Funcția Càdlàg

Funcțiile de distribuție sunt un exemplu de funcții càdlàg

În matematică , o funcție càdlàg ( acronim din franceză continue à droite, limitée à gauche , care înseamnă continuă la dreapta, limitată la stânga ; în italiană uneori scris cadlag ) este o funcție a unei variabile reale care este continuă în fiecare punct din dreapta și posedă limita stângă terminată.

Funcțiile Càdlàg apar în mod natural ca funcții de distribuție . Prin urmare, ele apar în studiul proceselor stochastice care admit traiectorii cu discontinuități de primul fel .

Exemple

Toate funcțiile continue sunt în mod natural càdlàg.
Toate funcțiile de distribuție sunt càdlàg. ^[1]

Spațiul Skorokhod

Spațiul tuturor funcțiilor càdlàg pe un anumit domeniu $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ la valori în spațiul metric $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ se numește spațiul Skorokhod . Se notează cu $D(E;M)$ ${\ displaystyle D (E; M)}$ ${\ displaystyle D (E; M)}$ . Acest spațiu poate fi prevăzut cu o topologie . Pentru simplitate, să considerăm intervalul ca domeniu $[0,T]$ ${\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ spațiul euclidian finit și real ca codomain .

Mai întâi trebuie să definim un analog al modulului de continuitate . Pentru fiecare $F\subseteq E$ ${\ displaystyle F \ subseteq E}$ ${\ displaystyle F \ subseteq E}$ , este

w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|

{\ displaystyle w_ {f} (F): = \ sup _ {s, t \ in F} | f (s) -f (t) |}

{\ displaystyle w_ {f} (F): = \ sup _ {s, t \ in F} | f (s) -f (t) |}

oscilația $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ; pentru $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ , apoi definim modulul càdlàg ca

\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),

{\ displaystyle \ varpi '_ {f} (\ delta): = \ inf _ {\ Pi} \ max _ {1 \ leq i \ leq k} w_ {f} ([t_ {i-1}, t_ { }}),}

{\ displaystyle \ varpi '_ {f} (\ delta): = \ inf _ {\ Pi} \ max _ {1 \ leq i \ leq k} w_ {f} ([t_ {i-1}, t_ { }}),}

unde limita inferioară se face pe toate partițiile $\Pi$ ${\ displaystyle \ Pi}$ $\ Pi$ interval $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ cu plasă mai mică de $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ . Poți dovedi asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este càdlàg dacă și numai dacă $\varpi '_{f}(\delta )\to 0$ ${\ displaystyle \ varpi '_ {f} (\ delta) \ to 0}$ ${\ displaystyle \ varpi '_ {f} (\ delta) \ to 0}$ cand $\delta \to 0$ ${\ displaystyle \ delta \ to 0}$ ${\ displaystyle \ delta \ to 0}$ .

Prin urmare, definim distanța Skorokhod ca fiind

\sigma (f,g):=\inf _{\lambda }\max\{\|\lambda -id_{E}\|_{\infty },\|f-g\circ \lambda \|_{\infty }\}

{\ displaystyle \ sigma (f, g): = \ inf _ {\ lambda} \ max \ {\ | \ lambda -id_ {E} \ | _ {\ infty}, \ | fg \ circ \ lambda \ | _ {\ infty} \}}

{\ displaystyle \ sigma (f, g): = \ inf _ {\ lambda} \ max \ {\ | \ lambda -id_ {E} \ | _ {\ infty}, \ | fg \ circ \ lambda \ | _ {\ infty} \}}

,

unde este $id_{E}$ ${\ displaystyle id_ {E}}$ ${\ displaystyle id_ {E}}$ este identitatea $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , $\|\cdot \|_{\infty }$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$ este norma uniformă și $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ Acesta variază pe ansamblul tuturor bijecțiilor continue strict monotone $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Arată asta de fapt $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este o metrică. Topologia indusă se numește topologia Skorokhod .

Intuitiv, termenul $\|\lambda -id_{E}\|_{\infty }$ ${\ displaystyle \ | \ lambda -id_ {E} \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | \ lambda -id_ {E} \ | _ {\ infty}}$ măsoară „denaturarea în timp” și termenul $\|f-g\circ \lambda \|_{\infty }$ ${\ displaystyle \ | fg \ circ \ lambda \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | f-g \ circ \ lambda \ | _ {\ infty}}$ „distorsiunea în spațiu”.

Proprietate

Spaţiu $D(E;M)$ ${\ displaystyle D (E; M)}$ ${\ displaystyle D (E; M)}$ conține spațiu $C(E;M)$ ${\ displaystyle C (E; M)}$ ${\ displaystyle C (E; M)}$ a funcțiilor continue. Pe acest subspațiu topologia Skorokhod și topologia uniformă coincid.

Metrica $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ nu face spațiul Skorokhod complet ; cu toate acestea, există un echivalent metric cu $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ deci acest lucru este adevărat. Această valoare (și, prin urmare, de asemenea $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ ) face, de asemenea $D(E;M)$ ${\ displaystyle D (E; M)}$ ${\ displaystyle D (E; M)}$ un spațiu separabil și, prin urmare, un spațiu polonez .

Ca aplicație a teoremei lui Ascoli , se poate demonstra că o succesiune de măsuri de probabilitate pe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este strâns doar dacă următoarele două condiții sunt adevărate:

$\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,$ ${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} \ {f \ in D | \ | f \ | \ geq a \} = 0,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} \ {f \ in D | \ | f \ | \ geq a \} = 0,}$
$\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} \ {f \ in D | \ varpi '_ {f} (\ delta) \ geq \ varepsilon \} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} \ {f \ in D | \ varpi '_ {f} (\ delta) \ geq \ varepsilon \} = 0}$

cu al doilea valabil pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ .

Notă

^ Acest lucru este adevărat dacă, așa cum este utilizat pe scară largă, o funcție de distribuție este definită de formulă $F(x)=P(x\leq x)$ ${\ displaystyle F (x) = P (x \ leq x)}$ ${\ displaystyle F (x) = P (x \ leq x)}$ . Proprietatea scade dacă este definită $F(x)=P(X<x)$ ${\ displaystyle F (x) = P (X <x)}$ ${\ displaystyle F (x) = P (X <x)}$ , deoarece se dovedește a fi o funcție continuă în stânga și cu limită finită în dreapta.

Bibliografie

Billingsley, Patrick (1995). Probabilitate și măsură. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc .. ISBN 0-471-00710-2 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Acest lucru este adevărat dacă, așa cum este utilizat pe scară largă, o funcție de distribuție este definită de formulă $F(x)=P(x\leq x)$ ${\ displaystyle F (x) = P (x \ leq x)}$ ${\ displaystyle F (x) = P (x \ leq x)}$ . Proprietatea scade dacă este definită $F(x)=P(X<x)$ ${\ displaystyle F (x) = P (X <x)}$ ${\ displaystyle F (x) = P (X <x)}$ , deoarece se dovedește a fi o funcție continuă în stânga și cu limită finită în dreapta.

[1]