Georg Cantor

„Nimeni nu va putea să ne dea afară din Paradisul pe care ni l-a creat Cantor.”

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( Sankt Petersburg , 3 martie 1845 - Halle , 6 ianuarie 1918 ) a fost un matematician german , tatăl teoriei moderne a mulțimilor . Cantor a extins teoria mulțimilor pentru a include conceptele de numere transfinite , numere cardinale și ordinale .

Biografie

Cantor s-a născut la Sankt Petersburg, fiul lui Georg Woldemar Cantor, un agent de bursă danez , și al Marie Anna Böhm, o violonistă catolică de origine austriacă. În 1856 , din cauza condițiilor de sănătate ale tatălui său, familia s-a mutat în Germania , în special la Berlin , iar Georg și-a continuat educația la școlile germane, mai întâi la Darmstadt, apoi în Elveția la Institutul Federal de Tehnologie din Zurich , obținând în cele din urmă doctoratul. de la Universitatea din Berlin în 1867 cu o teză despre teoria numerelor : De aequationibus secundi gradus indeterminatis . Georg a dorit întotdeauna patria, declarându-se mai rus decât german.

Cantor a recunoscut că mulțimile infinite pot avea cardinalitate diferită, a separat seturile în numărabile și mai mult decât numărabile și a dovedit că mulțimea tuturor numerelor raționale $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ este numărabil în timp ce setul tuturor numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ este mai mult decât numărabil, demonstrând astfel că există cel puțin două ordine de infinit. De asemenea, a inventat simbolul care este folosit astăzi pentru a indica numere reale. Metoda pe care a folosit-o pentru a-și desfășura probele este cunoscută sub numele de metoda diagonală Cantor . Mai târziu, a încercat în zadar să demonstreze ipoteza continuumului . Cantor a formulat un principiu foarte important pentru definirea numerelor reale, numit principiul localizării , care este, de asemenea, fundamental pentru a putea opera pe câmpul numeric menționat anterior.

În a doua jumătate a vieții sale a suferit de crize de depresie , care i-au afectat grav capacitatea matematică și l-au obligat la spitalizări repetate. Apoi a intensificat citirea literaturii și a textelor religioase , în care și-a dezvoltat conceptul de infinit absolut pe care l-a identificat cu Dumnezeu . El a scris:

«Infinitul propriu-zis apare în trei contexte: în primul rând când este realizat în forma cea mai completă, într-o esență mistică complet independentă, în Dumnezeu , pe care eu îl numesc Infinitul Absolut sau, pur și simplu, Absolutul; în al doilea rând, când se realizează în lumea contingentă, creată; în al treilea rând, când mintea o înțelege in abstracto ca o cantitate, un număr sau un tip de ordine matematică. "

Sărăcit în timpul primului război mondial , a murit în 1918 în Halle, unde a fost internat într-un spital de psihiatrie . Teoriile sale nu au îndeplinit imediat aprobarea colegilor săi: matematicianul Leopold Kronecker , în special, și-a judecat descoperirile „fără sens”. ^[2]

Craterul Cantor de pe Lună îi poartă numele.

Teoria mulțimilor

Cantor a dat naștere teoriei mulțimilor ( 1874 - 1884 ). ^[3] El a fost primul care a înțeles că mulțimile infinite pot avea dimensiuni diferite: mai întâi a arătat că dat orice set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , există setul tuturor subseturilor posibile ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , numită puterea setată a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Apoi a dovedit că setul este puterea unui set infinit $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are o magnitudine mai mare decât magnitudinea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ el însuși (acest fapt este acum cunoscut sub numele de teorema lui Cantor ). Astfel, există o ierarhie infinită de cantități de mulțimi infinite, din care apar numerele cardinale și ordinale transfinite și aritmetica lor particulară. Pentru a indica numerele cardinale, el a folosit litera alfabetului ebraic aleph cu un număr natural ca index ( $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ Alef zero); pentru ordinali el a folosit litera alfabetului grec omega .

Teoria cantoriană inovatoare, opusă în timpul vieții creatorului său, a fost complet acceptată de matematicienii moderni, care au recunoscut în teoria transfinitelor o schimbare de paradigmă de prima magnitudine.

Adică, nu numai prin urmare, Cantor - mergând împotriva tradiției aristotelice, conform căreia infinitul era definit doar ca potențial - a conceput infinitul efectiv ca o entitate măsurabilă demnă de valoare științifică, dar a arătat și demonstrat prin ceea ce se numește astăzi metoda de diagonalizare , că există diferite tipuri de infinit. Setul de numere reale, de exemplu, are o magnitudine (o cardinalitate) mai mare decât setul de numere naturale, în timp ce setul de numere pare are aceeași „magnitudine” ca numerele naturale, adică (contor intuitiv) o parte este egală la întreg, deoarece este posibil să se găsească o corespondență unu-la-unu (o bijecție) între cele două mulțimi. Astăzi, numerele transfinite sunt acceptate de majoritatea matematicienilor.

Filosofie și religie

În lucrarea Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , un număr impresionant de surse filozofice și teologice sunt citate și examinate cu atenție: Augustin , Aristotel , Bolzano , Kant , Leibniz , Platon , Spinoza , Toma de Aquino . Mai mult, printre „scolastici”, Franzelin , Pesch , Suárez , Tongiorgi ; printre filosofi, Albrecht von Haller , Bayle , Berkeley , Boethius , Fichte , Gerdil , Giordano Bruno , Hamilton, Hegel , Maignan , Nicola da Cusa , Origen , Pythagoras , Schelling , Sesto Empirico , Thomasius ; printre cei mai vechi oameni de știință: Cavalieri , Euclid , Galileo , Guldino , Lagrange , Newton , Torricelli .

Cititor al lui Agostino și Spinoza, el s-a declarat întotdeauna religios în maniera lui Spinoza, cu o puternică simpatie pentru catolicismul matern. A avut schimburi de corespondență importante cu Weierstrass, cu filosoful K. Lasswitz și cu teologul iezuit, cardinalul GB Franzelin, publicat parțial de el însuși (în revista filosofică Fichtian: Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik , 1887-1888) și s-a plâns de neîncrederea pe care noțiunea de „transfinit” a stârnit-o în cercurile ecleziastice (cf. Thuiller, 1977).

Harta cantoriană a infinitului se bazează pe opoziția nedeterminată / determinată și, doar secundar, pe cea finită / infinită. Distingem apoi: a) infinitul absolut nedeterminat sau inconsistent (infinitul „rău”, de exemplu: „Ansamblul a tot ceea ce este gândit”, vezi mai sus, IV); b) multiplicități determinate și „finite”; c) potențialul „finit”, infinit iterat, necorespunzător, dar nu „rău” (împotriva lui Hegel), foarte important în analiza matematică; d) multiplicitățile „infinite bine determinate”, cum ar fi transfinitele; și în cele din urmă e) Dumnezeu, absolut infinit.

Lucrările lui Cantor

Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1874. (Scris pentru prima dată pe teoria mulțimilor).
Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen , în: Mathematische Annalen 5 (1872) 123-132.
Über die verschiedenen Standpunkte in bezug auf das aktuale Unendliche , 1886.
Über eine elementar Frage der Mannigfaltigkeitslehre , 1890/91.
Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1. Artikel), în: Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481-512. , la gdz.sub.uni-goettingen.de .
Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2. Artikel), în: Mathematische Annalen 49 (1897), S. 207-246. , la gdz.sub.uni-goettingen.de .
Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts . Hrsg. v. E. Zermelo. Berlin: Springer 1932. (Reeditare: Springer, 1980.)
Georg Cantor: Briefe . Hrsg. v. H. Meschkowski. Berlin: Springer 1991.

Notă

^
" Aus dem paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können "
( David Hlbert, Über das Unendliche. Mathematische Annalen , 1926, p. 170 )
^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: matematica și filozofia lui infinit .
^ Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1874.

Bibliografie

Cantor, Georg (1932). Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts . (PDF) (Colecție de scrieri originale ale lui Cantor.)
Hilbert, David (1926). Über das Unendliche . Mathematische Annalen 95: 161-190.
(EN) Cantor, Georg (1955, 1915). Contribuții la întemeierea teoriei numerelor transfinite . New York: Dover. ISBN 978-0-486-60045-1
( EN ) Ewald, William B. (ed.) (1996). De la Immanuel Kant la David Hilbert: O carte sursă în fundamentele matematicii . ISBN 978-0-19-853271-2
( EN ) Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: matematica și filozofia lui infinit . Boston: Harvard University Press. (Cea mai completă biografie). ISBN 978-0-691-02447-9
Antonino Zichichi , Infinitul . Editura Galileo Galilei, Lausanne, 1988
Amir D. Aczel , Misterul alefului . The Assayer , 2002
John David Barrow , Infinitul . Mondadori , 2005, capitolele V și VI.
Leonida Lazzari, Infinitatea lui Cantor . Editura Pitagora, Bologna, 2008.
Marco de Paoli, In numero et mensura. Cantor and theory theory , Torino 1998, Noctua

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikisource conține o pagină dedicată lui Georg Cantor
Wikicitată conține citate de sau despre Georg Cantor
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Georg Cantor

linkuri externe

( EN ) Georg Cantor , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Georg Cantor , de la MacTutor , Universitatea din St Andrews, Scoția.
(EN) Georg Cantor , de la Mathematics Genealogia Project , North Dakota State University.
( RO ) Lucrări de Georg Cantor , în Biblioteca deschisă , Internet Archive .
( EN ) Biografie , la www.shu.edu . Adus la 17 noiembrie 2004 (arhivat din original la 3 noiembrie 2004) .
Giovanni Binotti, Dicționarul interdisciplinar Cantor George de știință și credință
Fred Rickey Bibliografie

Controlul autorității	VIAF (EN) 39.412.881 · ISNI (EN) 0000 0001 0889 5716 · LCCN (EN) n82252409 · GND (DE) 118 518 887 · BNF (FR) cb121371602 (dată) · BNE (ES) XX999360 (dată) · NDL (EN) , JA ) 00435223 · WorldCat Identities (EN) lccn-n82252409

Portal Biografii

Portalul de matematică

[1] 
" Aus dem paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können "
( David Hlbert, Über das Unendliche. Mathematische Annalen , 1926, p. 170 )

[Dauben-2] Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: matematica și filozofia lui infinit .

[3] Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1874.

[1]

[2]

[3]