + \ lambda - \ lambda ^ {2} \\ & = \ lambda \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Var}} (Y) & = E [Y ^ {2}] - (E [Y]) ^ {2} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n ^ {2} {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} E ^ {- \ lambda} - \ lambda ^ {2} \\ & = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} n (n-1) {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} și ^ {- \ lambda} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda} - \ lambda ^ {2} \\ & = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) {\ frac {\ lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda} + \ lambda - \ lambda ^ {2} \\ & = \ lambda ^ {2} și ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {(n-2)}} {(n-2)!}} + \ lambda - \ lambda ^ {2} \\ & = \ lambda ^ {2} + \ lambda - \ lambda ^ {2} \\ & = \ lambda \ end {align}}}

(Rescriem

n^{2}

{\ displaystyle n ^ {2}}

n ^ {2}

ca

n(n-1)+n

{\ displaystyle n (n-1) + n}

n (n-1) + n

)

funcție generatoare de moment

g(t,Y)=E[e^{tY}]=e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}e^{tn}}{n!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda e^{t}}=e^{\lambda (e^{t}-1)}

{\ displaystyle g (t, Y) = E [e ^ {tY}] = e ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {n} e ^ {tn}} {n!}} = e ^ {- \ lambda} e ^ {\ lambda e ^ {t}} = e ^ {\ lambda (e ^ {t} -1)}}

{\ displaystyle g (t, Y) = E [e ^ {tY}] = e ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {n} e ^ {tn}} {n!}} = e ^ {- \ lambda} e ^ {\ lambda e ^ {t}} = e ^ {\ lambda (e ^ {t} -1)}}

indicii de asimetrie și kurtoză

\gamma _{1}={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ lambda}}}}

\ gamma _ {1} = {\ frac {1} {{\ sqrt {\ lambda}}}}

,

\gamma _{2}={\frac {1}{\lambda }}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {1} {\ lambda}}}

\ gamma _ {2} = {\ frac {1} {\ lambda}}

entropie

\lambda -\lambda \log \lambda +e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}\log(n!)}{n!}}

{\ displaystyle \ lambda - \ lambda \ log \ lambda + e ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {n} \ log (n!)} {n!}}}

{\ displaystyle \ lambda - \ lambda \ log \ lambda + e ^ {- \ lambda} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {n} \ log (n!)} {n!}}}

care are o tendință ${\frac {1+\log(2\pi )}{2}}\ +\ {\frac {1}{2}}\log \lambda \ -\ {\frac {1}{12}}\lambda ^{-1}\ -\ {\frac {1}{24}}\lambda ^{-2}\ -\ {\frac {19}{360}}\lambda ^{-3}\ +\ O(\lambda ^{-4})$ ${\ displaystyle {\ frac {1+ \ log (2 \ pi)} {2}} \ + \ {\ frac {1} {2}} \ log \ lambda \ - \ {\ frac {1} {12} } \ lambda ^ {- 1} \ - \ {\ frac {1} {24}} \ lambda ^ {- 2} \ - \ {\ frac {19} {360}} \ lambda ^ {- 3} \ + \ O (\ lambda ^ {- 4})}$ ${\ frac {1+ \ log (2 \ pi)} {2}} \ + \ {\ frac {1} {2}} \ log \ lambda \ - \ {\ frac {1} {12}} \ lambda ^ {{- 1}} \ - \ {\ frac {1} {24}} \ lambda ^ {{- 2}} \ - \ {\ frac {19} {360}} \ lambda ^ {{- 3} } \ + \ O (\ lambda ^ {{- 4}})$

Proprietate

De sine $Y_{1}$ ${\ displaystyle Y_ {1}}$ $Y_ {1}$ Și $Y_{2}$ ${\ displaystyle Y_ {2}}$ $Y_ {2}$ sunt două variabile aleatoare independente cu distribuții de parametri Poisson $\lambda _{1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ Și $\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {2}$ respectiv, atunci

suma lor $Y=Y_{1}+Y_{2}$ ${\ displaystyle Y = Y_ {1} + Y_ {2}}$ $Y = Y_ {1} + Y_ {2}$ urmează din nou o distribuție Poisson, a parametrului $\lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}$ $\ lambda = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}$ ;
distribuirea de $Y_{1}$ ${\ displaystyle Y_ {1}}$ $Y_ {1}$ condiționat de $Y=n$ ${\ displaystyle Y = n}$ ${\ displaystyle Y = n}$ este distribuția binomială a parametrilor $\lambda _{1}/\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} / \ lambda}$ $\ lambda _ {1} / \ lambda$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Mai general, suma $Y=Y_{1}+...+Y_{n}$ ${\ displaystyle Y = Y_ {1} + ... + Y_ {n}}$ $Y = Y_ {1} + ... + Y_ {n}$ a n variabile aleatoare independente cu distribuții de parametri Poisson $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {n}}$ $\ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {n}$ urmează un parametru distribuție Poisson $\lambda =\lambda _{1}+...+\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1} + ... + \ lambda _ {n}}$ $\ lambda = \ lambda _ {1} + ... + \ lambda _ {n}$ , în timp ce distribuția de $Y_{1}$ ${\ displaystyle Y_ {1}}$ $Y_ {1}$ condiționat de $Y=n$ ${\ displaystyle Y = n}$ ${\ displaystyle Y = n}$ este distribuția binomială a parametrilor $\lambda _{1}/\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} / \ lambda}$ $\ lambda _ {1} / \ lambda$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Distribuții legate

Dacă distribuția Poisson a parametrului $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ descrie numărul de evenimente într-un interval de timp, timpul de așteptare între două evenimente succesive este descris de distribuția exponențială a parametrului $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Distribuția Skellam este definită ca distribuția diferenței dintre două variabile aleatoare independente, ambele având distribuții Poisson.

Amestecul de distribuții între distribuția Poisson și distribuția Gamma (care guvernează parametrul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ) este distribuția Pascal , care este uneori numită și Gamma-Poisson .

Distribuția Panjer , definită prin recursivitate, generalizează distribuția Poisson: $P(n)={\frac {\lambda }{n}}P(n-1)$ ${\ displaystyle P (n) = {\ frac {\ lambda} {n}} P (n-1)}$ $P (n) = {\ frac {\ lambda} {n}} P (n-1)$ .

Statistici

Aproximări

Pentru $\lambda >1000$ ${\ displaystyle \ lambda> 1000}$ $\ lambda> 1000$ o variabilă aleatorie cu distribuție Poisson ${\mathcal {P}}(\lambda )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ lambda)}$ ${\ mathcal {P}} (\ lambda)$ este de obicei aproximat cu distribuția normală ${\mathcal {N}}(\lambda ,\lambda )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda, \ lambda)}$ ${\ mathcal {N}} (\ lambda, \ lambda)$ ; pentru parametri mai mici ( $\lambda >10$ ${\ displaystyle \ lambda> 10}$ $\ lambda> 10$ ) în schimb, sunt necesare corecții de continuitate , legate de diferitele domenii ale celor două distribuții (una discretă, una continuă).

Rădăcina pătrată a unei variabile aleatorii cu o distribuție Poisson este mai bine aproximată printr-o distribuție normală decât variabila în sine.

Parametrul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ poate fi estimat ca media observațiilor făcute. Acest estimator este fără părtiniri , adică are o valoare așteptată $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ la fel.

Inferența bayesiană

Dacă parametrul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ a unei distribuții Poisson este distribuită a priori în funcție de distribuția Gamma , deci este și a posteriori de observare $Y=y$ ${\ displaystyle Y = y}$ $Y = y$ .

Interval de încredere pentru medie

Un criteriu rapid pentru calculul aproximativ al intervalului de încredere al eșantionului mediu este furnizat în Warrior (2012) . Având în vedere un număr de evenimente k (cel puțin 15-20 pentru o aproximare satisfăcătoare) înregistrate într-un anumit interval de timp - sau de lungime, volum etc. -, limitele intervalului de încredere pentru parametrul λ sunt date de:

\lambda _{low}=(1-{\frac {1,96}{\sqrt {k-1}}}){k}

{\ displaystyle \ lambda _ {low} = (1 - {\ frac {1,96} {\ sqrt {k-1}}}) {k}}

{\ displaystyle \ lambda _ {low} = (1 - {\ frac {1,96} {\ sqrt {k-1}}}) {k}}

\lambda _{upp}=(1+{\frac {1,96}{\sqrt {k-1}}}){k}

{\ displaystyle \ lambda _ {upp} = (1 + {\ frac {1,96} {\ sqrt {k-1}}}) {k}}

{\ displaystyle \ lambda _ {upp} = (1 + {\ frac {1,96} {\ sqrt {k-1}}}) {k}}

Istorie

Această distribuție a fost introdusă de Siméon-Denis Poisson în 1838 în articolul său Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile ^[1] ^[2] . Potrivit unor istorici, această variabilă aleatorie ar trebui să poarte numele lui Ladislaus Bortkevič având în vedere studiile făcute de aceasta în 1898 . ^[3]

În realitate, Poissonianul ca o aproximare a binomului fusese deja introdus în 1718 de Abraham de Moivre în Doctrine des chances . ^[4]

Tabelele de valori ale funcției de probabilitate

λ = 0,1; 0,2; ... 1.0

k	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1.0
0	0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,4966	0,4493	0,4066	0,3679
1	0,0905	0,1637	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3595	0,3659	0,3679
2	0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0.1438	0,1667	0,1839
3	0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0254	0,0383	0,0494	0,0613
4		0,0001	0,0003	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111	0,0153
5				0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020	0,0031
6							0,0001	0,0002	0,0003	0,0005
7										0,0001

λ = 1,2; 1.4; ... 3.0

k	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0	2.2	2.4	2.6	2.8	3.0
0	0,3012	0,2466	0,2019	0,1665	0.1353	0,1108	0,0907	0,0743	0,0608	0,0498
1	0,3614	0,3452	0,3230	0,2975	0,2707	0,2438	0,2177	0,1931	0.1703	0,1494
2	0,2169	0,2417	0,2584	0,2678	0,2707	0,2681	0,2613	0,2510	0,2384	0,2240
3	0,0867	0,1128	0,1378	0.1607	0.1804	0,1966	0,2090	0,2176	0,2225	0,2240
4	0,0260	0,0395	0,0551	0,0723	0,0902	0,1082	0,1254	0,1414	0,1557	0,1680
5	0,0062	0,0111	0,0176	0,0260	0,0361	0,0476	0,0602	0,0735	0,0872	0,1008
6	0,0012	0,0026	0,0047	0,0078	0,0120	0,0174	0,0241	0,0319	0,0407	0,0504
7	0,0002	0,0005	0,0011	0,0020	0,0034	0,0055	0,0083	0,0118	0,0163	0,0216
8		0,0001	0,0002	0,0005	0,0009	0,0015	0,0025	0,0038	0,0057	0,0081
9				0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0011	0,0018	0,0027
10						0,0001	0,0002	0,0003	0,0005	0,0008
11								0,0001	0,0001	0,0002
12										0,0002

λ = 3,5; 4.0; ... 8.0

k	3.5	4.0	4.5	5.0	5.5	6.0	6.5	7.0	7.5	8.0
0	0,0302	0,0183	0,0111	0,0067	0,0041	0,0025	0,0015	0,0009	0,0006	0,0003
1	0,1057	0,0733	0,0500	0,0337	0,0225	0,0149	0,0098	0,0064	0,0041	0,0027
2	0,1850	0,1465	0,1125	0,0842	0,0618	0,0446	0,0318	0,0223	0,0156	0,0107
3	0,2158	0,1954	0.1687	0.1404	0.1133	0,0892	0,0688	0,0521	0,0389	0,0286
4	0,1888	0,1954	0,1898	0,1755	0,1558	0,1339	0,1118	0,0912	0,0729	0,0573
5	0,1322	0,1563	0.1708	0,1755	0,1714	0.1606	0.1454	0,1227	0,1094	0,0916
6	0,0771	0,1042	0,1281	0,1646	0,1571	0.1606	0,1575	0,1490	0.1367	0,1222
7	0,0385	0,0595	0,0824	0,1044	0,1234	0,1337	0,1646	0,1490	0,1465	0.1396
8	0,0169	0,0298	0,0463	0,0653	0,0849	0,1033	0.1188	0.1304	0,1373	0.1396
9	0,0066	0,0132	0,0232	0,0363	0,0519	0,0688	0,0858	0,1014	0.1144	0,1241
10	0,0023	0,0053	0,0104	0,0181	0,0285	0,0413	0,0558	0,0710	0,0858	0,0993
11	0,0007	0,0019	0,0043	0,0082	0,0143	0,0225	0,0330	0,0452	0,0585	0,0722
12	0,0002	0,0006	0,0016	0,0034	0,0065	0,0113	0,0179	0,0263	0,0366	0,0481
13	0,0001	0,0002	0,0006	0,0013	0,0028	0,0052	0,0089	0,0142	0,0211	0,0296
14		0,0001	0,0002	0,0005	0,0011	0,0022	0,0041	0,0071	0,0113	0,0169
15			0,0001	0,0002	0,0004	0,0009	0,0018	0,0033	0,0057	0,0090
16					0,0001	0,0003	0,0007	0,0014	0,0026	0,0045
17						0,0001	0,0003	0,0006	0,0012	0,0021
18							0,0001	0,0002	0,0005	0,0009
19								0,0001	0,0002	0,0004
20									0,0001	0,0002
21										0,0001

Notă

^ (EN) Jan Gullberg, Matematica de la nașterea numerelor, WW Norton & Company, pp. 963-965, ISBN 978-0-393-04002-9 .
^ Filippo Siriani, Encyclopedia of Elementary Mathematics and Complements , vol. III, Milano, Hoepli Editore, 1954, p. 214.
^ ( DE ) Ladislaus von Bortkevič, Das Gesetz der kleinen Zahlen , Leipzig, BG Teubner, 1898, p. 1.
( EN ) Bortkiewicz prezintă celebra sa analiză a „4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten.” (4. Exemplu: cei uciși în armata prusiană printr-o lovitură de cal , la books.google.com , pp. 23-25.
^ (EN) Johnson, NL, Kotz, S. și Kemp, AW, Distribuții discrete univariate, ediția a II-a, Wiley, 1993, p. 157, ISBN 0-471-54897-9 .

Bibliografie

(EN) Donald E. Knuth , Seminumerical Algorithms, The Art of Computer Programming, Volumul 2, Addison-Wesley , 1969.
(EN) Ronald J. Evans, J. Boersma, NM Blachman, AA Jagers, The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6 , în SIAM Review, vol. 30, n. 2, 1988, pp. 314-317, DOI : 10.1137 / 1030059 .
Sheldon M. Ross, Probabilitate și statistici pentru inginerie și știință , Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2 .
Vincenzo Guerriero, Distribuția legii puterii: metodă de statistici inferențiale pe mai multe scări , în J. Mod. Math. Pr. , 2012, pp. 21-28.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere distribuite de Poisson

linkuri externe

( RO ) IUPAC Gold Book, „Poisson distribution” , pe goldbook.iupac.org .
(EN) Eric W. Weisstein, distribuția Poisson , în MathWorld Wolfram Research.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85103956 · GND (DE) 4253010-6 · NDL (EN, JA) 00.569.122

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Jan Gullberg, Matematica de la nașterea numerelor, WW Norton & Company, pp. 963-965, ISBN 978-0-393-04002-9 .

[2] Filippo Siriani, Encyclopedia of Elementary Mathematics and Complements , vol. III, Milano, Hoepli Editore, 1954, p. 214.

[3] ( DE ) Ladislaus von Bortkevič, Das Gesetz der kleinen Zahlen , Leipzig, BG Teubner, 1898, p. 1.
( EN ) Bortkiewicz prezintă celebra sa analiză a „4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten.” (4. Exemplu: cei uciși în armata prusiană printr-o lovitură de cal , la books.google.com , pp. 23-25.

[JKK157-4] (EN) Johnson, NL, Kotz, S. și Kemp, AW, Distribuții discrete univariate, ediția a II-a, Wiley, 1993, p. 157, ISBN 0-471-54897-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]