Regresie neliniară

Aproximarea unui set de observații folosind polinoame de diferite grade

În statistici , regresia neliniară este o metodă de estimare a unei curbe prin interpolare a unui model de formă:

\ Y=f(X;\vartheta )+\varepsilon

{\ displaystyle \ Y = f (X; \ vartheta) + \ varepsilon}

{\ displaystyle \ Y = f (X; \ vartheta) + \ varepsilon}

pe un set de observații (posibil multi-dimensionale), referitoare la variabile $\ X$ ${\ displaystyle \ X}$ $\ X$ , $\ Y$ ${\ displaystyle \ Y}$ $\ Y$ .

Metode de estimare

Spre deosebire de cazul regresiei liniare , nu există o metodă generală pentru determinarea valorilor parametrilor care garantează cea mai bună interpolare a datelor. În acest scop, se utilizează clase de algoritmi de optimizare numerică, care pornind de la valorile inițiale, alese la întâmplare sau printr-o analiză preliminară, ajung la punctele considerate optime. Este posibil să aveți maximele locale ale bunătății de potrivire, dar în contrast cu cazul regresiei liniare , în care maximul este de natură globală .

Linearizare

Mai multe modele neliniare pot fi liniarizate (adică transformate în modele liniare, reducând astfel sarcina numerică a problemei de estimare ). Un exemplu este dat de modele:

\ Y=\alpha \exp \left\{\beta X\right\}

{\ displaystyle \ Y = \ alpha \ exp \ left \ {\ beta X \ right \}}

{\ displaystyle \ Y = \ alpha \ exp \ left \ {\ beta X \ right \}}

Și

\ Y=\alpha X_{1}^{\beta }X_{2}^{\gamma }

{\ displaystyle \ Y = \ alpha X_ {1} ^ {\ beta} X_ {2} ^ {\ gamma}}

{\ displaystyle \ Y = \ alpha X_ {1} ^ {\ beta} X_ {2} ^ {\ gamma}}

Primul apare în mod natural într-o varietate de contexte, ca soluție la ecuațiile diferențiale obișnuite ; al doilea este tipic domeniului economiei și econometriei , ca model pentru funcția de producție . În ambele cazuri este posibil să se liniarizeze modelele prin aplicarea unei transformări logaritmice .

Logaritmii în regresie

Caz	Regresie	Interpretarea $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$
lin-log	$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\ln(X_{i})+u_{i}$ ${\ displaystyle Y_ {i} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} \ ln (X_ {i}) + u_ {i}}$ ${\ displaystyle Y_ {i} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} \ ln (X_ {i}) + u_ {i}}$	O modificare procentuală de 1% în X are ca rezultat o modificare de 0,01 $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$ în Y.
log-lin	$\ln(Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}(X_{i})+u_{i}$ ${\ displaystyle \ ln (Y_ {i}) = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} (X_ {i}) + u_ {i}}$ ${\ displaystyle \ ln (Y_ {i}) = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} (X_ {i}) + u_ {i}}$	O variație a unei unități în X (ΔX = 1) are ca rezultat o variație egală cu 100 $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$ % în Y.
log-log	$\ln(Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}\ln(X_{i})+u_{i}$ ${\ displaystyle \ ln (Y_ {i}) = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} \ ln (X_ {i}) + u_ {i}}$ ${\ displaystyle \ ln (Y_ {i}) = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} \ ln (X_ {i}) + u_ {i}}$	O variație de 1% în X are ca rezultat o variație de $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$ % în Y ( elasticitate ).

Metode suplimentare

Modele de complexitate mai mare, precum cele caracterizate prin ecuații transcendente precum $\ Y=A_{1}e^{B_{1}X}+A_{2}e^{B_{2}X}$ ${\ displaystyle \ Y = A_ {1} e ^ {B_ {1} X} + A_ {2} e ^ {B_ {2} X}}$ ${\ displaystyle \ Y = A_ {1} e ^ {B_ {1} X} + A_ {2} e ^ {B_ {2} X}}$ , sunt estimate folosind algoritmi mai sofisticati. Mai multe programe matematice conțin biblioteci de optimizare : Gauss, GNU Octave , MATLAB , Mathematica ; Există, de asemenea, biblioteci de optimizare disponibile pe scară largă pentru limbaje avansate precum C ++ sau Fortran .

Clarificări privind domeniul de aplicare al metodei

Adesea se consideră - în mod eronat - că utilizarea metodei celor mai mici pătrate pentru a estima parametrii $\ \alpha$ ${\ displaystyle \ \ alpha}$ $\ \ alfa$ , $\ \beta$ ${\ displaystyle \ \ beta}$ $\ \ beta$ , $\ \gamma$ ${\ displaystyle \ \ gamma}$ $\ \ gamma$ într-un model ca:

\ Y_{i}=\alpha X_{i}^{2}+\beta X_{i}+\gamma +\varepsilon _{i}

{\ displaystyle \ Y_ {i} = \ alpha X_ {i} ^ {2} + \ beta X_ {i} + \ gamma + \ varepsilon _ {i}}

{\ displaystyle \ Y_ {i} = \ alpha X_ {i} ^ {2} + \ beta X_ {i} + \ gamma + \ varepsilon _ {i}}

constituie un caz de regresie neliniară. În realitate, adjectivul (non) liniar se referă la parametri , nu la variabila (variabile) dependentă (e), deci modelul de mai sus este estimat folosind cele mai mici pătrate obișnuite ca model de regresie liniară ; în acest sens, a se vedea articolul aferent.

Elemente conexe

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 57284 · GND (DE) 4251077-6

Portalul Economiei

Portalul de matematică

Portalul de statistici

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezelor · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rată de eșec · Estimator Kaplan-Meier · test log-rank
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit