Funcție generatoare de momente

Funcția de generare a momentului este utilizată în teoria probabilității pentru a caracteriza variabilele aleatorii într-un mod abstract , permițând pe de o parte să extragă cu ușurință unii parametri (cum ar fi valoarea și varianța așteptate ) pe de altă parte să compare două variabile aleatoare diferite și să le vadă comportament în condiții extreme.

Funcția generatoare de moment g (t) a unei variabile aleatorii X este definită ca valoarea așteptată a $e^{tX}$ ${\ displaystyle e ^ {tX}}$ $și ^ {tX}$ , unde este finit (și acest lucru se poate întâmpla numai într-un vecinătate de 0, unde este 1 indiferent de X ). De fapt, această valoare așteptată ar putea fi infinită și în acest caz se spune pur și simplu că X nu are o funcție generatoare de moment.

Descriere

În cazul variabilelor aleatorii discrete , obținem:

\ g(t)={\mbox{E}}[e^{tX}]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}e^{tX_{i}}

{\ displaystyle \ g (t) = {\ mbox {E}} [e ^ {tX}] = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} e ^ {tX_ {i}}}

\ g (t) = \ mbox {E} [e ^ {tX}] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} p_ {i} e ^ {tX_ {i}}

în timp ce pentru variabilele aleatoare continue :

\ g(t)={\mbox{E}}[e^{tX}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)dx

{\ displaystyle \ g (t) = {\ mbox {E}} [e ^ {tX}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tx} f_ {X} (x) dx }

\ g (t) = \ mbox {E} [e ^ {tX}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tx} f_ {X} (x) dx

unde este $\ p_{i},\ i=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle \ p_ {i}, \ i = 1, \ ldots, n}$ $\ p_ {i}, \ i = 1, \ ldots, n$ , $f_{X}(x)$ ${\ displaystyle f_ {X} (x)}$ $f_ {X} (x)$ denotați funcțiile de masă ( densitatea în cazul continuu) ale variabilei aleatoare în cauză.

Din momentul în care funcția generatoare este posibilă derivarea momentelor simple de ordine k derivând k ori g (t) cu t = 0. Asta inseamna:

\ \mu _{1}={\frac {dg}{dt}}|_{t=0}=g'(0)

{\ displaystyle \ \ mu _ {1} = {\ frac {dg} {dt}} | _ {t = 0} = g '(0)}

\ \ mu_ {1} = \ frac {dg} {dt} | _ {t = 0} = g '(0)

\ \mu _{2}={\frac {d^{2}g}{dt^{2}}}|_{t=0}=g''(0)

{\ displaystyle \ \ mu _ {2} = {\ frac {d ^ {2} g} {dt ^ {2}}} | _ {t = 0} = g '' (0)}

\ \ mu_ {2} = \ frac {d ^ {2} g} {dt ^ {2}} | _ {t = 0} = g '' (0)

\ \ldots

{\ displaystyle \ \ ldots}

\ \ ldots

din ultima expresie de mai sus, de exemplu, se poate obține varianța .

Teoreme

De sine $\ X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ ${\ displaystyle \ X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}}$ $\ X_1, X_2, \ ldots, X_n$ sunt vc independente și $\ X$ ${\ displaystyle \ X}$ $\ X$ suma lor:

\ X=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}

{\ displaystyle \ X = X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}}

\ X = X_1 + X_2 + \ cdots + X_n

apoi funcția generatoare a momentelor de $\ X$ ${\ displaystyle \ X}$ $\ X$ este produsul funcțiilor generatoare ale momentelor celor singure $\ X_{i}$ ${\ displaystyle \ X_ {i}}$ $\ X_i$ :

\ g(t;X)=\prod _{i=1}^{n}g(t;X_{i})

{\ displaystyle \ g (t; X) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} g (t; X_ {i})}

\ g (t; X) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} g (t; X_ {i})

.

O a doua teoremă importantă este următoarea

Dacă două variabile aleatoare pe același spațiu de probabilitate au aceeași funcție de generare a momentului, atunci cele două variabile aleatoare coincid.

Bibliografie

Giorgio Dall'Aglio, Calculul probabilităților , Zanichelli, Bologna, 2003

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică