Teorema lui Hartogs (teoria mulțimilor)

În teoria mulțimilor , teorema Hartogs , demonstrată de matematicianul german Friedrich Hartogs , afirmă că axioma de alegere este echivalentă cu condiția ca, având în vedere orice două mulțimi A și B, să avem întotdeauna

\operatorname {card} (A)\leq \operatorname {card} (B){\text{ oppure }}\operatorname {card} (B)\leq \operatorname {card} (A).

{\ displaystyle \ operatorname {card} (A) \ leq \ operatorname {card} (B) {\ text {or}} \ operatorname {card} (B) \ leq \ operatorname {card} (A).}

{\ displaystyle \ operatorname {card} (A) \ leq \ operatorname {card} (B) {\ text {or}} \ operatorname {card} (B) \ leq \ operatorname {card} (A).}

Aceasta înseamnă că, presupunând axioma alegerii, toate seturile au cardinalitate comparabilă, chiar dacă sunt infinite.

Demonstrație

Arătăm că axioma alegerii implică faptul că toate cardinalitățile sunt comparabile. Fie A și B două seturi și fie (P, ≤ ) o mulțime parțial ordonată astfel încât:

elementele lui P sunt triple (X, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , Y) unde X ⊂ A, Y ⊂ B și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o injecție de la X la Y.
relația de ordine ≤ este următoarea: (X, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , Y) ≤ (X ₁ , $f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ , Y ₁ ) dacă și numai dacă X ⊂ X ₁ , Y ⊂ Y ₁ e $f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ limitat la X este egal cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Acest set nu este gol deoarece setul gol ∅ ⊂ A, ∅ ⊂ B și există o injecție ${v}$ ${\ displaystyle {v}}$ ${\ displaystyle {v}}$ între ∅ și ∅, prin urmare (∅, ${v}$ ${\ displaystyle {v}}$ ${\ displaystyle {v}}$ , ∅) ∈ (P, ≤ ).

Este ${C}$ ${\ displaystyle {C}}$ ${\ displaystyle {C}}$ un lanț de (P, ≤ ) astfel încât (X ₁ , ${f_{1}}$ ${\ displaystyle {f_ {1}}}$ ${\ displaystyle {f_ {1}}}$ , Y ₁ ) ≤ (X ₂ , ${f_{2}}$ ${\ displaystyle {f_ {2}}}$ ${\ displaystyle {f_ {2}}}$ , Y ₂ ) ≤ ... ≤ (X _i , ${f_{i}}$ ${\ displaystyle {f_ {i}}}$ ${\ displaystyle {f_ {i}}}$ , Y _i ) ≤…. Lasa-i sa fie

W:=X_{1}\cup X_{2}\cup \cdots \cup X_{i}\cdots =\cup _{i}X_{i},

{\ displaystyle W: = X_ {1} \ cup X_ {2} \ cup \ cdots \ cup X_ {i} \ cdots = \ cup _ {i} X_ {i},}

{\ displaystyle W: = X_ {1} \ cup X_ {2} \ cup \ cdots \ cup X_ {i} \ cdots = \ cup _ {i} X_ {i},}

Z:=Y_{1}\cup Y_{2}\cup \cdots \cup Y_{i}\cdots =\cup _{i}Y_{i},

{\ displaystyle Z: = Y_ {1} \ cup Y_ {2} \ cup \ cdots \ cup Y_ {i} \ cdots = \ cup _ {i} Y_ {i},}

{\ displaystyle Z: = Y_ {1} \ cup Y_ {2} \ cup \ cdots \ cup Y_ {i} \ cdots = \ cup _ {i} Y_ {i},}

și să fie g funcția de la W la Z astfel încât dacă x ∈ X _i atunci ${g}$ ${\ displaystyle {g}}$ ${\ displaystyle {g}}$ (x) = ${f_{i}}$ ${\ displaystyle {f_ {i}}}$ ${\ displaystyle {f_ {i}}}$ (X). Această funcție este bine definită și injectivă, W ⊂ A și Z ⊂ B, prin urmare (W, ${g}$ ${\ displaystyle {g}}$ ${\ displaystyle {g}}$ , Z) ∈ (P, ≤).

(W, ${g}$ ${\ displaystyle {g}}$ ${\ displaystyle {g}}$ , Z) este mai mare decât ${C}$ ${\ displaystyle {C}}$ ${\ displaystyle {C}}$ , de fapt X _i ⊂ W și Y _i ⊂ Z, pentru fiecare index i, e ${g}$ ${\ displaystyle {g}}$ ${\ displaystyle {g}}$ limitat la X _i este egal cu ${f_{i}}$ ${\ displaystyle {f_ {i}}}$ ${\ displaystyle {f_ {i}}}$ prin definiție a ${g}$ ${\ displaystyle {g}}$ ${\ displaystyle {g}}$ . Atunci se verifică ipotezele lemei lui Zorn (care este echivalent cu axioma de alegere) și, prin urmare, există un element maxim (M, ${h}$ ${\ displaystyle {h}}$ ${\ displaystyle {h}}$ , N).

Apoi dovedim că M = A sau N = B. Să presupunem în mod absurd că acest lucru este fals, adică că M ≠ A și N ≠ B. Avem astfel că există ∈ A \ M și b ∈ B \ N. $(M\cup \{a\},j,N\cup \{b\})$ ${\ displaystyle (M \ cup \ {a \}, j, N \ cup \ {b \})}$ ${\ displaystyle (M \ cup \ {a \}, j, N \ cup \ {b \})}$ , Unde $j(x)=h(x)$ ${\ displaystyle j (x) = h (x)}$ ${\ displaystyle j (x) = h (x)}$ dacă x ≠ a, altfel $j(x)=b$ ${\ displaystyle j (x) = b}$ ${\ displaystyle j (x) = b}$ . ${j}$ ${\ displaystyle {j}}$ ${\ displaystyle {j}}$ este injectiv și, prin urmare ( $M\cup \{a\}$ ${\ displaystyle M \ cup \ {a \}}$ ${\ displaystyle M \ cup \ {a \}}$ , ${j}$ ${\ displaystyle {j}}$ ${\ displaystyle {j}}$ , $N\cup \{b\}$ ${\ displaystyle N \ cup \ {b \}}$ ${\ displaystyle N \ cup \ {b \}}$ ) Є (P, ≤ ). În plus $M\subset M\cup \{a\}$ ${\ displaystyle M \ subset M \ cup \ {a \}}$ ${\ displaystyle M \ subset M \ cup \ {a \}}$ , $N\subset N\cup \{b\}$ ${\ displaystyle N \ subset N \ cup \ {b \}}$ ${\ displaystyle N \ subset N \ cup \ {b \}}$ Și ${j}$ ${\ displaystyle {j}}$ ${\ displaystyle {j}}$ restrictionat la ${M}$ ${\ displaystyle {M}}$ ${\ displaystyle {M}}$ Este egal cu ${h}$ ${\ displaystyle {h}}$ ${\ displaystyle {h}}$ pentru construcții. În consecință

$(M,h,N)\leq (M\cup \{a\},j,N\cup \{b\})$ ${\ displaystyle (M, h, N) \ leq (M \ cup \ {a \}, j, N \ cup \ {b \})}$ ${\ displaystyle (M, h, N) \ leq (M \ cup \ {a \}, j, N \ cup \ {b \})}$

dar acest lucru este absurd din moment ce (M, ${h}$ ${\ displaystyle {h}}$ ${\ displaystyle {h}}$ , N) este maxim . Rezultă că M = A sau N = B, deci există o injecție de la A într-un subset de B sau de la B într-un subset de A și, prin urmare, card (A) ≤ card (B) sau card (B) ≤ card ( A) .

Bibliografie

( DE ) Friedrich Hartogs , Über das Problem der Wohlordnung , în Mathematische Annalen , vol. 76, 1915, pp. 438–443.
( EN ) David Feldman, Mehmet Orhon, Andreas Blass, Generalizing Hartogs 'Trichotomy Theorem ( PDF ), pe arxiv.org , 2008. arΧiv : 0804.0673

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică