Distribuția hipergeometrică

Distribuție hipergeometrică ${\mathcal {H}}(n,h,r)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (n, h, r)}$ ${\ mathcal {H}} (n, h, r)$
Funcție de distribuție discretă
Funcția de distribuție
Parametrii	$n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}$ $r,h\in \{0,1,...,n\}\$ ${\ displaystyle r, h \ in \ {0,1, ..., n \} \}$ $r, h \ in \ {0,1, ..., n \} \$
A sustine	$\{0,1,...,r\}\$ ${\ displaystyle \ {0,1, ..., r \} \}$ ${\ displaystyle \ {0,1, ..., r \} \}$
Funcția de densitate	$P(k)={{{h \choose k}{n-h \choose r-k}} \over {n \choose r}}$ ${\ displaystyle P (k) = {{{h \ alege k} {nh \ alege rk}} \ peste {n \ alege r}}}$ $P (k) = {{{h \ alege k} {n-h \ alege r-k}} \ peste {n \ alege r}}$
Valorea estimata	${\frac {rh}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {rh} {n}}}$ ${\ frac {rh} {n}}$
Varianța	${\frac {r(n-r)\,h(n-h)}{n^{2}(n-1)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r (nr) \, h (nh)} {n ^ {2} (n-1)}}}$ ${\ frac {r (n-r) \, h (n-h)} {n ^ {2} (n-1)}}$
Indicele de asimetrie	${\frac {(n-2r)(n-2h)}{n-2}}{\sqrt {\frac {n-1}{r(n-r)\,h(n-h)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {(n-2r) (n-2h)} {n-2}} {\ sqrt {\ frac {n-1} {r (nr) \, h (nh)}}}}$ ${\ frac {(n-2r) (n-2h)} {n-2}} {\ sqrt {{\ frac {n-1} {r (n-r) \, h (n-h)}}}}$
Manual

În teoria probabilității, distribuția hipergeometrică este o distribuție discretă de probabilitate care descrie extracția fără a reintroduce unele bile, pierzând sau câștigând , dintr-o urnă.

Extragerea cu reintroducere (bila extrasă este pusă din nou în urnă) este în schimb descrisă prin distribuția binomială .

De exemplu, prin extragerea a 5 bile dintr-o urnă care conține 3 bile albe și 7 bile negre, numărul de bile albe trase este descris prin distribuția hipergeometrică.

Definiție

Distribuția hipergeometrică ${\mathcal {H}}(n,h,r)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (n, h, r)}$ ${\ mathcal {H}} (n, h, r)$ descrie variabila aleatorie care contează, pentru r elemente distincte extrase aleatoriu ( la fel de probabil ) dintr-un set A de cardinalitate n , câte sunt în subsetul B de cardinalitate h . În termeni mai concreti, descrie, având în vedere o urnă care conține h bile albe și nh bile negre, numărul de bile albe care se obțin prin extragerea de bile r fără a fi reintroduse.

Probabilitatea de a obține exact k elemente în B este

P(k)={{{h \choose k}{n-h \choose r-k}} \over {n \choose r}}

{\ displaystyle P (k) = {{{h \ alege k} {nh \ alege rk}} \ peste {n \ alege r}}}

P (k) = {{{h \ alege k} {n-h \ alege r-k}} \ peste {n \ alege r}}

.

Această probabilitate, exprimată prin coeficienții binomiali $\textstyle {a \choose b}={\frac {a!}{b!(a-b)!}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {a \ choose b} = {\ frac {a!} {b! (ab)!}}}$ $\ textstyle {a \ choose b} = {\ frac {a!} {b! (a-b)!}}$ , poate fi obținut prin combinatorică :

\textstyle {n \choose r}

{\ displaystyle \ textstyle {n \ alegeți r}}

\ textstyle {n \ alege r}

este numărul posibilelor extracții ale elementelor r din A ,

\textstyle {h \choose k}

{\ displaystyle \ textstyle {h \ alege k}}

\ textstyle {h \ alege k}

este numărul posibilelor extracții de k elemente dintre h de B ,

\textstyle {n-h \choose r-k}

{\ displaystyle \ textstyle {nh \ choose rk}}

\ textstyle {n-h \ alegeți r-k}

este numărul posibilelor extracții ale elementelor rk rămase dintre nh nu în B.

Definiție alternativă

O definiție echivalentă consideră elementele extrase ca un subset C al lui A. Aceasta dă cardinalitatea intersecției $B\cap C$ ${\ displaystyle B \ cap C}$ $B \ cap C$ a două mulțimi B și C , alese la întâmplare (cu distribuție uniformă) dintre subseturile lui A cu cardinalități fixe, este descrisă prin distribuția hipergeometrică ${\mathcal {H}}(\#A,\#B,\#C)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ # A, \ # B, \ # C)}$ ${\ mathcal {H}} (\ # A, \ # B, \ # C)$ .

Proprietate

Cardinalitatea intersecțiilor
	B.	AB	LA
C.	k	rk	r
B.C	hk	nr-h + k	Nu
LA	h	nh	n

Formula probabilității prezintă diferite simetrii , care pot fi obținute prin schimbul de roluri care joacă cele patru seturi câștigătoare ( B ), non-câștigătoare ( AB ), extrase ( C ) și non-extrase ( AC ). În special

schimbând câștigători cu extrase

P_{n,h,r}(k)=P_{n,r,h}(k)\

{\ displaystyle P_ {n, h, r} (k) = P_ {n, r, h} (k) \}

P _ {{n, h, r}} (k) = P _ {{n, r, h}} (k) \

câștigători de tranzacționare cu ne-câștigători

P_{n,h,r}(k)=P_{n,n-h,r}(r-k)\

{\ displaystyle P_ {n, h, r} (k) = P_ {n, nh, r} (rk) \}

P _ {{n, h, r}} (k) = P _ {{n, n-h, r}} (r-k) \

schimbul de extracte cu non-extrase

P_{n,h,r}(k)=P_{n,h,n-r}(h-k)\

{\ displaystyle P_ {n, h, r} (k) = P_ {n, h, nr} (hk) \}

P _ {{n, h, r}} (k) = P _ {{n, h, n-r}} (h-k) \

Caracteristici

Fără a fi nevoie să faceți calcule cu coeficienți binomiali, valoarea așteptată a lui N poate fi obținută luând în considerare pentru fiecare element b din B variabila aleatorie $X_{b}$ ${\ displaystyle X_ {b}}$ $X_ {b}$ care este 1 dacă se extrage b și 0 în caz contrar. Așa ai $\textstyle N=\sum _{k=1,..,r}X_{k}$ ${\ displaystyle \ textstyle N = \ sum _ {k = 1, .., r} X_ {k}}$ $\ textstyle N = \ sum_ {k = 1, .., r} X_k$ , unde fiecare $X_{k}$ ${\ displaystyle X_ {k}}$ $X_ {k}$ urmărește distribuția Bernoulli ${\mathcal {B}}(h/n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (h / n)}$ ${\ mathcal {B}} (h / n)$ ; deși, spre deosebire de distribuția binomială , variabilele $X_{k}$ ${\ displaystyle X_ {k}}$ $X_ {k}$ nu sunt independenți unul de celălalt, pentru că se obține liniaritatea valorii așteptate

E[N]=\sum _{k=1,..,r}E[X_{k}]={\frac {rh}{n}}

{\ displaystyle E [N] = \ sum _ {k = 1, .., r} E [X_ {k}] = {\ frac {rh} {n}}}

E [N] = \ sum_ {k = 1, .., r} E [X_k] = \ frac {rh} {n}

.

Este posibil să procedăm în același mod pentru a calcula varianța lui N prin intermediul varianței și covarianței $X_{b}$ ${\ displaystyle X_ {b}}$ $X_ {b}$ :

{\text{Var}}(N)=\sum _{i}{\text{Var}}(X_{i})+\sum _{i\neq j}{\text{cov}}(X_{i},X_{j})={\frac {r(n-r)\,h(n-h)}{n^{2}(n-1)}}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (N) = \ sum _ {i} {\ text {Var}} (X_ {i}) + \ sum _ {i \ neq j} {\ text {cov}} (X_ {i}, X_ {j}) = {\ frac {r (nr) \, h (nh)} {n ^ {2} (n-1)}}}

{\ text {Var}} (N) = \ sum _ {i} {\ text {Var}} (X_ {i}) + \ sum _ {{i \ neq j}} {\ text {cov}} ( X_ {i}, X_ {j}) = {\ frac {r (nr) \, h (nh)} {n ^ {2} (n-1)}}

;

în special, factorii care apar în numărător sunt cardinalitățile celor patru seturi „extrase”, „nu extrase”, „câștigătoare” și „neînvingătoare”.

Alte distribuții

Pentru o singură extracție, distribuția hipergeometrică ${\mathcal {H}}(n,h,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (n, h, 1)}$ ${\ mathcal {H}} (n, h, 1)$ coincide cu distribuția Bernoulli ${\mathcal {B}}(h/n)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (h / n)}$ ${\ mathcal {B}} (h / n)$ .

Spre deosebire de distribuția hipergeometrică, distribuția binomială ${\mathcal {B}}(h/n,r)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (h / n, r)}$ ${\ mathcal {B}} (h / n, r)$ corespunde unui proces în care după fiecare remiză mingea este reintrodusă în urnă, lăsând neschimbată probabilitatea de a extrage ulterior o minge câștigătoare . Pentru valorile lui n și h care sunt foarte mari față de r și pentru h / n nu aproape de 0 sau 1, probabilitățile rămân aproape aceleași la fiecare extracție. În statistici (de exemplu în sondaje ) această aproximare este acceptată pentru $h<n/10$ ${\ displaystyle h <n / 10}$ $h <n / 10$ .

Distribuția hipergeometrică poate fi generalizată luând în considerare diferite probabilități de extragere a bilelor simple sau utilizând o distribuție neuniformă pe mulțimea A.

O altă generalizare a distribuției hipergeometrice este distribuția hipergeometrică multivariată , care prevede că în urnă există bile de mai mult de două culori, adică în care mulțimea A nu mai este partiționată doar în cele două mulțimi B și AB , ci în $B_{1},...,B_{s}$ ${\ displaystyle B_ {1}, ..., B_ {s}}$ $B_ {1}, ..., B_ {s}$ (seturi disjuncte a căror unire este A ). Distribuția nu mai descrie probabilitatea ca k elemente să fie în B și rk în AB , dar probabilitatea ca k _{1 să} fie în B ₁ , k ₂ în B ₂ și așa mai departe, pentru fiecare $(k_{1},...,k_{s})\in \mathbb {N} ^{s}$ ${\ displaystyle (k_ {1}, ..., k_ {s}) \ in \ mathbb {N} ^ {s}}$ $(k_ {1}, ..., k_ {s}) \ in {\ mathbb {N}} ^ {s}$ cu $k_{1}+...+k_{s}=r$ ${\ displaystyle k_ {1} + ... + k_ {s} = r}$ $k_ {1} + ... + k_ {s} = r$ :

P(k_{1},...,k_{s})={{{h_{1} \choose k_{1}}\cdots {h_{s} \choose k_{s}}} \over {n \choose r}}

{\ displaystyle P (k_ {1}, ..., k_ {s}) = {{{h_ {1} \ choose k_ {1}} \ cdots {h_ {s} \ choose k_ {s}}} \ peste {n \ alegeți r}}}

P (k_ {1}, ..., k_ {s}) = {{{h_ {1} \ alege k_ {1}} \ cdots {h_ {s} \ alege k_ {s}}} \ peste {n \ alege r}}

.

Această distribuție de probabilitate se referă la distribuția multinomială la fel cum distribuția hipergeometrică se referă la distribuția binomială.

Exemplu

Un exemplu de distribuție hipergeometrică este dat de jocul de victorie întâmplător pentru Viață , în care dintr-un total de n = 20 numere disponibile h = 10 sunt alese de jucător și r = 10 sunt extrase. Probabilitatea de a ghici k este guvernată de distribuția hipergeometrică ${\mathcal {H}}(20,10,10)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (20,10,10)}$ ${\ mathcal {H}} (20,10,10)$ ,

P(k)=P(10-k)={{{10 \choose k}{20-10 \choose 10-k}} \over {20 \choose 10}}={{10 \choose k}^{2} \over {20 \choose 10}}={\frac {(10!)^{4}}{20!}}\left({\frac {1}{k!(10-k)!}}\right)^{2}

{\ displaystyle P (k) = P (10-k) = {{{10 \ alege k} {20-10 \ alege 10-k}} \ peste {20 \ alege 10}} = {{10 \ alege k } ^ {2} \ over {20 \ alege 10}} = {\ frac {(10!) ^ {4}} {20!}} \ Left ({\ frac {1} {k! (10-k) !}} \ dreapta) ^ {2}}

P (k) = P (10-k) = {{{10 \ alege k} {20-10 \ alege 10-k}} \ peste {20 \ alege 10}} = {{10 \ alege k} ^ { 2} \ over {20 \ choose 10}} = {\ frac {(10!) ^ {4}} {20!}} \ Left ({\ frac {1} {k! (10-k)!}} \ dreapta) ^ {2}

.

În special, probabilitățile de câștig pot fi ușor calculate, proporționale cu pătratele coeficienților binomiali $\textstyle {10 \choose k}$ ${\ displaystyle \ textstyle {10 \ alege k}}$ $\ textstyle {10 \ alege k}$ ; de exemplu probabilitatea ca exact 6 (sau 4) din elementele alese să fie extrase este