Testul Z

Testul Z (sau, din engleză , testul z ) este un test statistic parametric cu scopul de a verifica dacă valoarea medie a unei distribuții se abate semnificativ de la o anumită valoare de referință.

Testul bilateral z pentru testarea ipotezelor pe o valoare medie

Testul Z bilateral este utilizat în cazurile în care se intenționează verificarea ipotezei că valoarea medie a unei populații nu diferă semnificativ de o anumită valoare constantă μ ₀ .

Când - în sondajul eșantion - vrem să evaluăm ipoteza nulă:

\displaystyle H_{0}:\mu =\mu _{0}

{\ displaystyle \ displaystyle H_ {0}: \ mu = \ mu _ {0}}

{\ displaystyle \ displaystyle H_ {0}: \ mu = \ mu _ {0}}

împotriva ipotezei alternative bidirecționale:

H_{1}:\mu \neq \mu _{0}\

{\ displaystyle H_ {1}: \ mu \ neq \ mu _ {0} \}

{\ displaystyle H_ {1}: \ mu \ neq \ mu _ {0} \}

la nivelul de semnificație α , statistica testului este considerată:

Z={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}},

{\ displaystyle Z = {\ frac {{\ overline {X}} - \ mu _ {0}} {\ sigma / {\ sqrt {n}}}},}

{\ displaystyle Z = {\ frac {{\ overline {X}} - \ mu _ {0}} {\ sigma / {\ sqrt {n}}}},}

unde este

{\overline {X}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}/n

{\ displaystyle {\ overline {X}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} / n}

{\ displaystyle {\ overline {X}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} / n}

este media eșantionului vc . Acest lucru este distribuit în mod normal dacă populația este normală; dacă, pe de altă parte, populația nu este normală, prin teorema limitei centrale se poate afirma în continuare că media eșantionului tinde spre normalitate pentru n tendința la infinit și, prin urmare, poate fi bine aproximată la o distribuție normală pentru valori ridicate Din n . Standardizând în raport cu μ ₀ obținem standardul normal al mediei 0 și al varianței 1.

Curba normală standard, cu regiunea de respingere evidențiată, cu α = 10%

Pentru test, luăm în considerare realizarea eșantionului statisticilor obținute din datele eșantionului. Rețineți dimensiunea eșantionului n și abaterea standard σ , regiunea de respingere a testului constă din acele valori ale z empirice astfel încât:

P\left(z<-z_{\alpha /2}{\text{ oppure }}z>z_{\alpha /2}\right)=\alpha .

{\ displaystyle P \ left (z <-z _ {\ alpha / 2} {\ text {or}} z> z _ {\ alpha / 2} \ right) = \ alpha.}

{\ displaystyle P \ left (z <-z _ {\ alpha / 2} {\ text {or}} z> z _ {\ alpha / 2} \ right) = \ alpha.}

Astfel, dacă $\displaystyle |z|>z_{\alpha /2}$ ${\ displaystyle \ displaystyle | z |> z _ {\ alpha / 2}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle | z |> z _ {\ alpha / 2}}$ , suntem în regiunea respingerii și este H ₁ .

Prin urmare, cu o probabilitate de eroare α ( eroare de primul fel ), media universului este diferită de valoarea medie ipotezată.

Varianța necunoscută

Dacă, așa cum se întâmplă adesea în realitate, varianța σ ² a populației nu este cunoscută, se estimează pe bază de eșantion cu estimatorul varianței ajustate prin eșantion , adică varianța eșantionului :

s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}

{\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2}} {n-1}} }

{\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2}} {n-1}} }

,

a cărui realizare eșantion este estimarea varianței universului.

În acest caz, testul nu mai este numit testul z, ci testul t, deoarece distribuția de probabilitate a statisticii testului este un T student cu n - 1 grade de libertate. Testul ipotezei este analog testului z (t empiric este comparat cu cuantila de ordinul α / 2 a T-urilor la n - 1 grade de libertate).

Elemente conexe

Portalul de matematică

Portalul de statistici

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezelor · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rată de eșec · Estimator Kaplan-Meier · test log-rank
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit