Ipoteza continuumului

În matematică , ipoteza continuumului este o ipoteză avansată de Georg Cantor referitoare la dimensiunile posibile pentru mulțimi infinite . Cantor a introdus conceptul de cardinalitate și număr cardinal (pe care îl putem imagina ca o „dimensiune” a mulțimii) pentru a compara mulțimi transfinite între ele și a dovedit existența unor mulțimi infinite de cardinalitate diferită, precum numerele naturale și numerele reale . Ipoteza continuum afirmă că:

Nu există un set a cărui cardinalitate să fie strict cuprinsă între cea a numerelor întregi și cea a numerelor reale.

Din punct de vedere matematic, având în vedere că cardinalitatea numerelor întregi $|\mathbb {Z} |$ ${\ displaystyle | \ mathbb {Z} |}$ $| {\ mathbb {Z}} |$ Și $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ ( alef-zero ) și cardinalitatea numerelor reale $|\mathbb {R} |$ ${\ displaystyle | \ mathbb {R} |}$ $| {\ mathbb {R}} |$ Și $2^{\aleph _{0}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ $2 ^ {{\ aleph _ {0}}}$ , ipoteza continuumului afirmă:

\nexists A:\aleph _{0}<|A|<2^{\aleph _{0}}

{\ displaystyle \ nexists A: \ aleph _ {0} <| A | <2 ^ {\ aleph _ {0}}}

\ nexists A: \ aleph _ {0} <| A | <2 ^ {{\ aleph _ {0}}}

unde este $|A|$ ${\ displaystyle | A |}$ $| A |$ indică cardinalitatea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Numele acestei ipoteze derivă din linia numerelor reale, numită „continuum”. Există, de asemenea, o generalizare a ipotezei continuumului, numită „ipoteza continuumului generalizat”, care afirmă că pentru fiecare cardinal transfinit T

\nexists A:|T|<|A|<2^{|T|}

{\ displaystyle \ nexists A: | T | <| A | <2 ^ {| T |}}

\ nexists A: | T | <| A | <2 ^ {{| T |}}

Studiile lui Gödel și Cohen au făcut posibilă stabilirea faptului că, în teoria seturilor Zermelo-Fraenkel, inclusiv axioma alegerii, ipoteza continuumului este indecidabilă .

Dimensiunea unui întreg

Același subiect în detaliu: Cardinalitatea și numărul cardinalului .

Pentru a da o formulare formală a ipotezei, este necesar să începeți cu o definiție: două mulțimi S și T au aceeași cardinalitate sau număr cardinal dacă există o bijecție $S\leftrightarrow T$ ${\ displaystyle S \ leftrightarrow T}$ $S \ leftrightarrow T$ . Intuitiv, acest lucru înseamnă că este posibil să „cuplăm” elementele lui S cu cele ale lui T, astfel încât unul și un singur element al lui T să fie asociat cu fiecare element unic al lui S și invers. În termeni tehnici, vorbim de corespondență individuală .

Cu seturi dimensionale finite, acest lucru nu duce la nicio problemă: situația se schimbă cu seturi infinite. Galileo a subliniat deja că pătratele perfecte, chiar dacă par a fi mult mai mici decât numerele întregi, pot fi totuși puse în corespondență unu-la-unu cu acesta din urmă: folosiți doar cuplarea naturală

1\leftrightarrow 1;\ 2\leftrightarrow 4;\ 3\leftrightarrow 9;\ 4\leftrightarrow 16;\ 5\leftrightarrow 25;\ \dots ;\ n\leftrightarrow n^{2};\ \dots

{\ displaystyle 1 \ leftrightarrow 1; \ 2 \ leftrightarrow 4; \ 3 \ leftrightarrow 9; \ 4 \ leftrightarrow 16; \ 5 \ leftrightarrow 25; \ \ dots; \ n \ leftrightarrow n ^ {2}; \ \ dots}

1 \ leftrightarrow 1; \ 2 \ leftrightarrow 4; \ 3 \ leftrightarrow 9; \ 4 \ leftrightarrow 16; \ 5 \ leftrightarrow 25; \ \ dots; \ n \ leftrightarrow n ^ {2}; \ \ dots

Să luăm în considerare, de exemplu, ansamblul numerelor raționale . S-ar putea crede naiv că sunt mai mult decât numere întregi și mai puțin decât reale, invalidând astfel ipoteza continuumului. În realitate, se poate arăta că numerele raționale pot fi plasate într-o corespondență unu-la-unu cu numere întregi și, prin urmare, cardinalitatea setului de numere raționale este identică cu cea a setului de numere întregi: ambele sunt mulțimi numărabile . Pe de altă parte, metoda diagonală a lui Cantor arată că numerele întregi și realele nu au aceeași cardinalitate, deci ipoteza continuumului are sens: în practică, orice subset al continuumului (adică al mulțimii numerelor reale) care include numere întregi are același lucru cardinalitate ca cea din urmă sau aceeași cardinalitate ca continuumul în sine.

Înțelesul ipotezei continuumului

Dacă s-ar găsi o mulțime S care a făcut ipoteza continuumului falsă, ar fi imposibil să găsim o corespondență unu-la-unu între S și numerele întregi: ar exista întotdeauna un element al lui S (de fapt un număr infinit) „lăsat deoparte” . În același timp, ar fi imposibil să se găsească o corespondență unu-la-unu între S și numere reale; în acest caz am fi întotdeauna obligați să „lăsăm deoparte” un număr infinit de numere reale.

Independența față de axiomele lui Zermelo - Fraenkel

Cantor a fost convins de adevărul ipotezei continuumului și a încercat în zadar mulți ani să-l demonstreze. A devenit primul din lista problemelor (acum cunoscute sub numele de problemele lui Hilbert ) pe care marele matematician David Hilbert le-a prezentat la Congresul internațional de matematică de la Paris în anul 1900 .

În 1940 , Kurt Gödel a făcut un pas înainte, arătând că ipoteza continuumului (CH pe scurt, din ipoteza engleză continuum ) nu poate fi dovedită falsă folosind sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel , nici măcar adăugând axioma de alegere . Pe de altă parte, în 1963 Paul Cohen a demonstrat că CH nici măcar nu poate fi dovedit adevărat din acele axiome. Rezultatul general este că CH este independent de sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel și de axioma de alegere. Trebuie luat în considerare faptul că ambele rezultate pornesc de la presupunerea că axiomele Zermelo-Fraenkel nu sunt reciproc contradictorii, ceea ce se presupune în general că este adevărat.

Rezultatul că o afirmație nu poate fi nici dovedită, nici respinsă într-un anumit set de axiome nu este surprinzător: teorema incompletitudinii lui Gödel afirmă exact că, dacă un sistem de axiome este suficient de puternic și fără contradicții, vor exista întotdeauna afirmații în cadrul acesteia. . Cu toate acestea, independența CH este la fel de tulburătoare, deoarece a fost primul exemplu concret al unei afirmații interesante și importante despre care a fost posibil să spunem cu certitudine că era imposibil să răspundem cu un „da” sau un „nu” din grupul axiome universal acceptate pentru construirea matematicii noastre.

Ipoteza continuumului este strâns legată de mai multe afirmații din analiza matematică , topologie și teoria măsurătorilor . Ca rezultat direct al independenței sale, multe conjecturi importante din aceste domenii s-au dovedit a fi independente.

Interesant este că Gödel credea cu tărie în falsitatea CH. Pentru el, această independență a ipotezei a însemnat doar că setul de axiome utilizate în general nu a fost complet. Ca platonist , Gödel nu a avut nicio problemă în afirmarea adevărului sau falsității afirmațiilor, independent de probabilitatea lor într-un anumit sistem axiomatic. Cohen, pe de altă parte, era formalist , dar și el avea tendința să-l respingă pe CH. În zilele noastre, majoritatea cercetătorilor din domeniu tind să fie neutri sau contrari CH.

Din punct de vedere istoric, matematicienii care preferau un univers „bogat” și „mare” de seturi erau împotriva CH, în timp ce cei care preferau un univers „ordonat” și „controlabil” erau în favoarea sa. Mai recent, însă, unii experți (de exemplu Foreman) au remarcat modul în care maximalismul ontologic poate servi drept argument în favoarea CH, dat fiind că, printre modelele care au aceleași reali, acesta este cel care are mai multe seturi de reali care are șansa mai mare de a satisface CH. Vezi (Maddy, p. 500).

În 1986, Chris Freiling a propus un argument în favoarea respingerii CH : el a arătat că negarea CH este echivalentă cu o afirmație despre probabilități pe care o definește drept „intuitiv adevărată”, chiar dacă alții nu sunt de acord cu el.

În 2001 W. Hugh Woodin a propus un sistem axiomatic în care falsitatea CH poate fi dovedită și stârnește mult interes în comunitatea matematică, chiar dacă nu este universal acceptată.

Ipoteza generalizată a continuumului

Ipoteza continuumului generalizat (GCH) afirmă că, dacă cardinalitatea unei mulțimi T este inclusă între cea a unei mulțimi infinite S și cea a mulțimii părților lui S , atunci cardinalitatea ei trebuie să fie în mod necesar fie cea a lui S, fie cea a mulțimii a părților din S : nu există alte alternative. Ipoteza continuumului este un caz special, deoarece continuumul are aceeași cardinalitate ca mulțimea părților întregilor. GCH este, de asemenea, independent de celelalte axiome ale teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel și de axioma alegerii.

Bibliografie

( IT ) Cohen, PJ : Teoria mulțimilor și ipoteza continuumului . Feltrinelli (1973). .
( EN ) Dales, HG și WH Woodin: o introducere în independență pentru analiști . Cambridge (1987). .
(EN) Foreman, Matt: S- a stabilit ipoteza continuului? .
(EN) Freiling, Chris: Axiome of Symmetry: Throwing Darts at the real number line , Journal of Symbolic Logic, Vol. 51, nr. 1 (1986), pp. 190–200. .
(EN) Gödel, K .: Consistența ipotezei continue. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1940 ..
(EN) Gödel, K.: Care este problema continuumului Cantor? , retipărit în Benacerraf și Putnam (ed.), Philosophy of Mathematics , ed. a II-a, Cambridge University Press, 1983. Rezumatul tezelor lui Gödel împotriva CH.
(EN) Maddy, Penelope: Believing the Axioms, The, Journal of Symbolic Logic, Vol. 53, nr. 2 (1988), pp. 481-511.
(EN) McGough, Nancy: Ipoteza continuului . .
(EN) Smullyan, Raymond M. și Melvin Fitting: teoria Sep și problema continuumului. Dover (1996). .
( EN ) Woodin, W. Hugh: The Continuum Hypothesis, Partea I , Notices of the AMS , Vol. 48, nr. 6 (2001), pp. 567–576.
( EN ) Woodin, W. Hugh: The Continuum Hypothesis, Part II , Notices of the AMS , Vol. 48, nr. 7 (2001), pp. 681-690.

linkuri externe

Întrebări frecvente despre grupul de știri Sci.math: http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/AC/ContinuumHyp/

Controlul autorității	GND ( DE ) 4481570-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică