Teorema lui Cantor

În matematică și în special în teoria mulțimilor lui Zermelo-Fraenkel (ZF), teorema lui Cantor , elaborată de matematicianul omonim german Georg Cantor , este o teoremă care afirmă că pentru fiecare mulțime $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , de orice cardinalitate (finită sau infinită), ansamblul său de părți ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal P} (A)$ are întotdeauna o cardinalitate strict mai mare.

\mathrm {card({\mathcal {P}}(A))} >\mathrm {card(A)}

{\ displaystyle \ mathrm {card ({\ mathcal {P}} (A))}> \ mathrm {card (A)}}

{\ displaystyle \ mathrm {card ({\ mathcal {P}} (A))}> \ mathrm {card (A)}}

În ceea ce privește mulțimile finite, teorema lui Cantor este dovedită pur și simplu prin enumerarea elementelor celor două mulțimi și compararea cardinalității acestora. Cardinalitatea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Cardinalitatea ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal P} (A)$ , numărând setul gol $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la fel ca subseturile de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , merita $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ . În consecință, teorema este valabilă, deoarece $2^{n}>n$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}> n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}> n}$ pentru orice număr întreg negativ . Teorema actuală a lui Cantor specifică faptul că această proprietate a mulțimilor finite nu dispare când cardinalitatea lor devine infinită. Ca o consecință importantă, avem că ansamblul părților numerelor naturale ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})}$ , unde este $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ este o infinitate numărabilă cu cardinalitate $\aleph _{0}=\mathrm {card(\mathbb {N} )}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} = \ mathrm {card (\ mathbb {N})}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} = \ mathrm {card (\ mathbb {N})}}$ , este o infinitate de nenumărat, cu cardinalitate egală cu cardinalitatea numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , denumită adesea cardinalitatea continuumului .

Relația care leagă cardinalitatea de ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal P} (A)$ cu cea a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se exprimă prin inegalitate $2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}> \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}> \ aleph _ {0}}$ . În special, setul de părți ale unui set numărabil (sau nenumărat) este un set nenumărat.

Teorema lui Cantor a avut un impact imediat și important asupra filosofiei matematicii . De exemplu, prin aplicarea iterativă a setului de părți ale unui set infinit și ulterior teorema lui Cantor, obținem o ierarhie infinită de cardinalitate infinită, fiecare strict mai mare decât cea anterioară. În consecință, teorema implică faptul că nu există o cardinalitate maximă pentru un set. În consecință, nivelurile ierarhice ale cardinalităților infinite sunt, de asemenea, infinite. ^[1]

Demonstrație

Prin definiția cardinalității, avem $\mathrm {card(X)} <\mathrm {card({\bar {X}})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {card (X)} <\ mathrm {card ({\ bar {X}})}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {card (X)} <\ mathrm {card ({\ bar {X}})}}$ pentru două seturi generice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și ${\bar {X}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ , dacă și numai dacă fiecare funcție dă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la ${\bar {X}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ nu este surjectiv (sau echivalent fiecare funcție injectivă nu este și surjectivă).

În consecință, este suficient să arătăm că nu există nicio surjecție din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la ${\bar {X}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ . Aceasta este inima teoremei lui Cantor: nu există o funcție surjectivă de la un set la setul său de părți. Pentru a demonstra acest lucru, arătați doar că nu este posibilă o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ mapează toate elementele oricărui set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la toate subseturile generate de setul de piese ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal P} (A)$ .

Deci, trebuie să dovedim existența unui element in $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ care nu este cuprins în imaginea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (Fiecare $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este un subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ).

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție generică din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal P} (A)$ :

f\colon A\to {\mathcal {P}}(A).

{\ displaystyle f \ colon A \ to {\ mathcal {P}} (A).}

{\ displaystyle f \ colon A \ to {\ mathcal {P}} (A).}

Un subset cu proprietățile tocmai descrise este dat de următoarea construcție, numită argument diagonal al lui Cantor .

B=\left\{x\in A:x\not \in f(x)\right\}\in {\mathcal {P}}(A).

{\ displaystyle B = \ left \ {x \ in A: x \ not \ in f (x) \ right \} \ in {\ mathcal {P}} (A).}

{\ displaystyle B = \ left \ {x \ in A: x \ not \ in f (x) \ right \} \ in {\ mathcal {P}} (A).}

Prin urmare, presupunem, în mod absurd, că există o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ surjectiv din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal P} (A)$ .

Pentru o anumită valoare a $\xi \in A$ ${\ displaystyle \ xi \ în A}$ ${\ displaystyle \ xi \ în A}$ , avem atunci $f(\xi )=B$ ${\ displaystyle f (\ xi) = B}$ ${\ displaystyle f (\ xi) = B}$ . Acum luăm în considerare cele două cazuri posibile:

\xi \not \in B

{\ displaystyle \ xi \ not \ în B}

{\ displaystyle \ xi \ not \ în B}

sau

\xi \in B.

{\ displaystyle \ xi \ în B.}

{\ displaystyle \ xi \ în B.}

Atunci:

${\begin{aligned}\xi \in f(\xi )&\iff \xi \in B&&{\text{(dall'assunzione che }}f(\xi )=B{\text{)}};\\\xi \in B&\iff \xi \notin f(\xi )&&{\text{(per definizione di }}B{\text{)}}.\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ xi \ in f (\ xi) & \ iff \ xi \ in B && {\ text {(din ipoteza că}} f (\ xi) = B {\ text {) }}; \\\ xi \ în B & \ if \ xi \ notin f (\ xi) && {\ text {(prin definiția lui}} B {\ text {)}}. \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ xi \ in f (\ xi) & \ iff \ xi \ in B&& {\ text {(din ipoteza că}} f (\ xi) = B {\ text {) }}; \\\ xi \ în B & \ if \ xi \ notin f (\ xi) && {\ text {(prin definiția lui}} B {\ text {)}}. \ end {align}}}$

Prin urmare, există o contradicție. Deci nu există nicio valoare $\xi \in A:f(\xi )=B$ ${\ displaystyle \ xi \ în A: f (\ xi) = B}$ ${\ displaystyle \ xi \ în A: f (\ xi) = B}$ . Cu alte cuvinte, $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ nu este în imaginea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu mapează la toate elementele ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal P} (A)$ , și apoi $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este surjectiv. Pentru a completa teorema trebuie doar să găsim o funcție injectivă $g\colon A\to {\mathcal {P}}(A).$ ${\ displaystyle g \ colon A \ to {\ mathcal {P}} (A).}$ ${\ displaystyle g \ colon A \ to {\ mathcal {P}} (A).}$ Această funcție este foarte simplă și este definită ca funcția pe care o mapează $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la setul care conține numai $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

g(x)=\{x\}

{\ displaystyle g (x) = \ {x \}}

{\ displaystyle g (x) = \ {x \}}

Dovada s-a terminat, deoarece am stabilit inegalitatea strictă pentru fiecare set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât $\mathrm {card({\mathcal {P}}(A))} >\mathrm {card(A)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {card ({\ mathcal {P}} (A))}> \ mathrm {card (A)}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {card ({\ mathcal {P}} (A))}> \ mathrm {card (A)}}$

Notă

^ Marco Bramanti, Pagani Carlo Domenico și Sandro Salsa, Analiza matematică 1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teorema Cantor

linkuri externe

( EN ) Teorema Cantorului , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Marco Bramanti, Pagani Carlo Domenico și Sandro Salsa, Analiza matematică 1 .

[1]