Secțiunea Dedekind

În matematică, o secțiune din Dedekind , numită după Richard Dedekind , într-un set S complet ordonat este o partiție a acesteia, ( A , B ), astfel încât A este o tăiere inițială fără maxim . Secțiunea în sine este conceptual „decalajul” dintre A și B. Cazurile originale și cele mai importante sunt secțiunile Dedekind ale numerelor raționale și ale numerelor reale . Dedekind a folosit secțiuni pentru a demonstra completitudinea realelor fără a utiliza axioma de alegere (dovedind existența unui câmp complet ordonat independent de axioma menționată).

Într-o secțiune din Dedekind ( A , B ), A mai este numită „tăietura lui Dedekind” .

Secțiunea lui Dedekind rezolvă contradicția dintre natura continuă a continuumului axei numerice și natura discretă a numerelor în sine. Oriunde există o secțiune care nu se află pe un număr rațional real, un număr irațional (care este și un număr real ) este creat de matematician. Prin utilizarea acestui instrument, se consideră că există un număr real, fie el rațional sau irațional, în fiecare punct al continuumului liniei numerice, fără discontinuitate.

«Atunci când avem de-a face cu o secțiune produsă de un număr nerational , prin urmare, creăm una nouă, un număr irațional , pe care îl considerăm complet definit de această secțiune .... De acum înainte, în consecință, pentru fiecare secțiune definită corespunde un număr rațional sau irațional definit ... "

( Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen , Secțiunea IV )

Dedekind a folosit cuvântul ambiguu „secțiune” ( Schnitt ) în sens geometric. Prin urmare, este o intersecție a unei linii cu o altă linie care o traversează, nu este un decalaj. Când o linie o traversează pe alta în geometrie, se spune că tăia acea linie. În acest caz, una dintre linii este axa numerică și ambele linii au un punct comun. În acel moment al axei numerice, dacă nu există un număr rațional, matematicianul plasează sau plasează în mod arbitrar un număr irațional. Acest lucru duce la plasarea unui număr real în fiecare punct al continuumului.

Utilizați secțiunile din Dedekind

Este mai simetric să folosiți notația ( A , B ) pentru secțiunile din Dedekind, dar fiecare element al lui A și B îl determină pe celălalt. Poate fi o simplificare, în termeni de notație, dacă nu altceva, să ne concentrăm pe o jumătate - să spunem cea inferioară - adică pe o tăietură din Dedekind.

Dacă mulțimea ordonată S este completă, atunci fiecare mulțime B dintr-o secțiune din Dedekind ( A , B ) trebuie să aibă un element minim b , deci trebuie să avem că A este intervalul (−∞, b ) și B intervalul [ b , + ∞).

Sortați secțiunile din Dedekind

Comanda pentru tăieturile Dedekind provine din comanda prin includere: $A>B\iff A\supset B$ ${\ displaystyle A> B \ if A \ supset B}$ ${\ displaystyle A> B \ if A \ supset B}$ . Aceeași relație de ordine poate fi luată în considerare și în secțiuni. În consecință, setul de secțiuni Dedekind - sau tăieturi - este ordonat liniar și, prin construcție, fiecare subset al acestuia are o margine superioară .

Observați că o mulțime ordonată liniar poate fi legată în mod natural de un subset al tăieturilor sale Dedekind; în acest proces, setul de pornire este „finalizat” .

Construirea de numere reale cu secțiuni

Exemplul clasic al secțiunii lui Dedekind în număr rațional este dat de

A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2\lor a\leq 0\},

{\ displaystyle A = \ {a \ in \ mathbb {Q}: a ^ {2} <2 \ lor a \ leq 0 \},}

{\ displaystyle A = \ {a \ in \ mathbb {Q}: a ^ {2} <2 \ lor a \ leq 0 \},}

B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2\land b>0\}.

{\ displaystyle B = \ {b \ in \ mathbb {Q}: b ^ {2} \ geq 2 \ land b> 0 \}.}

{\ displaystyle B = \ {b \ in \ mathbb {Q}: b ^ {2} \ geq 2 \ land b> 0 \}.}

Reprezintă, în construcția numerelor reale ale lui Dedekind, numărul irațional ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ . Rețineți că egalitatea $b^{2}=2$ ${\ displaystyle b ^ {2} = 2}$ ${\ displaystyle b ^ {2} = 2}$ nu este valabil în niciun caz în $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ mathbb Q}$ , de cand ${\sqrt {2}}\not \in \mathbb {Q}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ not \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ not \ in \ mathbb {Q}}$ .

Descriere suplimentară a secțiunilor

Același subiect în detaliu: Construcția numerelor reale .

Generalizare: finalizarea Dedekind în seturi parțial ordonate

Mai general, dacă S este un set parțial ordonat , finalizarea lui S este o rețea completă L cu o interblocare ordonată a lui S în L. Notația de rețea completă generalizează proprietatea limită superioară a realilor.

O completare a lui S este setul subseturilor sale închise inferior , ordonate prin includere . S este inserat în această rețea trimitând fiecare element x în idealul pe care îl generează.

Finalizarea Dedekind-MacNeille

O completare legată care păstrează toți superiorii și inferiorii existenți ai lui S se obține cu următoarea construcție: Pentru fiecare subset A din S , ^fie A ^u setul limitelor superioare ale lui A și A ^l setul limitelor inferioare ale lui A (Aceste operatorii formează o conexiune Galois ). Apoi completarea Dedekind- MacNeille a lui S constă din toate subseturile A pentru care:

( A ^u ) ¹ = A ;

se ordonează prin includere. Finalizarea Dedekind-MacNeille este, în general, o rețea mai mică decât idealurile comandate; S este inclus în ea în același mod.

Finalizarea Dedekind-MacNeille în algebra booleană este o algebră booleană completă .

O altă generalizare: numerele suprarealiste

O construcție similară cu cea a secțiunilor lui Dedekind este utilizată pentru construirea numerelor suprarealiste .

Bibliografie

Dedekind, Richard, Eseuri despre teoria numerelor , „Continuitate și numere iraționale”, Dover: New York, ISBN 0-486-21010-3

Elemente conexe

Succesiune cauchy

linkuri externe

( EN ) Secțiune de Dedekind , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.