Partiția unui interval

În matematică, partiția unui interval real este un set de puncte din intervalul care îl împarte în sub-intervale. Conceptul de partiție este utilizat pentru a defini numeroase concepte, cum ar fi integrala Riemann și lungimea unui arc .

Dacă intervalul este $I=[a,b]$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$ $I = [a, b]$ partiția de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Este un set $\rho =\{t_{i}\}_{i=0}^{n}$ ${\ displaystyle \ rho = \ {t_ {i} \} _ {i = 0} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ {t_ {i} \} _ {i = 0} ^ {n}}$

\rho =\{t_{i}\in [a,b]:a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\}

{\ displaystyle \ rho = \ {t_ {i} \ în [a, b]: a = t_ {0} <t_ {1} <\ ldots <t_ {n} = b \}}

{\ displaystyle \ rho = \ {t_ {i} \ în [a, b]: a = t_ {0} <t_ {1} <\ ldots <t_ {n} = b \}}

Partiția gamei $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ definește în mod natural subgrupurile de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , De exemplu:

I_{0}=[t_{0},t_{1}),I_{1}=[t_{1},t_{2}),\ldots ,I_{n-1}=[t_{n-1},t_{n})

{\ displaystyle I_ {0} = [t_ {0}, t_ {1}), I_ {1} = [t_ {1}, t_ {2}), \ ldots, I_ {n-1} = [t_ { n-1}, t_ {n})}

{\ displaystyle I_ {0} = [t_ {0}, t_ {1}), I_ {1} = [t_ {1}, t_ {2}), \ ldots, I_ {n-1} = [t_ { n-1}, t_ {n})}

care constituie o partiție particulară a întregului $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Este clar că amplitudinile intervalelor individuale ( $\Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}$ ${\ displaystyle \ Delta t_ {i} = t_ {i + 1} -t_ {i}}$ ${\ displaystyle \ Delta t_ {i} = t_ {i + 1} -t_ {i}}$ ) nu trebuie neapărat să fie la fel.

Lățimea unei partiții

Lățimea (sau rețeaua ) partiției $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este definit ca:

|\rho |=\max _{1\leq i\leq n}\Delta t_{i}=\max _{1\leq i\leq n}(t_{i+1}-t_{i})

{\ displaystyle | \ rho | = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} \ Delta t_ {i} = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} (t_ {i + 1} -t_ {i })}

{\ displaystyle | \ rho | = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} \ Delta t_ {i} = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} (t_ {i + 1} -t_ {i })}

Dimensiunea unei partiții este utilizată în sumele Riemann .

Relațiile dintre partiții

De asemenea, pot fi comparate două partiții: o partiție $\pi '$ ${\ displaystyle \ pi '}$ ${\ displaystyle \ pi '}$ este mai fin decât altul $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ dacă punctele de $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ sunt cu toții prezenți printre cei din $\pi '$ ${\ displaystyle \ pi '}$ ${\ displaystyle \ pi '}$ , adică dacă:

\pi \subseteq \pi '.

{\ displaystyle \ pi \ subseteq \ pi '.}

{\ displaystyle \ pi \ subseteq \ pi '.}

Se spune că $\pi '$ ${\ displaystyle \ pi '}$ ${\ displaystyle \ pi '}$ este un rafinament al $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Mai mult, este evident că, dacă punctele a două partiții sunt unite, noua partiție astfel obținută este mai fină, sau cel puțin în același mod, decât cele anterioare. Această relație este indicată cu $\left.\ {\pi '}\right\}\pi$ ${\ displaystyle \ left. \ {\ pi '} \ right \} \ pi}$ ${\ displaystyle \ left. \ {\ pi '} \ right \} \ pi}$ . Evident, se aplică următoarele:

|\rho (\pi ')|\leq |\rho (\pi )|

{\ displaystyle | \ rho (\ pi ') | \ leq | \ rho (\ pi) |}

{\ displaystyle | \ rho (\ pi ') | \ leq | \ rho (\ pi) |}

ceea ce justifică denumirea de „rafinament”.

Exemplu

Având în vedere intervalul $[0,10]$ ${\ displaystyle [0,10]}$ ${\ displaystyle [0,10]}$ o partiție poate fi $\{0,2,6,10\}$ ${\ displaystyle \ {0,2,6,10 \}}$ ${\ displaystyle \ {0,2,6,10 \}}$ , un rafinament $\{0,1,2,5,6,7,10\}$ ${\ displaystyle \ {0,1,2,5,6,7,10 \}}$ ${\ displaystyle \ {0,1,2,5,6,7,10 \}}$ . Lățimea primei partiții este 4, a rafinamentului 3.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică