Principiul localizării Cantor

Principiul Cantor, cunoscut și sub denumirea de localizare, este o piatră de temelie a teoriei mulțimilor dezvoltată de matematicianul german Georg Cantor la sfârșitul secolului al XIX-lea . În tratarea acestei teorii, matematicianul a folosit pentru prima dată termenul de număr real și, prin urmare, poate fi considerat într-un anumit sens tatăl său.

Principiul

Este $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ o succesiune de intervale închise și limitate , care scade în raport cu relația de incluziune, adică:

I_{0}=\left[a_{0},b_{0}\right]\supseteq I_{1}=\left[a_{1},b_{1}\right]\supseteq .....I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right]\supseteq ....

{\ displaystyle I_ {0} = \ left [a_ {0}, b_ {0} \ right] \ supseteq I_ {1} = \ left [a_ {1}, b_ {1} \ right] \ supseteq ... ..I_ {n} = \ left [a_ {n}, b_ {n} \ right] \ supseteq ....}

{\ displaystyle I_ {0} = \ left [a_ {0}, b_ {0} \ right] \ supseteq I_ {1} = \ left [a_ {1}, b_ {1} \ right] \ supseteq ... ..I_ {n} = \ left [a_ {n}, b_ {n} \ right] \ supseteq ....}

De sine

\forall M\in \mathbb {N} \quad \exists \ n\in \mathbb {N} :\quad b_{n}-a_{n}<\ 10^{-M}

{\ displaystyle \ forall M \ in \ mathbb {N} \ quad \ există \ n \ in \ mathbb {N}: \ quad b_ {n} -a_ {n} <\ 10 ^ {- M}}

{\ displaystyle \ forall M \ in \ mathbb {N} \ quad \ există \ n \ in \ mathbb {N}: \ quad b_ {n} -a_ {n} <\ 10 ^ {- M}}

atunci există un singur număr real

$\quad x^{*}\in I_{n}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ quad x ^ {*} \ in I_ {n} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ quad x ^ {*} \ in I_ {n} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N}}$

și apoi

$\quad x^{*}=\sup \left\{a_{n}\right\}=\inf \left\{b_{n}\right\}$ ${\ displaystyle \ quad x ^ {*} = \ sup \ left \ {a_ {n} \ right \} = \ inf \ left \ {b_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ quad x ^ {*} = \ sup \ left \ {a_ {n} \ right \} = \ inf \ left \ {b_ {n} \ right \}}$

Remarci generale

În ipoteză vorbim de intervale de cutie: este un termen utilizat pe scară largă pentru a rezuma că fiecare interval intern este conținut în toate cele exterioare acestuia, chiar dacă în teorie multe dintre acestea ar putea fi coincidente. Mai corect se spune că mulțimile formează o secvență descrescătoare în ceea ce privește relația de incluziune. Evident, dacă toate intervalele sunt egale, adică în practică există doar unul, automat teza nu poate fi obținută, deoarece va fi suficientă pentru ia un sub-interval din primul pentru a face ca a doua și foarte importantă ipoteză să eșueze.

Într-un anumit sens, principiul poate fi văzut ca o consecință directă a existenței extremei superioare , deoarece ne spune că o succesiune de intervale închise în cutie, pentru care există un interval mai mic pentru fiecare putere de 10, conține în ele a singurul număr real care aparține acelei succesiuni de intervale.

Integritatea realelor

Principiul localizării este de fapt echivalent cu existența extremei superioare, așa cum am menționat anterior; de aceea este o modalitate alternativă de afirmare a completitudinii realelor , care ne permite să asociem un singur număr real fiecărei perechi de clase separate și contigue (vom vedea mai târziu ce înseamnă acești termeni), care îl identifică. Utilitatea principiului localizării derivă din faptul că permite definirea numerelor reale prin intermediul aproximărilor lor de jos și de sus. Singura dificultate tehnică constă în a verifica dacă distanța dintre aproximările sub și peste, adică eroarea în localizare, poate fi făcută în mod arbitrar mică, prin rafinarea suficientă a aproximării.

Observații la extremele intervalelor

Vorbind despre legătura dintre principiul localizării și completitudinea numerelor reale, am vorbit despre clase separate și contigue: acestea nu sunt altceva decât două seturi de numere astfel încât:

fiecare număr din prima clasă este mai mic decât orice număr din a doua ( separat )
având în vedere orice cantitate pozitivă, este întotdeauna posibil să se găsească un element din prima și un element din a doua care sunt mai mici decât cantitatea dată ( contiguă ).

Cele două clase ale secvențelor tuturor extremelor intervalelor, care pot fi scrise ca $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}, \ left \ {b_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}, \ left \ {b_ {n} \ right \}}$ și că, așa cum am spus înainte, pot fi văzute ca estimări ale numărului real, de sus și de jos, se spune că sunt separate și contigue, deoarece pentru a doua ipoteză a principiului Cantor distanța lor este mai mică decât orice putere de 10.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică