Simetrie (statistici)

Exemplu de date experimentale care arată asimetrie

În teoria probabilității, o distribuție a probabilității este simetrică atunci când funcția sa de probabilitate P (în cazul discret ) sau funcția sa de densitate a probabilității (în cazul continuu ) sunt simetrice față de o anumită valoare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ :

P(x_{0}+x)=P(x_{0}-x)

{\ displaystyle P (x_ {0} + x) = P (x_ {0} -x)}

P (x_ {0} + x) = P (x_ {0} -x)

sau

f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)

{\ displaystyle f (x_ {0} + x) = f (x_ {0} -x)}

f (x_ {0} + x) = f (x_ {0} -x)

.

Exemple de distribuții simetrice sunt distribuții uniforme (distribuție continuă discretă și uniformă ) pe seturi simetrice, distribuția normală și alte distribuții derivate din distribuții simetrice (distribuția Student t ) sau definite simetric ( distribuția Skellam cu parametri egali).

Un indice de asimetrie (în engleză skewness) al unei distribuții este o valoare care încearcă să ofere o măsură a lipsei sale de simetrie.

Există mai mulți indici de asimetrie. Pentru fiecare dintre ele valoarea 0 oferă o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru ca o distribuție să fie simetrică. (Fiecare distribuție simetrică are index 0, dar există și distribuții nesimetrice cu index 0).

Indicii de asimetrie utilizați în mod obișnuit se bazează pe unele proprietăți ale distribuțiilor simetrice sau, în special, ale distribuției normale . Pentru toate acestea

valoarea așteptată , mediana și modul (dacă este unic) coincid;
momentele centrale de ordin impar sunt zero.

Indicele de asimetrie

Cel mai folosit indicele, cunoscut doar ca indicele asimetria sau asimetrici, este definit ca

\gamma _{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {m_ {3}} {m_ {2} ^ {3/2}}}}

\ gamma _ {1} = {\ frac {m_ {3}} {m_ {2} ^ {{3/2}}}}

prin momentele centrale $m_{k}=E[{\bar {X}}^{k}]$ ${\ displaystyle m_ {k} = E [{\ bar {X}} ^ {k}]}$ $m_ {k} = E [{\ bar {X}} ^ {k}]$ , adică valorile așteptate ale puterilor variabilei aleatorii centrate ${\bar {X}}=X-E[X].$ ${\ displaystyle {\ bar {X}} = XE [X].}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}} = X-E [X].}$

Deoarece primul moment central este întotdeauna zero și al doilea moment central ( varianța ) este zero numai pentru distribuțiile concentrate pe o singură valoare, al treilea moment central $m_{3}$ ${\ displaystyle m_ {3}}$ $m_ {3}$ este cea mai mică ordine care poate „spera” să măsoare asimetria unei distribuții. În plus, redimensionarea pentru $m_{2}^{3/2}$ ${\ displaystyle m_ {2} ^ {3/2}}$ $m_ {2} ^ {{3/2}}$ permite indexarea $\gamma _{1}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma _ {1}$ să rămână neschimbat pentru transformări liniare $Y=aX+b,$ ${\ displaystyle Y = aX + b,}$ ${\ displaystyle Y = aX + b,}$ care transformă momentele centrale precum $m_{k}(aX+b)=a^{k}m_{k}(X).$ ${\ displaystyle m_ {k} (aX + b) = a ^ {k} m_ {k} (X).}$ ${\ displaystyle m_ {k} (aX + b) = a ^ {k} m_ {k} (X).}$

Este uneori folosit în locul $\gamma _{1}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma _ {1}$ indicele

\beta _{1}=\gamma _{1}^{2}={\frac {m_{3}^{2}}{m_{2}^{3}}},

{\ displaystyle \ beta _ {1} = \ gamma _ {1} ^ {2} = {\ frac {m_ {3} ^ {2}} {m_ {2} ^ {3}}},}

{\ displaystyle \ beta _ {1} = \ gamma _ {1} ^ {2} = {\ frac {m_ {3} ^ {2}} {m_ {2} ^ {3}}},}

care, însă, pierde informații despre semnul asimetriei.

În statistici, indicele de asimetrie calculat pe un eșantion observat $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$ in medie ${\bar {x}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ bar {x}}$ urmează formula

\gamma _{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}}.

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {n}} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {3}} {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {n}} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2} \ dreapta) ^ {3/2}}}.}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {n}} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {3}} {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {n}} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2} \ dreapta) ^ {3/2}}}.}

Următorul moment central $m_{4}$ ${\ displaystyle m_ {4}}$ $m_ {4}$ în schimb este folosit pentru a calcula kurtosis (care vrea să „măsoare” distanța distribuției de distribuția normală).

Proprietate

Fiecare distribuție simetrică are un indice de asimetrie 0.

Suma $Y=X_{1}+\ldots +X_{n}$ ${\ displaystyle Y = X_ {1} + \ ldots + X_ {n}}$ ${\ displaystyle Y = X_ {1} + \ ldots + X_ {n}}$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabilele aleatoare variabilele independente cu aceeași distribuție au momente centrale $m_{k}(Y)=nm_{k}(X);$ ${\ displaystyle m_ {k} (Y) = nm_ {k} (X);}$ ${\ displaystyle m_ {k} (Y) = nm_ {k} (X);}$ în special

\gamma _{1}(Y)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\gamma _{1}(X).

{\ displaystyle \ gamma _ {1} (Y) = {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ gamma _ {1} (X).}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} (Y) = {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ gamma _ {1} (X).}

O credință greșită, dar răspândită (și „susținută” de unele texte care o raportează ca o regulă orientativă ) este că semnul coeficientului $\gamma _{1}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma _ {1}$ poate determina pozițiile reciproce ale valorii așteptate, a medianei și a modului (dacă acesta este unic) al unei distribuții, în special că acestea trebuie să coincidă dacă $\gamma _{1}=0$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 0}$ $\ gamma _ {1} = 0$ . ^[1]

Indicele Pearson

Unii indici alternativi de asimetrie pentru un eșantion statistic au fost propuși de Karl Pearson ; implică media ( valoarea așteptată ), mediana , modul și abaterea standard (rădăcina pătrată a varianței):

Asimetria modei lui Pearson

{\frac {{\text{media}}-{\text{moda}}}{\text{scarto quadratico medio}}};

{\ displaystyle {\ frac {{\ text {average}} - {\ text {fashion}}} {\ text {deviație standard}}};}

{\ displaystyle {\ frac {{\ text {average}} - {\ text {fashion}}} {\ text {deviație standard}}};}

primul coeficient de asimetrie Pearson

{\frac {3({\text{media}}-{\text{moda}})}{\text{scarto quadratico medio}}};

{\ displaystyle {\ frac {3 ({\ text {average}} - {\ text {fashion}})} {\ text {deviație standard}}};}

{\ displaystyle {\ frac {3 ({\ text {average}} - {\ text {fashion}})} {\ text {deviație standard}}};}

al doilea coeficient de asimetrie Pearson

{\frac {3({\text{media}}-{\text{mediana}})}{\text{scarto quadratico medio}}}.

{\ displaystyle {\ frac {3 ({\ text {average}} - {\ text {median}})} {\ text {deviație standard}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {3 ({\ text {average}} - {\ text {median}})} {\ text {deviație standard}}}.}

Este demn de remarcat faptul că, deoarece o asimetrie nu este legată de o relație de ordine între medie, mod și mediană, semnul acestor indici nu oferă informații cu privire la tipul de asimetrie (coadă la dreapta sau coadă la stânga medianei , asimetrie în dreapta sau în stânga).

Exemplu

Un exemplu de distribuție nesimetrică cu coeficient de asimetrie 0 este distribuția discretă

P(-4)={\tfrac {1}{3}},\quad P(1)={\tfrac {1}{2}},\quad P(5)={\tfrac {1}{6}},

{\ displaystyle P (-4) = {\ tfrac {1} {3}}, \ quad P (1) = {\ tfrac {1} {2}}, \ quad P (5) = {\ tfrac {1 } {6}},}

{\ displaystyle P (-4) = {\ tfrac {1} {3}}, \ quad P (1) = {\ tfrac {1} {2}}, \ quad P (5) = {\ tfrac {1 } {6}},}

care poate fi vizualizat ca rulajul unei matrițe ale cărei șase fețe au numerele „-4, -4, 1, 1, 1, 5”.

Această distribuție nu este în mod clar simetrică, cu toate acestea are o valoare așteptată egală cu 0 (este centrată) și un al treilea moment central egal cu ${\tfrac {-64-64+1+1+1+125}{6}}=0,$ ${\ displaystyle {\ tfrac {-64-64 + 1 + 1 + 1 + 125} {6}} = 0,}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {-64-64 + 1 + 1 + 1 + 125} {6}} = 0,}$ de aceea are indici de asimetrie $\gamma _{1}=\beta _{1}=0.$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ beta _ {1} = 0.}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ beta _ {1} = 0.}$

În exemplu, modul și mediana nu coincid cu media, dar acest lucru poate fi obținut prin adăugarea a încă 4 „fețe” cu o valoare de 0; în acest fel, de asemenea, indicii Pearson devin nuli, iar distribuția rămâne nesimetrică.

Notă

^ (EN) Paul T. von Hippel, Mean, Median, and Skew: Correction in Textbook Rule , în Journal of Statistics Education. Adus pe 21 martie 2010 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de simetrie

linkuri externe

(EN) Symmetry , of Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Paul T. von Hippel, Mean, Median, and Skew: Correction in Textbook Rule , în Journal of Statistics Education. Adus pe 21 martie 2010 .

[1]

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezelor · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rată de eșec · Estimator Kaplan-Meier · test log-rank
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit