Distribuția geometrică

Distribuția geometrică ${\mathcal {G}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p)}$
Funcție de distribuție discretă
Funcția de distribuție
Parametrii	$p\in [0,1]$ ${\ displaystyle p \ in [0,1]}$ $p \ in [0,1]$ $q=1-p\$ ${\ displaystyle q = 1-p \}$ $q = 1-p \$
A sustine	$\mathbb {N} _{0}=\{1,2,...\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} = \ {1,2, ... \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} = \ {1,2, ... \}}$
Funcția de densitate	$pq^{k-1}\$ ${\ displaystyle pq ^ {k-1} \}$ ${\ displaystyle pq ^ {k-1} \}$
Funcția de distribuție	$1-q^{k}\$ ${\ displaystyle 1-q ^ {k} \}$ ${\ displaystyle 1-q ^ {k} \}$
Valorea estimata	${\frac {1}{p}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}$
Median	$[\log _{q}{\tfrac {1}{2}}]$ ${\ displaystyle [\ log _ {q} {\ tfrac {1} {2}}]}$ $[\ log _ {q} {\ tfrac {1} {2}}]$ de sine $\log _{q}{\tfrac {1}{2}}\not \in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ log _ {q} {\ tfrac {1} {2}} \ not \ in \ mathbb {N}}$ $\ log _ {q} {\ tfrac {1} {2}} \ not \ in {\ mathbb {N}}$
Modă	$0\$ ${\ displaystyle 0 \}$ $0 \$
Varianța	${\frac {q}{p^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {q} {p ^ {2}}}}$ ${\ frac {q} {p ^ {2}}}$
Indicele de asimetrie	${\frac {1+q}{\sqrt {q}}}\$ ${\ displaystyle {\ frac {1 + q} {\ sqrt {q}}} \}$ ${\ displaystyle {\ frac {1 + q} {\ sqrt {q}}} \}$
Curios	$6+{\frac {p^{2}}{q}}$ ${\ displaystyle 6 + {\ frac {p ^ {2}} {q}}}$ $6 + {\ frac {p ^ {2}} {q}}$
Entropie	$-\log p-{\frac {q}{p}}\log q$ ${\ displaystyle - \ log p - {\ frac {q} {p}} \ log q}$ $- \ log p - {\ frac {q} {p}} \ log q$
Funcție generatoare de momente	${\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {pe ^ {t}} {1-qe ^ {t}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {pe ^ {t}} {1-qe ^ {t}}}}$
Funcția caracteristică	${\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {pe ^ {it}} {1-qe ^ {it}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {pe ^ {it}} {1-qe ^ {it}}}}$
Manual

În teoria probabilității, distribuția geometrică este o distribuție discretă a probabilității asupra numerelor naturale fără elementul „0”, care urmează o progresie geometrică :

P(X=k)=p(1-p)^{k-1}.

{\ displaystyle P (X = k) = p (1-p) ^ {k-1}.}

{\ displaystyle P (X = k) = p (1-p) ^ {k-1}.}

Este probabilitatea ca primul succes (sau evenimentul în general) să necesite executarea a k încercări independente, fiecare cu probabilitate de succes p . Dacă probabilitatea de succes în fiecare proces este p , atunci probabilitatea ca primul succes să fie obținut în testul k

P(X=k)=p(1-p)^{k-1},

{\ displaystyle P (X = k) = p (1-p) ^ {k-1},}

{\ displaystyle P (X = k) = p (1-p) ^ {k-1},}

cu k = 1, 2, 3, ...

Formula de mai sus este utilizată, prin urmare, pentru a calcula probabilitatea de a face un anumit număr k de încercări până când se obține primul succes (la th încercarea de k-). Totuși, mai jos, următoarea distribuție exprimă probabilitatea de a avea k eșecuri înainte de a obține primul succes:

P(Y=k)=p(1-p)^{k},

{\ displaystyle P (Y = k) = p (1-p) ^ {k},}

{\ displaystyle P (Y = k) = p (1-p) ^ {k},}

pentru k = 0, 1, 2, 3, ...

În ambele cazuri, succesiunea probabilităților este o serie geometrică .

Definiție

Distribuția geometrică ${\mathcal {G}}(p)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p)}$ este distribuția probabilității pe numerele naturale ale formei

P(k)=pq^{k-1}

{\ displaystyle P (k) = pq ^ {k-1}}

P (k) = pq ^ {{k-1}}

, cu

q=1-p,

{\ displaystyle q = 1-p,}

{\ displaystyle q = 1-p,}

unde q indică probabilitatea de eșec. Parametrul $q=1-p$ ${\ displaystyle q = 1-p}$ $q = 1-p$ este derivat din

1=P(\mathbb {N} ^{+})=\sum _{k\geqslant 0}pq^{k}=p{\frac {1}{1-q}}.

{\ displaystyle 1 = P (\ mathbb {N} ^ {+}) = \ sum _ {k \ geqslant 0} pq ^ {k} = p {\ frac {1} {1-q}}.}

{\ displaystyle 1 = P (\ mathbb {N} ^ {+}) = \ sum _ {k \ geqslant 0} pq ^ {k} = p {\ frac {1} {1-q}}.}

Și amintind definiția lui q obținem 1. Acest rezultat este de o importanță fundamentală: înseamnă că, oricât de mică ar fi probabilitatea ca un eveniment să se întâmple, într-un proces Bernoulli acest lucru se va întâmpla mai devreme sau mai târziu (acest lucru se referă la neobosita teoremă a maimuțelor ) .

Dacă variabila aleatorie X are distribuția geometrică descrisă mai sus cu privire la numărul de extracții necesare pentru a obține primul succes, adică X este distribuit în funcție de $P(k)=pq^{k-1}$ ${\ displaystyle P (k) = pq ^ {k-1}}$ ${\ displaystyle P (k) = pq ^ {k-1}}$ , apoi distribuția variabilei aleatorii $Y=X-1$ ${\ displaystyle Y = X-1}$ ${\ displaystyle Y = X-1}$ Sara $P(k)=pq^{k}$ ${\ displaystyle P (k) = pq ^ {k}}$ ${\ displaystyle P (k) = pq ^ {k}}$ . În exemplul citat mai sus, X este numărul de extracții de făcut deoarece momeala unui număr fix (extragerea X -a), în timp ce Y este numărul de eșecuri înainte ca acestea să aibă primul succes.

Procesul Bernoulli

Distribuția geometrică a parametrului q descrie, de asemenea, numărul Y de eșecuri care preced primul succes într-un proces Bernoulli $\{X_{i}\}_{i}$ ${\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i}}$ $\ {X_ {i} \} _ {i}$ de parametru $p=1-q$ ${\ displaystyle p = 1-q}$ $p = 1-q$ :

P(T=k)=P(X_{1}=0)\cdots P(X_{k}=0)P(X_{k+1}=1)=q^{k}p.

{\ displaystyle P (T = k) = P (X_ {1} = 0) \ cdots P (X_ {k} = 0) P (X_ {k + 1} = 1) = q ^ {k} p.}

{\ displaystyle P (T = k) = P (X_ {1} = 0) \ cdots P (X_ {k} = 0) P (X_ {k + 1} = 1) = q ^ {k} p.}

Caracteristici

O variabilă aleatorie T cu o distribuție geometrică a parametrului q și având ca suport numerele naturale, cu excepția numărului 0 are

funcția de probabilitate

P(T=k)=pq^{k-1}

{\ displaystyle P (T = k) = pq ^ {k-1}}

P (T = k) = pq ^ {{k-1}}

funcția de distribuție

P(T\leqslant k)=1-P(T\geqslant k+1)=1-q^{k}

{\ displaystyle P (T \ leqslant k) = 1-P (T \ geqslant k + 1) = 1-q ^ {k}}

P (T \ leqslant k) = 1-P (T \ geqslant k + 1) = 1-q ^ {{k}}

valorea estimata

E[T]=\sum _{k}kpq^{k-1}={\frac {1}{p}}

{\ displaystyle E [T] = \ sum _ {k} kpq ^ {k-1} = {\ frac {1} {p}}}

E [T] = \ sum _ {k} kpq ^ {{k-1}} = {\ frac {1} {p}}

varianță

{\text{Var}}(T)\ =\ E[T^{2}]-E[T]^{2}\ =\ {\frac {q}{p^{2}}}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (T) \ = \ E [T ^ {2}] - E [T] ^ {2} \ = \ {\ frac {q} {p ^ {2}}} }

{\ text {Var}} (T) \ = \ E [T ^ {2}] - E [T] ^ {2} \ = \ {\ frac {q} {p ^ {2}}}

funcție generatoare de moment $g(T,t)\ =\ E[e^{tT}]\ =\ pe^{t}\sum _{k}q^{k}e^{kt}={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}$ ${\ displaystyle g (T, t) \ = \ E [e ^ {tT}] \ = \ pe ^ {t} \ sum _ {k} q ^ {k} e ^ {kt} = {\ frac {pe ^ {t}} {1-qe ^ {t}}}}$ ${\ displaystyle g (T, t) \ = \ E [e ^ {tT}] \ = \ pe ^ {t} \ sum _ {k} q ^ {k} e ^ {kt} = {\ frac {pe ^ {t}} {1-qe ^ {t}}}}$
funcție caracteristică $\phi _{T}(t)\ =\ E[e^{itT}]\ =\ {\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {T} (t) \ = \ E [e ^ {itT}] \ = \ {\ frac {pe ^ {it}} {1-qe ^ {it}}}}$ $\ phi _ {T} (t) \ = \ E [e ^ {{itT}}] \ = \ {\ frac {pe ^ {{it}}} {1-qe ^ {{it}}}}$

Cuantilele sunt obținute din funcția de distribuție:

de sine $n=\log _{q}(1-\alpha )$ ${\ displaystyle n = \ log _ {q} (1- \ alpha)}$ $n = \ log _ {q} (1- \ alfa)$ este un număr întreg ( $q={\sqrt[{n}]{1-\alpha }}$ ${\ displaystyle q = {\ sqrt [{n}] {1- \ alpha}}}$ $q = {\ sqrt [{n}] {1- \ alpha}}$ ) asa de $F(n-1)=\alpha$ ${\ displaystyle F (n-1) = \ alpha}$ $F (n-1) = \ alfa$ Și $q_{\alpha }\in [n-1,n]$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha} \ în [n-1, n]}$ $q _ {\ alpha} \ în [n-1, n]$ ;
dacă în schimb $\log _{q}(1-\alpha )$ ${\ displaystyle \ log _ {q} (1- \ alpha)}$ $\ log _ {q} (1- \ alfa)$ atunci nu este întreg $q_{\alpha }=[\log _{q}(1-\alpha )]$ ${\ displaystyle q _ {\ alpha} = [\ log _ {q} (1- \ alpha)]}$ $q _ {\ alpha} = [\ log _ {q} (1- \ alpha)]$ ( parte întreagă ).

În special mediana este

q_{1/2}\in [n-1,n]

{\ displaystyle q_ {1/2} \ în [n-1, n]}

q _ {{1/2}} \ în [n-1, n]

de sine

q={\sqrt[{n}]{\tfrac {1}{2}}}

{\ displaystyle q = {\ sqrt [{n}] {\ tfrac {1} {2}}}}

q = {\ sqrt [{n}] {{\ tfrac {1} {2}}}}

cu

n

{\ displaystyle n}

n

întreg,

q_{1/2}=[\log _{q}{\tfrac {1}{2}}]

{\ displaystyle q_ {1/2} = [\ log _ {q} {\ tfrac {1} {2}}]}

q _ {{1/2}} = [\ log _ {q} {\ tfrac {1} {2}}]

in caz contrar.

Lipsa memoriei

Distribuția geometrică este lipsită de memorie , adică

P(T=m+n|T>m)=P(T=n),

{\ displaystyle P (T = m + n | T> m) = P (T = n),}

{\ displaystyle P (T = m + n | T> m) = P (T = n),}

și este singura distribuție discretă de probabilitate cu această proprietate.

Independența dovezilor într-un proces Bernoulli implică absența memoriei distribuției geometrice. Pe de altă parte, fiecare variabilă aleatorie T care susține numerele naturale și fără memorie este respectată

P(T=n)=P(T=n+1|T>1)={\frac {P(T=n+1)}{P(T>1)}},

{\ displaystyle P (T = n) = P (T = n + 1 | T> 1) = {\ frac {P (T = n + 1)} {P (T> 1)}},}

{\ displaystyle P (T = n) = P (T = n + 1 | T> 1) = {\ frac {P (T = n + 1)} {P (T> 1)}},}

de aceea are o distribuție geometrică a probabilității parametrului $P(T=1)$ ${\ displaystyle P (T = 1)}$ ${\ displaystyle P (T = 1)}$ .

Generalizări

O generalizare a distribuției geometrice este distribuția lui Pascal (sau distribuție binomială negativă), care descrie numărul eșecurilor anterioare r -al șaselea succes într-un proces Bernoulli .

O altă generalizare a distribuției Pascal este distribuția Panjer care, la fel ca distribuția geometrică, definește probabilitățile prin recursivitate .

Exemple

Probabilitatea ca o matriță (corectă, pe 6 fețe) să fie rulată exact de 10 ori înainte de a da un "4" este dată de distribuția geometrică. Aruncarea zarurilor poate fi considerată un proces Bernoulli, în care fiecare dovadă X _i are probabilitate $p=1/6$ ${\ displaystyle p = 1/6}$ ${\ displaystyle p = 1/6}$ a furniza „4” (succes) e $q=5/6$ ${\ displaystyle q = 5/6}$ ${\ displaystyle q = 5/6}$ pentru a furniza un alt număr (eșec). Probabilitatea căutată este deci

P(T=10)={\frac {1}{6}}\left({\frac {5}{6}}\right)^{9}=0,032\ldots

{\ displaystyle P (T = 10) = {\ frac {1} {6}} \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) ^ {9} = 0,032 \ ldots}

{\ displaystyle P (T = 10) = {\ frac {1} {6}} \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) ^ {9} = 0,032 \ ldots}

Probabilitatea ca după 10 aruncări să fie aruncat cel puțin un „4” este în schimb

P(T\leqslant 10)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{10}=0,838\ldots

{\ displaystyle P (T \ leqslant 10) = 1- \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) ^ {10} = 0,838 \ ldots}

{\ displaystyle P (T \ leqslant 10) = 1- \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) ^ {10} = 0,838 \ ldots}

Probabilitatea ca un "4" să fie obținut pe a zecea lansare după ce acest număr nu a fost niciodată obținut pentru 9 rulouri este ușor calculată datorită lipsei de memorie