Testul jurnalului

În statistici , testul log-rank (în engleză log-rank test) este un test de ipoteză statistică pentru a compara supraviețuirea distribuțiilor a două eșantioane. Este un test non-parametric, care este adecvat de utilizat atunci când datele sunt înclinate și cenzurate la dreapta (din punct de vedere tehnic, cenzura trebuie să fie neinformativă). Este utilizat pe scară largă în studiile clinice pentru a determina eficacitatea unui nou tratament în comparație cu un tratament de control atunci când cantitatea care trebuie măsurată este timpul dinaintea evenimentului (cum ar fi timpul de la tratamentul inițial până la un atac de cord). Testul este uneori numit testul Mantel-Cox , numit după Nathan Mantel și David Cox . Testul de rang log poate fi văzut și ca un test Cochran-Mantel-Haenszel stratificat în timp.

Testul a fost propus pentru prima dată de Nathan Mantel și a fost numit testul log rank de Richard și Julian Peto . ^[1] ^[2] ^[3]

Definiție

Statistica de testare a jurnalului compară estimările funcției de risc ale a două grupuri la fiecare moment al evenimentelor observate. Se construiește prin calcularea numărului observat și așteptat de evenimente într-unul din grupuri în fiecare moment al evenimentelor observate și apoi adăugarea acestuia din urmă pentru a obține un rezumat general de-a lungul tuturor punctelor de timp în care are loc un eveniment.

Lasa-i sa fie $j=1,\ldots {},J$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots {}, J}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots {}, J}$ momentele distincte ale evenimentelor observate în fiecare dintre cele două grupuri. Pentru orice moment $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ , sunt $N_{1j}$ ${\ displaystyle N_ {1j}}$ ${\ displaystyle N_ {1j}}$ Și $N_{2j}$ ${\ displaystyle N_ {2j}}$ ${\ displaystyle N_ {2j}}$ numărul de subiecți „la risc” (care nu au avut încă un eveniment sau care au fost cenzurați) la începutul perioadei $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ respectiv în cele două grupuri (adesea tratament versus control). Este

N_{j}=N_{1j}+N_{2j}.

{\ displaystyle N_ {j} = N_ {1j} + N_ {2j}.}

{\ displaystyle N_ {j} = N_ {1j} + N_ {2j}.}

De asemenea, sunt $O_{1j}$ ${\ displaystyle O_ {1j}}$ ${\ displaystyle O_ {1j}}$ Și $O_{2j}$ ${\ displaystyle O_ {2j}}$ ${\ displaystyle O_ {2j}}$ numărul de evenimente observate în grupul 1 și respectiv grupul 2 la timp $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ , și așa să fie

O_{j}=O_{1j}+O_{2j}.

{\ displaystyle O_ {j} = O_ {1j} + O_ {2j}.}

{\ displaystyle O_ {j} = O_ {1j} + O_ {2j}.}

De la evenimente $O_{j}$ ${\ displaystyle O_ {j}}$ ${\ displaystyle O_ {j}}$ s-au întâmplat în ambele grupuri în acel moment $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ , pe baza ipotezei nule (a celor două grupuri care au funcții identice de supraviețuire și risc) $O_{1j}$ ${\ displaystyle O_ {1j}}$ ${\ displaystyle O_ {1j}}$ are distribuția hipergeometrică cu parametri $N_{j}$ ${\ displaystyle N_ {j}}$ ${\ displaystyle N_ {j}}$ , $N_{1j}$ ${\ displaystyle N_ {1j}}$ ${\ displaystyle N_ {1j}}$ Și $O_{j}$ ${\ displaystyle O_ {j}}$ ${\ displaystyle O_ {j}}$ . Această distribuție are o valoare așteptată $E_{1j}$ ${\ displaystyle E_ {1j}}$ ${\ displaystyle E_ {1j}}$ și varianță $V_{j}$ ${\ displaystyle V_ {j}}$ ${\ displaystyle V_ {j}}$ dat de

E_{1j}={\frac {O_{j}}{N_{j}}}N_{1j}\qquad V_{j}={\frac {O_{j}(N_{1j}/N_{j})(1-N_{1j}/N_{j})(N_{j}-O_{j})}{N_{j}-1}}.

{\ displaystyle E_ {1j} = {\ frac {O_ {j}} {N_ {j}}} N_ {1j} \ qquad V_ {j} = {\ frac {O_ {j} (N_ {1j} / N_ {j}) (1-N_ {1j} / N_ {j}) (N_ {j} -O_ {j})} {N_ {j} -1}}.}

{\ displaystyle E_ {1j} = {\ frac {O_ {j}} {N_ {j}}} N_ {1j} \ qquad V_ {j} = {\ frac {O_ {j} (N_ {1j} / N_ {j}) (1-N_ {1j} / N_ {j}) (N_ {j} -O_ {j})} {N_ {j} -1}}.}

Statistica de rang jurnal compară fiecare $O_{1j}$ ${\ displaystyle O_ {1j}}$ ${\ displaystyle O_ {1j}}$ cu speranța sa matematică $E_{1j}$ ${\ displaystyle E_ {1j}}$ ${\ displaystyle E_ {1j}}$ sub ipoteza nulă și este definit ca

Z={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{1j}-E_{1j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{j}}}}.

{\ displaystyle Z = {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {J} (O_ {1j} -E_ {1j})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {J} V_ {j}}}}.}

{\ displaystyle Z = {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {J} (O_ {1j} -E_ {1j})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {J} V_ {j}}}}.}

Distribuție asimptotică

În cazul în care cele două grupuri au aceeași funcție de supraviețuire, statistica rangului jurnalului este aproximativ normală standard. Un test de nivel unilateral $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ va respinge însă ipoteza nulă $Z>z_{\alpha }$ ${\ displaystyle Z> z _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle Z> z _ {\ alpha}}$ , unde este $z_{\alpha }$ ${\ displaystyle z _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle z _ {\ alpha}}$ este cuantilul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ mai mare decât distribuția normală standard. Dacă raportul de risc este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , Sunt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ subiecte totale, $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este probabilitatea ca un subiect din fiecare grup să aibă în cele din urmă un eveniment (astfel încât $n d$ ${\ displaystyle nd}$ ${\ displaystyle nd}$ este numărul așteptat de evenimente la momentul analizei), iar proporția subiecților randomizați din fiecare grup este de 50%, atunci statistica de rang log este aproximativ normală cu media $(\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}$ ${\ displaystyle (\ log {\ lambda}) \, {\ sqrt {\ frac {n \, d} {4}}}}$ ${\ displaystyle (\ log {\ lambda}) \, {\ sqrt {\ frac {n \, d} {4}}}}$ și varianța 1. ^[4] Pentru un test $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ nivel de putere unilateral $1-\beta$ ${\ displaystyle 1- \ beta}$ $1- \ beta$ , dimensiunea eșantionului necesară este $n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}$ ${\ displaystyle n = {\ frac {4 \, (z _ {\ alpha} + z _ {\ beta}) ^ {2}} {d \ log ^ {2} {\ lambda}}}}$ ${\ displaystyle n = {\ frac {4 \, (z _ {\ alpha} + z _ {\ beta}) ^ {2}} {d \ log ^ {2} {\ lambda}}}}$ unde este $z_{\alpha }$ ${\ displaystyle z _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle z _ {\ alpha}}$ Și $z_{\beta }$ ${\ displaystyle z _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle z _ {\ beta}}$ sunt cuantilele distribuției normale standard.

Distribuție comună

Asuma ca $Z_{1}$ ${\ displaystyle Z_ {1}}$ ${\ displaystyle Z_ {1}}$ Și $Z_{2}$ ${\ displaystyle Z_ {2}}$ ${\ displaystyle Z_ {2}}$ sunt statisticile clasamentului jurnalului la două momente de timp diferite în același studiu ( $Z_{1}$ ${\ displaystyle Z_ {1}}$ ${\ displaystyle Z_ {1}}$ față). Din nou, presupuneți că funcțiile de risc din cele două grupuri sunt proporționale cu raportul de risc $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este asta $d_{1}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$ Și $d_{2}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$ sunt probabilitățile ca un subiect să aibă un eveniment în cele două momente în care $d_{1}\leq d_{2}$ ${\ displaystyle d_ {1} \ leq d_ {2}}$ ${\ displaystyle d_ {1} \ leq d_ {2}}$ . $Z_{1}$ ${\ displaystyle Z_ {1}}$ ${\ displaystyle Z_ {1}}$ Și $Z_{2}$ ${\ displaystyle Z_ {2}}$ ${\ displaystyle Z_ {2}}$ sunt bivariate aproximativ normale cu medii $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}$ ${\ displaystyle \ log {\ lambda} \, {\ sqrt {\ frac {n \, d_ {1}} {4}}}}$ ${\ displaystyle \ log {\ lambda} \, {\ sqrt {\ frac {n \, d_ {1}} {4}}}}$ Și $\log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}$ ${\ displaystyle \ log {\ lambda} \, {\ sqrt {\ frac {n \, d_ {2}} {4}}}}$ ${\ displaystyle \ log {\ lambda} \, {\ sqrt {\ frac {n \, d_ {2}} {4}}}}$ și corelație ${\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}}$ . Calculele care implică distribuția comună sunt necesare pentru a menține corect rata de eroare atunci când datele sunt revizuite de mai multe ori în cadrul unui studiu realizat de un comitet de monitorizare a datelor .

Relația cu alte statistici

S-a dovedit că testul de clasare a jurnalului este un test prea îngăduitor, permițând rezultate semnificative pentru modelele de predicție de supraviețuire care au o precizie slabă. Testul F * a fost dezvoltat ca răspuns la aceste observații și sa dovedit a fi mai critic și pentru a urmări precizia modelelor de predicție cu o fidelitate mai mare. ^[5]

Statistica rangului jurnalului poate fi obținută ca test de notare pentru modelul de riscuri proporționale Cox prin compararea celor două grupuri. Prin urmare, este echivalent asimptotic cu statistica testului raportului de probabilitate bazat pe acel model.

Statistica de rang logaritmică este echivalentă asimptotic cu statistica testului raportului de probabilitate pentru orice familie de distribuții cu pericole proporționale alternative. De exemplu, dacă datele din cele două eșantioane au distribuții exponențiale .

De sine $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ este statistica rangurilor logaritmice, $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este numărul de evenimente observate e ${\hat {\lambda }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}}}$ este estimarea raportului de risc, atunci $\log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}$ ${\ displaystyle \ log {\ hat {\ lambda}} \ approx Z \, {\ sqrt {4 / D}}}$ ${\ displaystyle \ log {\ hat {\ lambda}} \ approx Z \, {\ sqrt {4 / D}}}$ . Această relație este utilă atunci când sunt cunoscute două dintre cantități (de exemplu, dintr-un articol publicat), dar a treia este necesară.

Statistica de rang jurnal poate fi utilizată atunci când observațiile sunt cenzurate. Dacă observațiile cenzurate nu sunt prezente în date, atunci testul Wilcoxon-Mann-Whitney este adecvat.

Statistica de rang jurnal oferă tuturor calculelor aceeași pondere, indiferent de momentul în care are loc un eveniment. Statistica de rang Peto log oferă mai multă pondere statistică evenimentelor anterioare atunci când există un număr mare de observații.

Notă

^ Mantel, Nathan , Evaluarea datelor de supraviețuire și două noi statistici de ordine de rang care apar în examinarea sa. , în Cancer Chemotherapy Reports , vol. 50, nr. 3, 1966, pp. 163-70, PMID 5910392 .
^ Peto, Richard , Peto, Julian, Asymptotically Efficient Rank Invariant Test Procedures , în Journal of the Royal Statistical Society, Seria A , vol. 135, nr. 2, Editura Blackwell, 1972, pp. 185–207, DOI : 10.2307 / 2344317 , JSTOR 2344317 .
^ David Harrington, Linear Rank Tests in Survival Analysis , în Encyclopedia of Biostatistics , Wiley Interscience, 2005, DOI : 10.1002 / 0470011815.b2a11047 .
^ D. Schoenfeld, Proprietățile asimptotice ale testelor neparametrice pentru compararea distribuțiilor de supraviețuire , în Biometrika , vol. 68, 1981, pp. 316-319, JSTOR 2335833 .
^ Berty HP, Shi H, Lyons-Weiler J. (2010). Determinarea semnificației statistice a modelelor de predicție pentru supraviețuire . J Eval Clin Pract. 16 (1): 155-65.

Elemente conexe

linkuri externe

Bland, KM, Altman, DG,Testul logrank , în BMJ , vol. 328, nr. 7447, 2004, p. 1073, DOI : 10.1136 / bmj.328.7447.1073 , PMC 403858 PMID 15117797 .

Portal de statistici : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de statistici

[Mantel1966-1] Mantel, Nathan , Evaluarea datelor de supraviețuire și două noi statistici de ordine de rang care apar în examinarea sa. , în Cancer Chemotherapy Reports , vol. 50, nr. 3, 1966, pp. 163-70, PMID 5910392 .

[Peto1972-2] Peto, Richard , Peto, Julian, Asymptotically Efficient Rank Invariant Test Procedures , în Journal of the Royal Statistical Society, Seria A , vol. 135, nr. 2, Editura Blackwell, 1972, pp. 185–207, DOI : 10.2307 / 2344317 , JSTOR 2344317 .

[3] David Harrington, Linear Rank Tests in Survival Analysis , în Encyclopedia of Biostatistics , Wiley Interscience, 2005, DOI : 10.1002 / 0470011815.b2a11047 .

[4] D. Schoenfeld, Proprietățile asimptotice ale testelor neparametrice pentru compararea distribuțiilor de supraviețuire , în Biometrika , vol. 68, 1981, pp. 316-319, JSTOR 2335833 .

[5] Berty HP, Shi H, Lyons-Weiler J. (2010). Determinarea semnificației statistice a modelelor de predicție pentru supraviețuire . J Eval Clin Pract. 16 (1): 155-65.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezei · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rată de eșec · Estimator Kaplan-Meier · test log-rank
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit