Curios

Kurtosis (cunoscută și sub numele de kurtosi, din limba greacă κυρτός), în limbajul statisticilor , este o abatere de la distribuția normală, cu privire la care există o aplatizare mai mare (distribuție platyurtică) sau o alungire mai mare (distribuție leptokurtică). Cea mai cunoscută măsură a acestuia este indicele Pearson $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ , raportul dintre momentul centrat al ordinii 4 și pătratul varianței . Valoarea indicelui corespunzător distribuției normale ( gaussiene ) este 0 (dacă folosim indicele prezentat mai jos, care, după cum putem vedea, este centrat în zero, deoarece 3 este scăzut). O valoare mai mică de 0 indică o distribuție platicurtică, în timp ce o valoare mai mare de 0 indică o distribuție leptocurtică (este posibil ca unii indici să nu fie centrați pe zero și, prin urmare, valoarea obținută în cazul normalității este 3).

Introducere

În statistici , indicele kurtosis este unul dintre indicii referitori la forma unei distribuții , care este o măsură a „grosimii” cozilor unei funcții de densitate sau a gradului de „aplatizare” a unei distribuții . Interesul pentru acest indice este dat de faptul că „grosimea” cozilor influențează comportamentul diferitelor statistici.

Deși s-a subliniat că nu există nicio relație între gradul de turtire și coeficient și indicele de kurtoză (vezi mai jos), ( Irving Kaplansky , în 1945 în „O eroare comună privind kurtoză” ) a rămas în uz o astfel de terminologie.

Coeficientul de curtoză

Coeficientul de kurtoză este dat de formula:

\ \gamma _{2}=\beta _{2}-3

{\ displaystyle \ \ gamma _ {2} = \ beta _ {2} -3}

\ \ gamma _ {2} = \ beta _ {2} -3

Unde este:

\beta _{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}

{\ displaystyle \ beta _ {2} = {\ frac {m_ {4}} {m_ {2} ^ {2}}}}

\ beta _ {2} = {\ frac {m_ {4}} {m_ {2} ^ {{2}}}}

este indicele kurtosis, unde $m_{4}$ ${\ displaystyle m_ {4}}$ $m_ {4}$ Și $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ sunt momentul central al ordinii 4 și respectiv 2. În cazul uneivariabile aleatoare normale , $\beta _{2}=3$ ${\ displaystyle \ beta _ {2} = 3}$ $\ beta _ {2} = 3$ , astfel încât coeficientul de curtoză $\gamma _{2}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ $\ gamma _ {2}$ este egal cu zero.

Dacă coeficientul de curtoză este:

> 0 curba este definită leptocurtică , adică mai „ascuțită” decât una normală.
<0 curba este definită platicurtica , adică mai „plată” decât una normală.
= 0 curba este definită normocurtică (sau mezocurtică) , adică „plată” ca una normală.

Calculul coeficientului de cortoză are sens doar în distribuțiile monomodale .

De cand $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ Și $\gamma _{2}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ $\ gamma _ {2}$ sunt calculate prin devierea de la medie la a patra putere, valorile echidistante de medie (simetrice față de medie) contribuie cu aceeași cantitate și valorile departe de medie sunt mult mai „importante” decât cele apropiate de media, astfel încât distribuțiile „largi” să producă $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ Și $\gamma _{2}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ $\ gamma _ {2}$ elevat.

Fiind $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ un număr pur (numitorul și numărătorul au aceeași unitate de măsură), înmulțirea valorilor distribuției cu o constantă nu are niciun efect asupra indicatorului. La fel cum deplasarea întregii curbe nu are niciun efect, atât numeratorul cât și numitorul se referă la media distribuției.

Cu alte cuvinte: dacă vc X are un indicator de kurtoză egal cu $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ Și $Y=a+bX$ ${\ displaystyle Y = a + bX}$ $Y = a + bX$ , atunci Y este, de asemenea, un vc care presupune un indicator de curtoză egal cu $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ .

Coeficientul de curtoză (precum și coeficientul de simetrie ) nu reprezintă o estimare bună a parametrului populației corespunzător dacă este calculat pe probe mici. Cu toate acestea, chiar și în prezența unor eșantioane mici, valorile ridicate ale acestor indicatori trebuie să ridice îndoiala cercetătorului că orice ipoteze denormalitate nu sunt verificate.

În teoria probabilității și statisticile, curba frecvenței este o măsură a distribuției probabilității unei variabile aleatorii cu o valoare reală. O curbă de frecvență mai mare înseamnă că creșterea varianței se datorează nu abaterilor modeste frecvente, ci abaterilor rare extreme.

Bibliografie

( EN ) DN Joanes și CA Gill, Compararea măsurilor de asimetrie și kurtoză a eșantionului , în Journal of the Royal Statistical Society . Seria D (statisticianul) , vol. 47, nr. 1, New York, John Wiley & Sons, aprilie 1998, pp. 183-189, DOI : 10.1111 / 1467-9884.00122 .

Elemente conexe

Funcție generatoare de momente
Gaussian
Analiza componentelor independente
Irving Kaplansky , care a subliniat lipsa de relație între conceptul de „grad de aplatizare” și indicii de kurtoză și simetrie.
Media statistică)
Simetrie (statistici)
Varianța

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Curtosi

linkuri externe

( EN )Curtosi , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( RO ) Free Online Software (Calculator) Arhivat 8 decembrie 2012 la Archive.is . calculează diferite tipuri de statistici despre curtoză și simetrie pentru un eșantion dat

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezelor · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rata de eșec · Estimatorul Kaplan-Meier · jurnalul de testare
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit