Variabile instrumentale

În statistici , estimarea cu metoda variabilelor instrumentale este utilizată în analiza de regresie liniară. O ipoteză standard a modelului clasic de regresie liniară este că variabilele explicative nu sunt corelate cu componenta inexplicabilă sau tulburarea; unde această ipoteză eșuează, regresia cu metoda obișnuită a celor mai mici pătrate nu va permite obținerea unor estimări consistente (adică asimptotic corecte și cu varianță asimptotică zero). Cu toate acestea, dacă este disponibilă o variabilă instrumentală , se pot obține în continuare estimări consistente .

Metoda de estimare a unui model liniar folosind variabile instrumentale este, de asemenea, cunoscută sub numele de metoda celor mai mici pătrate în două etape (sau 2SLS, din engleza Two-Stages Least Squares ).

Definiție

Ilustrarea modelului general de regresie cu variabile instrumentale și terminologia acestuia: ^[1]

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1i}+\beta _{2}X_{2i}+\cdots +\beta _{k}X_{ki}+\beta _{k+r}W{ri}+Z_{1i},Z_{2i}+u_{i}$ ${\ displaystyle Y_ {i} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} X_ {1i} + \ beta _ {2} X_ {2i} + \ cdots + \ beta _ {k} X_ {ki} + \ beta _ {k + r} W {ri} + Z_ {1i}, Z_ {2i} + u_ {i}}$ ${\ displaystyle Y_ {i} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} X_ {1i} + \ beta _ {2} X_ {2i} + \ cdots + \ beta _ {k} X_ {ki} + \ beta _ {k + r} W {ri} + Z_ {1i}, Z_ {2i} + u_ {i}}$

unde este:

i variază între observații, i = 1, ...., n ;

Y_{i}

{\ displaystyle Y_ {i}}

Y_ {i}

este variabilă dependentă ;

X_{1i},X_{2i}+\cdots +X_{ki}

{\ displaystyle X_ {1i}, X_ {2i} + \ cdots + X_ {ki}}

X _ {{1i}}, X _ {{2i}} + \ cdots + X _ {{ki}}

sunt k regresori endogeni potențial corelați cu

u_{i}

{\ displaystyle u_ {i}}

u_ {i}

;

W_{1i},W_{2i}+\cdots +W_{ri}

{\ displaystyle W_ {1i}, W_ {2i} + \ cdots + W_ {ri}}

{\ displaystyle W_ {1i}, W_ {2i} + \ cdots + W_ {ri}}

sunt r incluși regresori exogeni necorelați cu

u_{i}

{\ displaystyle u_ {i}}

u_ {i}

;

\beta _{0}+\beta _{1}x_{1i}+\beta _{2}x_{2i}\cdots +\beta _{k}x_{ki}

{\ displaystyle \ beta _ {0} + \ beta _ {1} x_ {1i} + \ beta _ {2} x_ {2i} \ cdots + \ beta _ {k} x_ {ki}}

\ beta _ {0} + \ beta _ {1} x _ {{1i}} + \ beta _ {2} x _ {{2i}} \ cdots + \ beta _ {k} x _ {{ki}}

este linia de regresie ;

\beta _{0},\beta _{1}\cdots \beta {k+1}

{\ displaystyle \ beta _ {0}, \ beta _ {1} \ cdots \ beta {k + 1}}

{\ displaystyle \ beta _ {0}, \ beta _ {1} \ cdots \ beta {k + 1}}

sunt coeficienți de regresie necunoscuți;

Z_{1i},Z_{2i}\cdots Z_{mi}

{\ displaystyle Z_ {1i}, Z_ {2i} \ cdots Z_ {mi}}

{\ displaystyle Z_ {1i}, Z_ {2i} \ cdots Z_ {mi}}

sunt m variabile instrumentale;

u_{i}

{\ displaystyle u_ {i}}

u_ {i}

este eroarea statistică .

Acestea sunt estimate cu metoda celor mai mici pătrate în două etape .

Valabilitatea instrumentelor

Un set de instrumente $Z_{1i},Z_{2i}\cdots Z_{mi}$ ${\ displaystyle Z_ {1i}, Z_ {2i} \ cdots Z_ {mi}}$ ${\ displaystyle Z_ {1i}, Z_ {2i} \ cdots Z_ {mi}}$ trebuie să îndeplinească două condiții pentru a fi valabil:

Relevanță : instrumentul este corelat cu X. $Cor[Z_{i},X_{i}]\neq 0$ ${\ displaystyle Cor [Z_ {i}, X_ {i}] \ neq 0}$ ${\ displaystyle Cor [Z_ {i}, X_ {i}] \ neq 0}$
Exogenitate : partea variației $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ , captată de variabila instrumentală este exogenă. $E[u_{i}|Z_{i}]=0$ ${\ displaystyle E [u_ {i} | Z_ {i}] = 0}$ ${\ displaystyle E [u_ {i} | Z_ {i}] = 0}$

Ilustrația metodei

Luați în considerare modelul de regresie liniară :

\ y_{i}=x_{i}\beta +\varepsilon _{i},\ i=1,\ldots ,N

{\ displaystyle \ y_ {i} = x_ {i} \ beta + \ varepsilon _ {i}, \ i = 1, \ ldots, N}

{\ displaystyle \ y_ {i} = x_ {i} \ beta + \ varepsilon _ {i}, \ i = 1, \ ldots, N}

În modelul de regresie clasic se presupune că variabilele explicative $\ x_{i}$ ${\ displaystyle \ x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ x_ {i}}$ nu au nicio corelație cu tulburările $\ \varepsilon _{i}$ ${\ displaystyle \ \ varepsilon _ {i}}$ $\ \ varepsilon _ {i}$ , $\ {\mbox{E}}[x_{i}\varepsilon _{i}]=0$ ${\ displaystyle \ {\ mbox {E}} [x_ {i} \ varepsilon _ {i}] = 0}$ ${\ displaystyle \ {\ mbox {E}} [x_ {i} \ varepsilon _ {i}] = 0}$ . Metoda celor mai mici pătrate obține estimatorul pentru parametru $\ \beta$ ${\ displaystyle \ \ beta}$ $\ \ beta$ ca soluție la ecuație:

\ \sum _{i}x_{i}(y_{i}-x_{i}\beta )=0

{\ displaystyle \ \ sum _ {i} x_ {i} (y_ {i} -x_ {i} \ beta) = 0}

{\ displaystyle \ \ sum _ {i} x_ {i} (y_ {i} -x_ {i} \ beta) = 0}

Acest lucru duce la estimatorul (al celor mai mici pătrate obișnuite , în engleză Ordinary Least Squares sau OLS):

\ {\hat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }={\frac {\sum _{i}x_{i}y_{i}}{\sum _{i}x_{i}^{2}}}={\frac {\sum _{i}x_{i}(x_{i}\beta +\varepsilon _{i})}{\sum _{i}x_{i}^{2}}}=\beta +{\frac {\sum _{i}x_{i}\varepsilon _{i}}{\sum _{i}x_{i}^{2}}}

{\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {OLS}} = {\ frac {\ sum _ {i} x_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i} x_ {i } ^ {2}}} = {\ frac {\ sum _ {i} x_ {i} (x_ {i} \ beta + \ varepsilon _ {i})} {\ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}}} = \ beta + {\ frac {\ sum _ {i} x_ {i} \ varepsilon _ {i}} {\ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {OLS}} = {\ frac {\ sum _ {i} x_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i} x_ {i } ^ {2}}} = {\ frac {\ sum _ {i} x_ {i} (x_ {i} \ beta + \ varepsilon _ {i})} {\ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}}} = \ beta + {\ frac {\ sum _ {i} x_ {i} \ varepsilon _ {i}} {\ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}}}}

Atâta timp cât $\ x_{i}$ ${\ displaystyle \ x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ x_ {i}}$ Și $\ \varepsilon _{i}$ ${\ displaystyle \ \ varepsilon _ {i}}$ $\ \ varepsilon _ {i}$ sunt necorelate, trecând la limita pentru $\ N\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle \ N \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ N \ rightarrow \ infty}$ al doilea termen din expresia de mai sus converge la zero în probabilitate, astfel încât estimarea $\ {\hat {\beta }}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}}}$ $\ {\ hat {\ beta}}$ este consecvent .

Cu toate acestea, atunci când ipoteza standard eșuează, estimatorul celor mai mici pătrate nu mai este consecvent . În acest caz, poate fi util să se ia în considerare o variabilă instrumentală $\ z_{i}$ ${\ displaystyle \ z_ {i}}$ ${\ displaystyle \ z_ {i}}$ , $\ i=1,\ldots ,N$ ${\ displaystyle \ i = 1, \ ldots, N}$ ${\ displaystyle \ i = 1, \ ldots, N}$ , fără legătură cu tulburarea $\ \varepsilon _{i}$ ${\ displaystyle \ \ varepsilon _ {i}}$ $\ \ varepsilon _ {i}$ (și, în mod ideal, corelat cu variabila explicativă $\ x_{i}$ ${\ displaystyle \ x_ {i}}$ $\ x_ {i}$ ). Datorită acestuia este posibil să setați un estimator prin metoda momentelor , astfel încât să satisfaceți condiția:

\ \sum _{i}z_{i}(y_{i}-x_{i}\beta )=0

{\ displaystyle \ \ sum _ {i} z_ {i} (y_ {i} -x_ {i} \ beta) = 0}

{\ displaystyle \ \ sum _ {i} z_ {i} (y_ {i} -x_ {i} \ beta) = 0}

Din condiția de mai sus coboară estimatorul (variabilelor instrumentale, în engleză Variabile instrumentale sau IV):

\ {\hat {\beta }}_{\mathrm {IV} }={\frac {\sum _{i}z_{i}y_{i}}{\sum _{i}z_{i}x_{i}}}={\frac {\sum _{i}z_{i}(x_{i}\beta +\varepsilon _{i})}{\sum _{i}z_{i}x_{i}}}=\beta +{\frac {\sum _{i}z_{i}\varepsilon _{i}}{\sum _{i}z_{i}x_{i}}}

{\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {IV}} = {\ frac {\ sum _ {i} z_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i} z_ {i } x_ {i}}} = {\ frac {\ sum _ {i} z_ {i} (x_ {i} \ beta + \ varepsilon _ {i})} {\ sum _ {i} z_ {i} x_ {i}}} = \ beta + {\ frac {\ sum _ {i} z_ {i} \ varepsilon _ {i}} {\ sum _ {i} z_ {i} x_ {i}}}}

{\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {IV}} = {\ frac {\ sum _ {i} z_ {i} y_ {i}} {\ sum _ {i} z_ {i } x_ {i}}} = {\ frac {\ sum _ {i} z_ {i} (x_ {i} \ beta + \ varepsilon _ {i})} {\ sum _ {i} z_ {i} x_ {i}}} = \ beta + {\ frac {\ sum _ {i} z_ {i} \ varepsilon _ {i}} {\ sum _ {i} z_ {i} x_ {i}}}}

Atâta timp cât $\ z_{i}$ ${\ displaystyle \ z_ {i}}$ ${\ displaystyle \ z_ {i}}$ Și $\ \varepsilon _{i}$ ${\ displaystyle \ \ varepsilon _ {i}}$ $\ \ varepsilon _ {i}$ nu prezintă corelație, estimatorul $\ {\hat {\beta }}_{\mathrm {IV} }$ ${\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {IV}}}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {IV}}}$ se va bucura de proprietatea consistenței . Poate fi interesant să observăm că acest estimator este un caz mai general decât cel obținut cu metoda celor mai mici pătrate ; această metodă, cu alte cuvinte, poate fi gândită ca o estimare utilizând variabile instrumentale, în care aceleași variabile explicative ( $\ x_{i}$ ${\ displaystyle \ x_ {i}}$ $\ x_ {i}$ în notația adoptată mai sus) sunt utilizate ca variabile instrumentale.

Cazul multivariat

Procedura descrisă mai sus este imediat adaptabilă cazului multivariat. Luați în considerare o matrice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a N observații ale regresorilor K și a unei matrice $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ a N observații ale variabilelor instrumentale P , astfel încât:

y=X\beta +\varepsilon ,\quad {\mbox{E}}[X\varepsilon ]\neq 0

{\ displaystyle y = X \ beta + \ varepsilon, \ quad {\ mbox {E}} [X \ varepsilon] \ neq 0}

{\ displaystyle y = X \ beta + \ varepsilon, \ quad {\ mbox {E}} [X \ varepsilon] \ neq 0}

unde I denotă matricea de identitate a dimensiunii N și:

\ X=Z\Gamma +u,\quad {\mbox{E}}[u]=0,\quad {\mbox{E}}[Z\varepsilon ]=0

{\ displaystyle \ X = Z \ Gamma + u, \ quad {\ mbox {E}} [u] = 0, \ quad {\ mbox {E}} [Z \ varepsilon] = 0}

{\ displaystyle \ X = Z \ Gamma + u, \ quad {\ mbox {E}} [u] = 0, \ quad {\ mbox {E}} [Z \ varepsilon] = 0}

Apoi putem scrie:

{\hat {\Gamma }}=(Z'Z)^{-1}Z'X

{\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} = (Z'Z) ^ {- 1} Z'X}

{\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} = (Z'Z) ^ {- 1} Z'X}

{\hat {X}}=Z{\hat {\Gamma }}=Z(Z'Z)^{-1}Z'X

{\ displaystyle {\ hat {X}} = Z {\ hat {\ Gamma}} = Z (Z'Z) ^ {- 1} Z'X}

{\ displaystyle {\ hat {X}} = Z {\ hat {\ Gamma}} = Z (Z'Z) ^ {- 1} Z'X}

{\hat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=({\hat {X}}'{\hat {X}})^{-1}{\hat {X}}'y=\beta +(X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X)^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'\varepsilon

{\ displaystyle {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {IV}} = ({\ hat {X}} '{\ hat {X}}) ^ {- 1} {\ hat {X}}' y = \ beta + (X'Z (Z'Z) ^ {- 1} Z'X) ^ {- 1} X'Z (Z'Z) ^ {- 1} Z '\ varepsilon}

{\ displaystyle {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {IV}} = ({\ hat {X}} '{\ hat {X}}) ^ {- 1} {\ hat {X}}' y = \ beta + (X'Z (Z'Z) ^ {- 1} Z'X) ^ {- 1} X'Z (Z'Z) ^ {- 1} Z '\ varepsilon}

Aplicarea metodei

Corelația dintre regresori și tulburări într-un model de regresie liniară poate apărea în mai multe circumstanțe. Unele cazuri notabile, menționate în general în literatură, sunt:

Omiterea variabilelor relevante , dacă modelul de regresie (multivariat) nu include o variabilă printre regresori, care ar avea, de asemenea, o putere explicativă semnificativă în raport cu variabila dependentă;
Eroare în variabilele explicative , în care datele referitoare la unul sau mai mulți regresori sunt afectate de o eroare de măsurare, distinctă de perturbare $\ \varepsilon _{i}$ ${\ displaystyle \ \ varepsilon _ {i}}$ $\ \ varepsilon _ {i}$ ;
Ecuații simultane , în cazurile în care sistemul analizat reunește mai multe modele statistice care funcționează simultan.

Metoda variabilelor instrumentale este adesea aplicată cu o procedură de estimare a celor mai mici pătrate în două etape (în engleză , Two-Stages Least Squares , sau 2SLS). În abordarea 2SLS, într-o primă etapă de estimare regresorii ( $\ x_{i}$ ${\ displaystyle \ x_ {i}}$ $\ x_ {i}$ în notația de mai sus) au regresat asupra variabilelor instrumentale ( $\ z_{i}$ ${\ displaystyle \ z_ {i}}$ ${\ displaystyle \ z_ {i}}$ ), obținând valori prognozate în prima etapă $\ {\hat {x}}_{i}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} _ {i}}$ . În a doua etapă, variabila dependentă ( $\ y_{i}$ ${\ displaystyle \ y_ {i}}$ $\ y _ {{i}}$ ) a regresat la valorile prognozate din prima etapă $\ {\hat {x}}_{i}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} _ {i}}$ , obținerea estimărilor $\ {\hat {\beta }}_{\mathrm {IV} }$ ${\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {IV}}}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {\ beta}} _ {\ mathrm {IV}}}$ .

Datorită caracteristicilor sale, metoda variabilelor instrumentale este supusă unor probleme legate de alegerea variabilelor instrumentale în sine. Dincolo de cerințele formale pentru funcționarea metodei (absența corelației cu perturbările), acestea din urmă pot fi identificate prin considerații strict legate de problema supusă analizei statistice. Modificări exogene într-o anumită politică (de exemplu, anularea unui program de burse), diferențe geografice în aplicarea datelor standard (de exemplu, diferențe în rezultatele necesare pentru a trece un examen dat în diferite state) sau simpla șansă, vor putea să definiți variabilele instrumentale adecvate.

Notă

^ James Stock, Mark Watson, Introducere în econometrie , Milano, Pearson Education, 2005, p. 337, ISBN 978-88-7192-267-6 .

Bibliografie

Greene, WH (2000), Econometric Analysis , Prentice-Hall, ISBN 0-13-013297-7 , analizează în detaliu modelul clasic de regresie liniară în cazul multivariat, cu referire în special la aplicațiile sale în domeniul econometriei , disciplinei pentru care reprezintă textul de referință la nivel universitar / masterat (în limba engleză ); metoda variabilelor instrumentale este discutată în capitolul 9.
Wooldridge, JM (2002), Analiza econometrică a secțiunilor transversale și a datelor panoului , MIT Press, ISBN 0-262-23219-7 , discută mai detaliat estimarea utilizând variabile instrumentale, în cazul modelelor de ecuație simplă (capitolul 5) și modele de ecuații simultane (capitolul 8); este un text de referință pentru studii de nivel doctoral (în engleză ).

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 57217 · LCCN (EN) sh85066780 · BNF (FR) cb122988792 (data)

Portalul Economiei

Portalul de statistici

[1] James Stock, Mark Watson, Introducere în econometrie , Milano, Pearson Education, 2005, p. 337, ISBN 978-88-7192-267-6 .

[1]

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezei · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rată de eșec · Estimator Kaplan-Meier · test log-rank
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit