Proces stochastic

În matematică , mai exact în teoria probabilităților , un proces stocastic (sau proces aleatoriu ) este versiunea probabilistică a conceptului de sistem dinamic . Un proces stochastic este un set ordonat de funcții reale ale unui anumit parametru (de obicei timpul ) care are anumite proprietăți statistice . În general, este posibil să se identifice acest proces ca o familie cu un parametru de variabile aleatoare reale $X(t)$ ${\ displaystyle X (t)}$ $X (t)$ reprezentând transformările de la starea inițială la starea după un anumit timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Mai precis, aceasta se bazează pe o variabilă aleatorie care depășește limita numerelor reale (cum ar fi, $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ Sau spații funcționale sau secvențe de numere reale). Procesele aleatorii sunt o extensie a conceptului de variabilă aleatorie atunci când parametrul timp este, de asemenea, luat în considerare.

Descriere

Din punct de vedere practic, un proces stochastic este o formă de reprezentare a unei mărimi care variază în timp într-un mod aleatoriu (de exemplu un semnal electric care conține informații sau modulat , numărul de mașini care trec peste un pod etc.) și cu anumite caracteristici. Prin efectuarea unor teste (sau observații) repetate ale aceluiași proces, se obțin tendințe diferite în timp (realizări de proces); observând diferitele realizări într-o clipă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ se obține o variabilă aleatorie $X(t)$ ${\ displaystyle X (t)}$ $X (t)$ care include diferitele valori pe care procesul le poate asuma în acel moment. Aceste valori vor avea o valoare medie, care, în cazul unei variabile aleatorii gaussiene, va constitui valoarea în centrul „clopotului” gaussian în momentul respectiv $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Prin urmare, pentru fiecare moment este posibil să se definească o variabilă aleatorie, o Gaussiană sau alta, care reprezintă cea mai probabilă valoare a procesului cu indicele de deviație relativă sau deviația standard.

Concepte și definiții

Un proces stocastic este definit ca o familie de variabile aleatorii $\{X(t),t\in T\subseteq \mathbb {R} _{+}\}$ ${\ displaystyle \ {X (t), t \ in T \ subseteq \ mathbb {R} _ {+} \}}$ $\ {X (t), t \ in T \ subseteq \ mathbb {R} _ {+} \}$ dependent de timp, definit pe un spațiu eșantion ${\Omega }$ ${\ displaystyle {\ Omega}}$ ${\ Omega}$ și care iau valori într-un spațiu definit al stărilor procesului . Un proces stochastic este deci un set de funcții care evoluează în timp (așa-numitele funcții eșantioane sau realizări ), fiecare dintre ele fiind asociat cu un anumit element al spațiului eșantion, astfel încât rezultatul unui experiment aleatoriu corespunde efectiv extragerea uneia dintre aceste funcții.

Privind la un moment dat ${\tilde {t}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {t}}}$ ${\ tilde {t}}$ , este posibil să se identifice valori în general diferite, fiecare referitoare la o realizare specifică și, prin urmare, la un element al spațiului eșantion: $X({\tilde {t}})$ ${\ displaystyle X ({\ tilde {t}})}$ $X ({\ tilde {t}})$ este apoi o variabilă aleatorie și reprezintă „fotografia” procesului stochastic într-un moment dat; de aceea, în ceea ce privește o variabilă aleatorie simplă, oferă și informații despre evoluția temporală.

Pentru a descrie un proces aleator este suficient să se utilizeze funcția de densitate a probabilității comune , sau, în mod similar, funcția de distribuție a probabilității comune , a variabilelor aleatoare $\{X(t_{1}),X(t_{2}),\ldots ,X(t_{n})\}$ ${\ displaystyle \ {X (t_ {1}), X (t_ {2}), \ ldots, X (t_ {n}) \}}$ $\ {X (t_ {1}), X (t_ {2}), \ ldots, X (t_ {n}) \}$ .

Spațiul variabilei de timp, adică setul $T=\{t_{i},i=1,2,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle T = \ {t_ {i}, i = 1,2, \ ldots, n \}}$ $T = \ {t_ {i}, i = 1,2, \ ldots, n \}$ , poate fi continuu sau discret: în primul caz vorbim despre un proces stocastic „continuu în timp” (sau proces stocastic în timp continuu), în timp ce în al doilea caz vorbim despre un proces stocastic „în timp discret” (sau proces stocastic în timp discret). Alternativ, se folosește formularea „proces stocastic cu parametru discret” sau „continuu”.

Setul de valori pe care realizările îl pot asuma constituie spațiul de stare menționat mai sus al procesului și reprezintă „situațiile” descrise de variabilele aleatorii și indicate de exemplu de $s_{0},s_{1},s_{2},\ldots$ ${\ displaystyle s_ {0}, s_ {1}, s_ {2}, \ ldots}$ $s_ {0}, s_ {1}, s_ {2}, \ ldots$ . Acest set poate fi continuu sau discret: în acest din urmă caz, ceea ce implică contabilitatea stărilor, procesul aleatoriu se numește lanț.

Dacă variabila aleatorie este discretă atunci vorbim de „ proces stochastic discret ”, dacă în schimb este o variabilă continuă aleatorie atunci vorbim de „ proces stochastic continuu ” (implicit „în spațiul evenimentelor”).

Procesele stochastice se disting în procese markoviene și non-markoviene în funcție de faptul dacă legea probabilității care determină trecerea de la o stare la alta (probabilitate de tranziție) depinde numai de starea de pornire ( procesul markovian ) sau chiar de stările care o precedă (non- Procesul Markov).

Dacă probabilitatea de tranziție depinde de stările anterioare, dar nu depinde în mod explicit de timpul t , atunci vorbim de un proces stocastic omogen .

Procesele ciclostationare stochastice sunt utilizate pentru a descrie procesele generate de fenomene periodice.

Exemplu introductiv

Să presupunem că vrem să definim matematic dinamica unui punct care se deplasează pe o linie cu o lege probabilistică dată. Un proces stocastic poate fi definit ca o colecție de variabile aleatorii $\{S_{t},t\in \mathbb {R} \}$ ${\ displaystyle \ {S_ {t}, t \ in \ mathbb {R} \}}$ $\ {S_ {t}, t \ in \ mathbb {R} \}$ , unde pentru fiecare valoare de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , $S_{t}$ ${\ displaystyle S_ {t}}$ $S_ {t}$ este variabila (reală) aleatorie care exprimă legea probabilistică a punctului luat în considerare la timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Dacă definiți $S_{t}$ ${\ displaystyle S_ {t}}$ $S_ {t}$ ca soluție la ecuația diferențială stocastică

dS_{t}=-\mu S_{t}dt+\sigma dW_{t},

{\ displaystyle dS_ {t} = - \ mu S_ {t} dt + \ sigma dW_ {t},}

{\ displaystyle dS_ {t} = - \ mu S_ {t} dt + \ sigma dW_ {t},}

unde este $\mu \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ , $\sigma \in \mathbb {R} _{>0}$ ${\ displaystyle \ sigma \ in \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ in \ mathbb {R} _ {> 0}}$ Și $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ denotă procesul Wiener, atunci $(S_{t})_{t}$ ${\ displaystyle (S_ {t}) _ {t}}$ $(S_ {t}) _ {t}$ definește procesul Ornstein-Uhlenbeck .

Bibliografie

( EN ) Malempati Madhusudana Rao (1995): Procese stochastice: teorie generală , Kluwer, ISBN 0-7923-3725-5
( EN ) Kiyoshi Itō (2004): Procese stochastice , Springer, ISBN 3-540-20482-2
( EN ) GE Uhlenbeck și LS Ornstein, Despre teoria mișcării browniene , în Phys. Rev. , vol. 36, 1930, pp. 823-841, DOI : 10.1103 / PhysRev . 36.823 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Proces stochastic , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( DE ) Quantenphysik und Indeterminismus , pe philo.at . Adus la 22 decembrie 2009 (arhivat din original la 23 mai 2012) .
( EN ) Problema indeterminismului , pe informationphilosopher.com .
Indeterminism , pe indeterminism.bravehost.com . Adus la 6 noiembrie 2018 (Arhivat din original la 4 martie 2016) .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 20545 · LCCN (EN) sh85128181 · GND (DE) 4057630-9 · BNF (FR) cb119326416 (dată) · BNE (ES) XX4576445 (dată) · NDL (EN, JA) 00.564.752

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică