Teorema Cantor-Bernstein-Schröder

În matematică , teorema Cantor-Bernstein-Schröder , adesea denumită pur și simplu teorema Cantor-Bernstein , afirmă că, având în vedere două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , dacă există două funcții injective $f\colon A\rightarrow B$ ${\ displaystyle f \ colon A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ rightarrow B}$ Și $g\colon B\rightarrow A$ ${\ displaystyle g \ colon B \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle g \ colon B \ rightarrow A}$ , atunci există o funcție bijectivă $h\colon A\rightarrow B$ ${\ displaystyle h \ colon A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle h \ colon A \ rightarrow B}$ .

Ipoteze și consecințe ale teoremei

Această teoremă s-a născut și are o mare importanță în domeniul teoriei mulțimilor și în special în studiul cardinalităților .

De fapt, definiția clasică a $|A|\leq |B|$ ${\ displaystyle | A | \ leq | B |}$ ${\ displaystyle | A | \ leq | B |}$ ( "cardinalitatea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este mai mic sau egal cu cardinalitatea lui $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ " ), unde $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ sunt două seturi oricum, este:

Există o funcție injectivă din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

În timp ce definiția lui $|A|=|B|$ ${\ displaystyle | A | = | B |}$ ${\ displaystyle | A | = | B |}$ ( „ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt echipotent " ) este:

Există o funcție bijectivă din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Acestea fiind spuse, teorema Cantor - Bernstein - Schröder poate fi reformulată după cum urmează:

De sine $|A|\leq |B|$ ${\ displaystyle | A | \ leq | B |}$ ${\ displaystyle | A | \ leq | B |}$ Și $|B|\leq |A|$ ${\ displaystyle | B | \ leq | A |}$ ${\ displaystyle | B | \ leq | A |}$ , asa de $|A|=|B|$ ${\ displaystyle | A | = | B |}$ ${\ displaystyle | A | = | B |}$

Aceasta este tocmai una dintre cerințele fundamentale pe care trebuie să le aibă $\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ a fi o relație de ordine parțială. Prin urmare, teorema este fundamentală pentru a putea ordona mulțimile în funcție de cardinalitatea lor . Trebuie remarcat faptul că, pentru a stabili că o astfel de relație de ordine este totală, este necesar să presupunem axioma alegerii .

Demonstrație

În primul rând observăm că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este singura funcție pe care știm să o definim $A-g(B-f(A))$ ${\ displaystyle Ag (Bf (A))}$ ${\ displaystyle A-g (B-f (A))}$ ; la fel, singura funcție pe care o avem $B-f(A-g(B))$ ${\ displaystyle Bf (Ag (B))}$ ${\ displaystyle B-f (A-g (B))}$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , care corespunde $g^{-1}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1}}$ pe imagine ${g(B-f(A-g(B)))=g(B)-g(f(A-g(B)))}$ ${\ displaystyle {g (Bf (Ag (B))) = g (B) -g (f (Ag (B)))}}$ ${\ displaystyle {g (B-f (A-g (B))) = g (B) -g (f (A-g (B)))}}$ . Functia $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este construit în acest fel, împărțind întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în subseturi $A-g(B)$ ${\ displaystyle Ag (B)}$ ${\ displaystyle A-g (B)}$ , $g(B)-g(f(A))$ ${\ displaystyle g (B) -g (f (A))}$ ${\ displaystyle g (B) -g (f (A))}$ , $g(f(A))-g(f(g(B)))$ ${\ displaystyle g (f (A)) - g (f (g (B)))}}$ ${\ displaystyle g (f (A)) - g (f (g (B)))}}$ , etc., pe care $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ trebuie să fie egală cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ sau $g^{-1}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1}}$ alternativ.

Unele zone delimitate de iterațiile f și g. Se recunosc reciproc

A_{1}=A-g(B)

{\ displaystyle A_ {1} = Ag (B)}

{\ displaystyle A_ {1} = A-g (B)}

Și

A_{2}=g(B)-g(f(A))

{\ displaystyle A_ {2} = g (B) -g (f (A))}

{\ displaystyle A_ {2} = g (B) -g (f (A))}

.

Pentru o definiție mai precisă și simplă, sunt luate în considerare conceptele de precedent și primul dintre cele anterioare (introducând o anumită ordine parțială):

un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are un precedent $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ de sine $x=g(y)$ ${\ displaystyle x = g (y)}$ $x = g (y)$
un punct $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ are un precedent $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de sine $y=f(z)$ ${\ displaystyle y = f (z)}$ ${\ displaystyle y = f (z)}$

Pentru injectivitatea celor două funcții, dacă există, fiecare precedent este unic; Prin urmare, putem încerca să urmărim lanțul celor precedente (x, y, z, ...) pentru a găsi primul. Acum este posibil să vă împărțiți $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ într-o partiție precum:

$A_{A}$ ${\ displaystyle A_ {A}}$ ${\ displaystyle A_ {A}}$ este ansamblul de puncte ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care au un prim precedent în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ;
$A_{B}$ ${\ displaystyle A_ {B}}$ ${\ displaystyle A_ {B}}$ este ansamblul de puncte ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care au un prim precedent în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ;
$A_{C}$ ${\ displaystyle A_ {C}}$ ${\ displaystyle A_ {C}}$ este ansamblul de puncte ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care nu au un prim precedent, adică pentru care lanțul precedentelor nu se încheie.

Această subdiviziune permite definirea unei bigecțiuni între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$
$h(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{se }}x\in A_{A}\\g^{-1}(x)&{\text{se }}x\in A_{B}\\f(x)&{\text{se }}x\in A_{C}\end{cases}}$ ${\ displaystyle h (x) = {\ begin {cases} f (x) & {\ text {se}} x \ in A_ {A} \\ g ^ {- 1} (x) & {\ text {if }} x \ in A_ {B} \\ f (x) & {\ text {se}} x \ in A_ {C} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle h (x) = {\ begin {cases} f (x) & {\ text {se}} x \ in A_ {A} \\ g ^ {- 1} (x) & {\ text {if }} x \ in A_ {B} \\ f (x) & {\ text {se}} x \ in A_ {C} \ end {cases}}}$
(Puteți alege indiferent să definiți $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ egal cu $g^{-1}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1}}$ pe $A_{C}$ ${\ displaystyle A_ {C}}$ ${\ displaystyle A_ {C}}$ .)

Elemente conexe

Teorema Hartogs (teoria mulțimilor)

linkuri externe

( EN ) Teorema Cantor-Bernstein-Schroeder din Cut The Knot
( EN ) Eric W. Weisstein, Teorema Schröder-Bernstein , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică