Cardinalitate continuă

În matematică, cardinalitatea continuumului este numărul cardinal al mulțimii numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (care se numește uneori continuum ). Acest număr cardinal este adesea menționat împreună cu caracterul ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c$ :

{\mathfrak {c}}=|\mathbb {R} |

{\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = | \ mathbb {R} |}

\ mathfrak c = | \ mathbb {R} |

Proprietate

Nenumărabil

Georg Cantor a introdus conceptul de cardinalitate a unui set pentru a compara dimensiunile mulțimilor infinite. El a dovedit că setul numerelor reale este de nenumărat , adică că ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c$ este mai mare decât cardinalitatea numerelor naturale , indicată cu $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ ( aleph-zero ):

\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.

{\ displaystyle \ aleph _ {0} <{\ mathfrak {c}}.}

\ aleph_0 <\ mathfrak c.

Cu alte cuvinte, numerele reale sunt mult mai multe (nemăsurabil mai multe) decât numerele întregi: atât de mult încât acestea din urmă pot fi numărate, în timp ce numerele reale nu pot (de exemplu, este perfect legitim să vorbim despre „primele 100 de numere întregi”; același lucru expresia aplicată numerelor reale nu are sens).

Cantor a dovedit această afirmație folosind o tehnică cunoscută sub numele de argument diagonal .

Egalități între numerele cardinale

O variantă a argumentului diagonal al lui Cantor poate fi utilizată pentru a demonstra teorema lui Cantor , care afirmă că cardinalitatea oricărui set este strict mai mică decât cea a setului său de părți , și anume $|A|<2^{|A|}$ ${\ displaystyle | A | <2 ^ {| A |}}$ $| A | <2 ^ {| A |}$ . Se poate concluziona că setul de piese ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}$ $\ mathcal {P} (\ mathbb {N})$ a mulțimii numerelor naturale $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ este de nenumărat. Prin urmare, este firesc să ne întrebăm dacă cardinalitatea lui ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}$ $\ mathcal {P} (\ mathbb {N})$ este egal cu ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c$ . Raspunsul este da. Această afirmație poate fi dovedită în doi pași:

Acesta definește o aplicație $f:\mathbb {R} \to {\mathcal {P}}(\mathbb {Q} )$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to {\ mathcal {P}} (\ mathbb {Q})}$ $f: \ mathbb {R} \ to \ mathcal {P} (\ mathbb {Q})$ de la mulțimea numerelor reale la mulțimea părților numerelor raționale pe care le asociază cu fiecare număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ întregul $\{q\in \mathbb {Q} |q\leq x\}$ ${\ displaystyle \ {q \ in \ mathbb {Q} | q \ leq x \}}$ $\ {q \ in \ mathbb {Q} | q \ le x \}$ dintre toate raționalele mai mici sau egale cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (dacă luăm în considerare realele construite prin intermediul secțiunilor Dedekind , această aplicație nu este altceva decât includerea în setul de seturi de numere raționale). Această aplicație este injectivă , deoarece raționalele sunt dense în reali. Deoarece raționalele sunt numărabile, obținem acest lucru ${\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} \ leq 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ $\ mathfrak c \ le 2 ^ {\ aleph_0}$ .
Este $\{0,2\}^{\mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {0,2 \} ^ {\ mathbb {N}}}$ $\ {0,2 \} ^ \ mathbb {N}$ setul de secvențe care își asumă valorile în ansamblu $\{0,2\}$ ${\ displaystyle \ {0,2 \}}$ $\ {0,2 \}$ . Acest set are cardinalitate $2^{\aleph _{0}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ $2 ^ {{\ aleph _ {0}}}$ (aplicația bijectivă naturală dintre setul de secvențe binare și ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}$ $\ mathcal {P} (\ mathbb {N})$ este dat de funcția caracteristică ). Apoi asociați fiecare dintre aceste secvențe $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ la numărul real aparținând intervalului unitar $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ care are secvența ca parte zecimală (exprimată în baza 3) $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ . Aceasta înseamnă că $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea cifră după virgulă este dată de $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ . Imaginea acestei aplicații este setul Cantor . În plus, această aplicație este injectivă , deoarece evitarea punctelor cu cifra 2 în expansiunea lor zecimală în baza 3 evită ambiguitatea datorită faptului că expansiunea zecimală a unui număr real nu este unică. Prin urmare, avem asta $2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ leq {\ mathfrak {c}}}$ $2 ^ {\ aleph_0} \ le \ mathfrak c$ .

Prin teorema Cantor-Bernstein-Schroeder se concluzionează că

{\mathfrak {c}}=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.

{\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = | {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}) | = 2 ^ {\ aleph _ {0}}.}

\ mathfrak c = | \ mathcal {P} (\ mathbb {N}) | = 2 ^ {\ aleph_0}.

Numere întregi

Secvența numerelor beth este definită prin plasare $\beth _{0}=\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ beth _ {0} = \ aleph _ {0}}$ $\ beth_0 = \ aleph_0$ Și $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {k + 1} = 2 ^ {\ beth _ {k}}}$ $\ beth_ {k + 1} = 2 ^ {\ beth_k}$ . Asa de ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c$ este al doilea număr beth, beth-one

{\mathfrak {c}}=\beth _{1}.

{\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = \ beth _ {1}.}

\ mathfrak c = \ beth_1.

Al treilea număr, $\beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle \ beth _ {2} = 2 ^ {\ mathfrak {c}}}$ $\ beth_2 = 2 ^ \ mathfrak c$ , este cardinalitatea mulțimii tuturor subseturilor de numere reale.

Folosind regulile aritmeticii numărului cardinal se poate demonstra că

{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}^{n}=n^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = n {\ mathfrak {c}} = \ aleph _ {0} {\ mathfrak {c}} = {\ mathfrak {c}} ^ {n} = n ^ {\ aleph _ {0}} = {\ aleph _ {0}} ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}} ^ {\ aleph _ {0}}}

\ mathfrak c = n \ mathfrak c = \ aleph_0 \ mathfrak c = \ mathfrak c ^ n = n ^ {\ aleph_0} = {\ aleph_0} ^ {\ aleph_0} = \ mathfrak c ^ {\ aleph_0}

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este orice cardinal finit mai mare sau egal cu 2.

Ipoteza continuumului

Faimoasa ipoteză a continuumului afirmă că ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c$ este și al doilea număr aleph, adică $\aleph _{1}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ (aleph-uno). Cu alte cuvinte, ipoteza continuum afirmă că nu există un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ având cardinalitate strict între $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ Și ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c$ :

\nexists A:\aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.

{\ displaystyle \ nexists A: \ aleph _ {0} <| A | <{\ mathfrak {c}}.}

\ nexists A: \ aleph_0 <| A | <\ mathfrak c.

Astăzi se știe că ipoteza continuumului este independentă de axiomele teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel (ZFC). Aceasta înseamnă că atât ipoteza continuumului, cât și negarea acesteia sunt în concordanță cu aceste axiome. De fapt, avem asta pentru orice număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ non-zero, egalitate ${\mathfrak {c}}=\aleph _{n}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = \ aleph _ {n}}$ $\ mathfrak {c} = \ aleph_n$ este independent de ZFC (cazul $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ este ipoteza continuumului). Afirmația este adevărată pentru multe alte alephs, deși în unele cazuri egalitatea poate fi dovedită, grație teoremei lui König pe baza cofinalității , de exemplu ${\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} \ neq \ aleph _ {\ omega}}$ $\ mathfrak {c} \ neq \ aleph_ \ omega$ . În special, ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak {c}}$ poate fi egal cu $\aleph _{1}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ sau a $\aleph _{\omega _{1}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega _ {1}}}$ $\ aleph _ {\ omega_1}$ , unde este $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ reprezintă primul număr ordinal nenumărat și, prin urmare ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak {c}}$ poate fi un cardinal succesor sau un cardinal limită și un cardinal obișnuit sau un cardinal singular .

Seturi cu cardinalitate ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c$

Multe seturi studiate în matematică au cardinalitate egală cu ${\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c$ . De exemplu:

ansamblul numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ,
orice interval (nedegenerat) deschis sau închis $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , cum ar fi gama de unități $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ ,
setul de numere iraționale ,
setul de numere transcendente ,
Spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ,
ansamblul numerelor complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ,
setul de părți ale numerelor naturale (setul tuturor subgrupurilor de numere naturale),
ansamblul de secvențe de numere întregi, deseori notate cu $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}$ $\ mathbb {Z} ^ \ mathbb {N}$ ,
setul de secvențe de numere reale, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ $\ mathbb {R} ^ \ mathbb {N}$ ,
ansamblul tuturor funcțiilor continue din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (în timp ce setul tuturor funcțiilor oferă $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ are cardinalitate $2^{\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ mathfrak {c}}}$ $2 ^ \ mathfrak c$ ) ^[1] ,
setul Cantor ,
topologia euclidiană a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (adică setul tuturor seturilor deschise în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ).

Notă

^ Funcțiile din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (sau din $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ) se aplică fiecărui punct de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (tu urasti $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ) un punct de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ): spațiul lor are deci dimensiune ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {\ mathfrak {c}} = 2 ^ {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c ^ {\ mathfrak c} = 2 ^ {\ mathfrak c}$ ; pentru funcții continue, trebuie doar să fixăm valorile asumate de funcție în coordonatele sale raționale, obținând astfel un spațiu de dimensiune ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {\ aleph _ {0}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c ^ {\ aleph_0} = 2 ^ {\ aleph_0} = \ mathfrak c$ .

Bibliografie

Paul Halmos, Naive set theory . Princeton, NJ: Compania D. Van Nostrand, 1960. Retipărit din Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (ediția Springer-Verlag).
Jech, Thomas, 2003. Teoria seturilor : ediția a treia a mileniului, revizuită și extinsă . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth, 1980. Teoria seturilor : o introducere în dovezile independenței . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Funcțiile din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (sau din $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ) se aplică fiecărui punct de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (tu urasti $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ) un punct de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ): spațiul lor are deci dimensiune ${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {\ mathfrak {c}} = 2 ^ {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c ^ {\ mathfrak c} = 2 ^ {\ mathfrak c}$ ; pentru funcții continue, trebuie doar să fixăm valorile asumate de funcție în coordonatele sale raționale, obținând astfel un spațiu de dimensiune ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {\ aleph _ {0}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}}}$ $\ mathfrak c ^ {\ aleph_0} = 2 ^ {\ aleph_0} = \ mathfrak c$ .

[1]