Funcția de probabilitate

În teoria probabilității, funcția probabilității $p_{X}(x)$ ${\ displaystyle p_ {X} (x)}$ $p_ {X} (x)$ , sau funcția de masă a probabilității , sau densitatea discretă a unei variabile aleatorii discrete $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o funcție variabilă reală care atribuie fiecare valoare posibilă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ probabilitatea evenimentului elementar $(X=x)$ ${\ displaystyle (X = x)}$ $(X = x)$ .

În cazul variabilei aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este continuu , adică setul de valori posibile are puterea de continuu , atunci această probabilitate este întotdeauna zero. Prin urmare, în cazul continuu, se utilizează funcția de distribuție și derivata sa, funcția densității probabilității .

Definiție

Având în vedere o variabilă discretă aleatorie $X:S\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle X: S \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X: S \ rightarrow \ mathbb {R}}$ , funcția de probabilitate este funcția

p_{X}(x)=P(X=x)=P(\{s\in S:X(s)=x\}).

{\ displaystyle p_ {X} (x) = P (X = x) = P (\ {s \ în S: X (s) = x \}).}

p_ {X} (x) = P (X = x) = P (\ {s \ în S: X (s) = x \}).

care se asociază cu fiecare valoare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ asumată de variabila aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ probabilitatea ca variabila $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ asumă exact acea valoare. Mai mult, următoarea ecuație trebuie îndeplinită: $\Sigma _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {\ infty} p_ {X} (x_ {i}) = 1}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {\ infty} p_ {X} (x_ {i}) = 1}$
Pentru a extinde această definiție la întreaga linie reală , se presupune că pentru fiecare valoare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ acea $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu poate presupune (adică nu este conținut în suportul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ) este 0, adică:

p_{X}:\mathbb {R} \longrightarrow [0,1],\,p_{X}(x)={\begin{cases}P(X=x),&x\in S,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash S.\end{cases}}

{\ displaystyle p_ {X}: \ mathbb {R} \ longrightarrow [0,1], \, p_ {X} (x) = {\ begin {cases} P (X = x), & x \ în S, \ \ 0, & x \ in \ mathbb {R} \ backslash S. \ end {cases}}}

p_ {X}: \ mathbb {R} \ longrightarrow [0,1], \, p_ {X} (x) = {\ begin {cases} P (X = x), & x \ în S, \\ 0 , & x \ in {\ mathbb {R}} \ backslash S. \ end {cases}}

De cand $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , sprijinul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , este un set numărabil , $p_{X}(x)$ ${\ displaystyle p_ {X} (x)}$ $p_ {X} (x)$ este o funcție nulă aproape peste tot .

În cazul variabilelor discrete multivariate (adică cu suport un subset discret de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ) $X=(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ ${\ displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n})}$ $X = (X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n})$ , funcția de probabilitate comună este definită după cum urmează:

p_{X}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=P((X_{1}=x_{1})\cap (X_{2}=x_{2})\cap \ldots \cap (X_{n}=x_{n}))

{\ displaystyle p_ {X} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = P ((X_ {1} = x_ {1}) \ cap (X_ {2} = x_ { 2}) \ cap \ ldots \ cap (X_ {n} = x_ {n}))}}

p_ {X} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = P ((X_ {1} = x_ {1}) \ cap (X_ {2} = x_ {2}) \ cap \ ldots \ cap (X_ {n} = x_ {n}))

Al doilea membru este adesea scris mai simplu pentru comoditatea notării $P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},...,X_{n}=x_{n})$ ${\ displaystyle P (X_ {1} = x_ {1}, X_ {2} = x_ {2}, ..., X_ {n} = x_ {n})}$ $P (X_ {1} = x_ {1}, X_ {2} = x_ {2}, ..., X_ {n} = x_ {n})$

Marginală Funcția de probabilitate a componentei j- - lea este obținută datorită teoremei de probabilitate absolută . Fie n = 2 pentru simplitate; de atunci $(X=t)=(X=t)\cap \Omega$ ${\ displaystyle (X = t) = (X = t) \ cap \ Omega}$ $(X = t) = (X = t) \ cap \ Omega$ derivă din ea

p_{X}(t)=P(X=t,Y\in \mathbb {R} )=\sum _{y\in R_{Y}}P(X=t,Y=y)

{\ displaystyle p_ {X} (t) = P (X = t, Y \ in \ mathbb {R}) = \ sum _ {y \ in R_ {Y}} P (X = t, Y = y)}

p_ {X} (t) = P (X = t, Y \ in \ mathbb {R}) = \ sum _ {{y \ in R_ {Y}}} P (X = t, Y = y)

Relațiile cu funcția de distribuție

Dacă indicăm cu $F_{X}$ ${\ displaystyle F_ {X}}$ $F_ {X}$ funcția de distribuție a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , asa de:

$p_{X}(x)=F_{X}(x)-F_{X}(x^{-})$ ${\ displaystyle p_ {X} (x) = F_ {X} (x) -F_ {X} (x ^ {-})}$ $p_ {X} (x) = F_ {X} (x) -F_ {X} (x ^ {-})$ , unde cu $F_{X}(x^{-})$ ${\ displaystyle F_ {X} (x ^ {-})}$ $F_ {X} (x ^ {-})$ indicăm limita din stânga a lui F _X în x.

Din aceasta rezultă că, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o variabilă continuă aleatorie , această valoare este nulă în orice punct, deoarece funcția sa de distribuție este continuă. Prin urmare, are sens să definim această funcție numai pentru variabilele aletorii discrete.

$F_{X}(x)=\sum _{\xi \leq x}p_{X}(\xi )$ ${\ displaystyle F_ {X} (x) = \ sum _ {\ xi \ leq x} p_ {X} (\ xi)}$ $F_ {X} (x) = \ sum _ {{\ xi \ leq x}} p_ {X} (\ xi)$

Un caz foarte special de densitate

Același subiect în detaliu: funcția densității probabilității .

Funcția de probabilitate poate fi gândită ca o densitate, adică în termeni integrali , grație abordării axiomatice a lui Kolmogorov care se bazează pe teoria măsurării : de fapt, dacă ne gândim să potrivim spațiul eșantionului $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ thecount measure (numărare măsură în engleză ) $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ rezultă:

P(X\in A)=\sum _{x\in A}p_{X}(x)=\sum _{x\in A}p_{X}(x)\cdot 1=\sum _{x\in A}p_{X}(x)\cdot c(\{x\})=\int _{\bigcup _{x\in A}\{x\}}p(x)dc=\int _{A}p(x)dc

{\ displaystyle P (X \ in A) = \ sum _ {x \ in A} p_ {X} (x) = \ sum _ {x \ in A} p_ {X} (x) \ cdot 1 = \ sum _ {x \ in A} p_ {X} (x) \ cdot c (\ {x \}) = \ int _ {\ bigcup _ {x \ in A} \ {x \}} p (x) dc = \ int _ {A} p (x) dc}

P (X \ in A) = \ sum _ {{x \ in A}} p_ {X} (x) = \ sum _ {{x \ in A}} p_ {X} (x) \ cdot 1 = \ sum _ {{x \ in A}} p_ {X} (x) \ cdot c (\ {x \}) = \ int _ {{\ bigcup _ {{x \ in A}} \ {x \}} } p (x) dc = \ int _ {A} p (x) dc

adică funcția de probabilitate se dovedește a fi o densitate față de măsura numărului, diferită de cea a lui Lebesgue .

Această observație permite în primul rând să unifice, atunci când este convenabil, cele două clase mari de variabile discrete și continue într-un singur tratament din punct de vedere al densității (pentru o măsură adecvată) și apoi evită apariția unor probleme de natură teoretică atunci când se consideră variabile aleatorii vector de tip $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ , unde unul dintre cele două este discret și celălalt este continuu: furnizați doar spațiul eșantion produs de măsură $c\times \mu$ ${\ displaystyle c \ times \ mu}$ $c \ times \ mu$ (in caz $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ discret), unde $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ va fi măsura obișnuită a lui Lebesgue.

linkuri externe

( EN ) Funcția de probabilitate / Funcția de probabilitate (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică