Riemann-Stieltjes integral

În analiza matematică , integralul Riemann-Stieltjes este o generalizare a integralei Riemann . Integrala poartă numele matematicienilor Bernhard Riemann și Thomas Joannes Stieltjes .

O generalizare a acestui operator este dată de integralul Lebesgue-Stieltjes .

Definiție

Dă două funcții variabile reale $f,\,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f, \, g: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f, \, g: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ , este $x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{i}<\ldots <x_{n}=b$ ${\ displaystyle x_ {0} = a <x_ {1} <x_ {2} <\ ldots <x_ {i} <\ ldots <x_ {n} = b}$ ${\ displaystyle x_ {0} = a <x_ {1} <x_ {2} <\ ldots <x_ {i} <\ ldots <x_ {n} = b}$ o partiție a intervalului $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ . Luați în considerare un punct din fiecare dintre sub-intervalele definite de partiție $c_{i}\in \left[x_{i},x_{i+1}\right]$ ${\ displaystyle c_ {i} \ in \ left [x_ {i}, x_ {i + 1} \ right]}$ ${\ displaystyle c_ {i} \ in \ left [x_ {i}, x_ {i + 1} \ right]}$ . Calibrul $\delta (P)$ ${\ displaystyle \ delta (P)}$ ${\ displaystyle \ delta (P)}$ partiție $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este amplitudinea maximă dintre sub-intervalele partiției:

\delta (P)=\max _{x_{i}\in P}|x_{i+1}-x_{i}|

{\ displaystyle \ delta (P) = \ max _ {x_ {i} \ în P} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}

{\ displaystyle \ delta (P) = \ max _ {x_ {i} \ în P} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}

Integrala Riemann-Stieltjes a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în comparație cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , notat cu:

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} g (x)}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} g (x)}

este definit ca următoarea limită :

\lim _{\delta (P)\rightarrow 0}\sum _{x_{i}\in P}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i}))

{\ displaystyle \ lim _ {\ delta (P) \ rightarrow 0} \ sum _ {x_ {i} \ în P} f (c_ {i}) (g (x_ {i + 1}) - g (x_ { }})}

{\ displaystyle \ lim _ {\ delta (P) \ rightarrow 0} \ sum _ {x_ {i} \ în P} f (c_ {i}) (g (x_ {i + 1}) - g (x_ { }})}

dacă există independent de alegerea punctelor $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ $Acolo}$ . Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este definit integranda , în timp ce $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este funcția de integrare .

Există mai multe teoreme privind existența limitei definite mai sus; cea mai simplă condiție de existență stabilește că funcția de integrare este continuă , iar funcția de integrare este de variație limitată ; ultima condiție este echivalentă cu a cere asta $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ fie diferența dintre două funcții monotone . O altă condiție a existenței este că cele două funcții nu împărtășesc niciun punct de discontinuitate .

Legături cu alte tipuri de integrale

Pentru ca integrala definită mai sus să existe, sunt necesare condiții mai slabe decât cele ale integralei Riemann. Dacă funcția $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este elegant $C^{1}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $C ^ 1$ , care este diferențiată și cu derivată continuă, integrala definită mai sus coincide cu integrala Riemann:

\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g ^ {\ prime} (x) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g ^ {\ prime} (x) \ mathrm {d} x}

În general, însă, funcția de integrare poate prezenta discontinuități de salt sau alte nereguli care fac imposibilă utilizarea expresiei care conține derivata sa (cum ar fi în cazul funcției Cantor ). Este astfel posibil să se extindă noțiunea de integrabilitate și la multe cazuri care nu pot fi tratate prin integrala Riemann. În plus, toate proprietățile uzuale ale integralei Riemann sunt valabile pentru integrala Riemann-Stieltjes.

Este posibil să se extindă în continuare clasa funcțiilor integrabile luând în considerare integralul Lebesgue ; totuși, dacă sunt admise integrale necorespunzătoare , acestea din urmă nu pot fi considerate în sens strict ca o generalizare a integralei Riemann-Stieltjes. Integrala Lebesgue-Stieltjes constituie generalizarea integralelor Riemann-Stieltjes și Lebesgue.

Aplicații

Integrala Riemann-Stiltjes își găsește aplicația în multe domenii ale matematicii și fizicii , unde sunt întâlnite funcții neintegrabile conform Riemann.

Fizică

În fizică este posibil să se exprime numeroase cantități prin intermediul integralelor; de exemplu, masa unui obiect poate fi exprimată ca o sumă infinită a maselor infinitesimale care îl compun sau ca produs al densității și volumului:

M=\int \mathrm {d} \mu =\int \rho \mathrm {d} V

{\ displaystyle M = \ int \ mathrm {d} \ mu = \ int \ rho \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle M = \ int \ mathrm {d} \ mu = \ int \ rho \ mathrm {d} V}

Cu toate acestea, prima expresie are sens doar dacă masa are o distribuție continuă în spațiu ; a doua, dacă este calculată ca o integrală Riemann-Stieltjes, permite să dea sens integralei chiar și în cazul distribuțiilor de masă discontinue (de exemplu, punctiforme).

Distribuții de probabilitate

Luați în considerare o funcție de distribuție $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ a unei variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ; derivatul de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este densitatea sa de probabilitate . Având o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de aici și valoarea așteptată $E(|f(X)|)$ ${\ displaystyle E (| f (X) |)}$ ${\ displaystyle E (| f (X) |)}$ este terminat, formula conține:

E(f(X))=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle E (f (X)) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) g ^ {\ prime} (x) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle E (f (X)) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) g ^ {\ prime} (x) \ mathrm {d} x}

Dacă pentru variabila aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu este posibil să se definească o funcție de densitate a probabilității (de exemplu dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are o distribuție discretă), formula de mai sus nu poate fi aplicată; folosind integralul Riemann-Stieltjes, se poate exprima în schimb valoarea așteptată a $f(X)$ ${\ displaystyle f (X)}$ $f (X)$ ca:

E(f(X))=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} g

{\ displaystyle E (f (X)) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {d} g}

{\ displaystyle E (f (X)) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {d} g}

pentru orice distribuție cumulativă de probabilitate.

Analiza funcțională

Spațiul dual al spațiului Banach al funcțiilor continue $C[a,b]$ ${\ displaystyle C [a, b]}$ $Taxi]$ pe interval $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ poate fi reprezentat ca spațiul format de integralele Riemann-Stieltjes cu privire la funcțiile cu variație mărginită.

Bibliografie

(EN) Georgii Evgen'evich Shilov , BL Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Dover Publications, 1978, ISBN 0-486-63519-8 .
( EN ) Daniel W. Stroock, O introducere concisă la teoria integrării , ediția a III-a, Birkhauser, 1998, ISBN 0-8176-4073-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Eric W. Weisstein, Stieltjes Integral in MathWorld Wolfram Research.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 57355 · LCCN (EN) sh85067114 · BNF (FR) cb131634255 (data)

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy